Группа автоморфизмов свободной группы - Википедия - Automorphism group of a free group

В математической теории групп группа автоморфизмов свободной группы дискретный группа из автоморфизмы из свободная группа. Фактор по внутренним автоморфизмам равен группа внешних автоморфизмов свободной группы, который в чем-то похож на группа классов отображения поверхности.

Презентация

Нильсен (1924) показал, что автоморфизмы, определяемые элементарными Преобразования Нильсена порождают полную группу автоморфизмов конечно порожденной свободной группы. Нильсен, а затем Бернхард Нойманн использовал эти идеи, чтобы дать конечные презентации из группы автоморфизмов бесплатных групп. Это также описано в (Магнус, Каррасс и Солитэр 2004, п. 131, Th 3.2).

Группа автоморфизмов свободной группы с упорядоченным базисом [ Икс1, …, Иксп ] порождается следующими 4 элементарные преобразования Нильсена:

  • Выключатель Икс1 и Икс2
  • Циклически переставлять Икс1, Икс2, …, Иксп, к Икс2, …, Иксп, Икс1.
  • Заменять Икс1 с Икс1−1
  • Заменять Икс1 с Икс1·Икс2

Эти преобразования являются аналогами элементарные операции со строками. Преобразования первых двух типов аналогичны перестановкам строк и циклическим перестановкам строк. Преобразования третьего типа соответствуют масштабированию строки обратимым скаляром. Преобразования четвертого типа соответствуют сложениям строк.

Преобразований первых двух типов достаточно, чтобы переставлять генераторы в любом порядке, поэтому третий тип может применяться к любому из генераторов, а четвертый тип - к любой паре генераторов.

Используя эти генераторы, Нильсен дал довольно сложное конечное представление, описанное в (Магнус, Каррасс и Солитэр 2004, п. 165, раздел 3.5).

Рекомендации

  • Магнус, Вильгельм; Каррасс, Авраам; Солитэр, Дональд (2004), Комбинаторная теория групп, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-43830-6, МИСТЕР  0207802
  • Нильсен, Якоб (1921), "Om regning med ikke-kommutative faktorer og dens anvendelse i gruppeteorien", Математика. Тидскрифт Б (на датском), 1921: 78–94, JFM  48.0123.03
  • Нильсен, Якоб (1924), "Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen"., Mathematische Annalen (на немецком), 91: 169–209, Дои:10.1007 / BF01556078, JFM  50.0078.04[постоянная мертвая ссылка ]
  • Фогтманн, Карен (2002), «Автоморфизмы свободных групп и космического пространства» (PDF), Труды конференции по геометрической и комбинаторной теории групп, часть I (Хайфа, 2000), Geometriae Dedicata, 94: 1–31, Дои:10.1023 / А: 1020973910646, ISSN  0046-5755, МИСТЕР  1950871