Псевдоредуктивная группа - Pseudo-reductive group

В математике псевдоредуктивная группа через поле k (иногда называемый k-редуктивная группа) является гладкой связной аффинная алгебраическая группа определяется по k чей k-унипотентный радикал (т. е. наибольший гладкосвязный унипотентный нормальный k-подгруппа) тривиальна. Над идеальные поля они такие же, как (связанные) редуктивные группы, но над несовершенными полями Жак Титс нашел несколько примеров псевдоредуктивных групп, которые не являются редуктивными. Псевдоредуктивный k-группа не обязательно должна быть редуктивной (так как образование k-унипотентный радикал, вообще говоря, не коммутирует с неотделимым скалярным расширением на k, например, скалярное расширение до алгебраического замыкания k). Псевдоредуктивные группы естественным образом возникают при изучении алгебраических групп над функциональными полями многообразий положительной размерности в положительной характеристике (даже над совершенным полем констант).

Спрингер (1998) дает изложение результатов Титса о псевдоредуктивных группах, а Конрад, Габбер и Прасад (2010) основывается на работе Титса по развитию общей теории структуры, включая более сложные темы, такие как методы построения, корневые системы, корневые группы и открытые ячейки, классификационные теоремы и приложения к теоремам рациональной сопряженности для гладких связных аффинных групп над произвольными полями. Общая теория (с приложениями) по состоянию на 2010 г. кратко изложена в Реми (2011), а позже работа во втором издании Конрад, Габбер и Прасад (2015) И в Конрад и Прасад (2016) обеспечивает дальнейшие уточнения.

Примеры псевдоредуктивных групп, которые не являются редуктивными

Предположим, что k - несовершенное поле характеристики 2, а а является элементом k это не квадрат. Позволять грамм - группа ненулевых элементов Икс + у√а в k[√а]. Есть морфизм от грамм в мультипликативную группу граммм принимая Икс + у√а к своей норме Икс2 – ай2, а ядро ​​- подгруппа элементов нормы 1. Базовая приведенная схема геометрического ядра изоморфна аддитивной группе грамма и является унипотентным радикалом геометрического слоя грамм, но эта приведенная схема подгрупп геометрического слоя не определена над k (т.е. не возникает из замкнутой подсхемы грамм над землей k) и k- всесильный радикал грамм тривиально. Так грамм псевдоредуктивный k-группа, но не редуктивная k-группа. Аналогичная конструкция работает с использованием примитивного нетривиального чисто неотделимого конечного расширения любого несовершенного поля в любой положительной характеристике, с той лишь разницей, что формула для отображения нормы немного сложнее, чем в предыдущих квадратичных примерах.

В более общем смысле, если K является нетривиальным чисто неотделимым конечным расширением k и грамм является любой нетривиальной связной редуктивной K-группа, определенная тогда ограничением Вейля ЧАС= RK/k(грамм) является гладкой связной аффинной k-группа, для которой существует (сюръективный) гомоморфизм из ЧАСK на грамм. Ядро этого K-гомоморфизм спускается по унипотентному радикалу геометрического слоя ЧАС и не определяется k (т.е. не возникает из замкнутой схемы подгруппы ЧАС), поэтому RK/k(грамм) является псевдоредуктивным, но не редуктивным. Предыдущий пример представляет собой частный случай использования мультипликативной группы и расширения K=k[√а].

Классификация и экзотические явления

Над полями характеристики больше 3 все псевдоредуктивные группы могут быть получены из редуктивных групп с помощью «стандартной конструкции», являющейся обобщением конструкции, приведенной выше. В стандартная конструкция включает вспомогательный выбор коммутативной псевдоредуктивной группы, которая оказывается подгруппой Картана на выходе конструкции, а основная сложность для общей псевдоредуктивной группы состоит в том, что структура подгрупп Картана (которые всегда коммутативны и псевдоредуктивный) загадочен. Коммутативные псевдоредуктивные группы не допускают никакой полезной классификации (в отличие от связного редуктивного случая, для которого они являются торами и, следовательно, доступны через решетку Галуа), но по модулю этой группы есть полезное описание ситуации вдали от характеристик 2 и 3 в терминах редуктивных групп над некоторыми конечными (возможно, неотделимыми) расширениями основного поля.

Над несовершенными полями характеристик 2 и 3 есть некоторые дополнительные псевдоредуктивные группы (называемые экзотическими), возникающие из-за существования исключительных изогений между группами типов B и C в характеристике 2, между группами типа F₄ в характеристике 2 и между группами типа G₂ в характеристике 3, используя конструкцию, аналогичную конструкции Ри группы. Более того, в характеристике 2 есть дополнительные возможности, возникающие не из-за исключительных изогений, а из-за того, что для односвязного типа C (т. Е. Симплектических групп) существуют корни, которые делятся (на 2) в решетке весов; это приводит к примерам, у которых корневая система (над отделимым замыканием основного поля) не редуцирована; такие примеры существуют с расщепляемым максимальным тором и неприводимой неприведенной системой корней любого положительного ранга над каждым несовершенным полем характеристики 2. Классификация в характеристике 3 такая же полная, как и в более крупных характеристиках, но в характеристике 2 классификация наиболее полная. когда [k: k ^ 2] = 2 (из-за сложностей, вызванных примерами с нередуцированной корневой системой, а также явлений, связанных с определенными регулярными вырожденными квадратичными формами, которые могут существовать только при [k: k ^ 2]> 2). Последующая работа Конрад и Прасад (2016), опираясь на дополнительный материал, включенный во второе издание Конрад, Габбер и Прасад (2015), завершает классификацию по характеристике 2 до контролируемого центрального расширения, предоставляя исчерпывающий набор дополнительных конструкций, которые существуют только тогда, когда [k: k ^ 2]> 2 , в конечном счете опираясь на понятие специальной ортогональной группы, присоединенной к регулярным, но вырожденным и не полностью дефектным квадратичным пространствам в характеристике 2.

Рекомендации

  • Конрад, Брайан; Габбер, Офер; Прасад, Гопал (2010), Псевдоредуктивные группы, Новые математические монографии, 17 (1-е изд.), Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9780511661143, ISBN  978-0-521-19560-7, МИСТЕР  2723571
  • Конрад, Брайан; Габбер, Офер; Прасад, Гопал (2015), Псевдоредуктивные группы, Новые математические монографии, 26 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9781316092439, ISBN  978-1-107-08723-1, МИСТЕР  3362817
  • Конрад, Брайан; Прасад, Гопал (2016), Классификация псевдоредуктивных групп., Анналы математических исследований, 191, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, ISBN  978-0-691-16793-0, JSTOR  j.ctt18z4hnr, МИСТЕР  3379926
  • Реми, Бертран (2011), "Группирует псевдо-сокращенные группы и приложения (d'après J. Титс и Б. Конрад - О. Габбер - Г. Прасад)" (PDF), Astérisque (339): 259–304, ISBN  978-2-85629-326-3, ISSN  0303-1179, МИСТЕР  2906357
  • Спрингер, Тонни А. (1998), Линейные алгебраические группы, Успехи в математике, 9 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN  978-0-8176-4021-7, МИСТЕР  1642713