Компонент идентичности - Identity component

В математика, конкретно теория групп, то компонент идентичности из группа грамм относится к нескольким тесно связанным понятиям крупнейшего связаны подгруппа грамм содержащий элемент идентичности.

В топология набора точек, то компонент идентичности топологическая группа грамм это связный компонент грамм⁰ из грамм который содержит элемент идентичности группы. В компонент пути идентичности топологической группы грамм это компонент пути из грамм который содержит элемент идентичности группы.

В алгебраическая геометрия, то компонент идентичности алгебраическая группа грамм над полем k является тождественным компонентом основного топологического пространства. В компонент идентичности групповая схема грамм над базой схема S грубо говоря, групповая схема грамм⁰ чей волокно по делу s из S компонент связности (Г_s)⁰ волокна грамм_s, алгебраическая группа.^[1]

Характеристики

Компонент идентичности грамм⁰ топологической или алгебраической группы грамм это закрыто нормальная подгруппа из грамм. Он закрыт, поскольку компоненты всегда закрыты. Это подгруппа, поскольку умножение и инверсия в топологической или алгебраической группе непрерывные карты по определению. Более того, для любого непрерывного автоморфизм а из грамм у нас есть

а(грамм⁰) = грамм⁰.

Таким образом, грамм⁰ это характеристическая подгруппа из грамм, так это нормально.

Компонент идентичности грамм⁰ топологической группы грамм не должно быть открыто в грамм. Фактически, у нас может быть грамм⁰ = {е}, в таком случае грамм является полностью отключен. Однако компонент идентичности локально связанное пространство (например, Группа Ли ) всегда открыт, так как он содержит соединенный путём окрестности {е}; и поэтому является Clopen набор.

Компонент пути идентичности топологической группы может в общем быть меньше компонента идентичности (поскольку связность путей является более сильным условием, чем связность), но они согласуются, если грамм локально линейно связно.

Группа компонентов

В факторгруппа грамм/грамм⁰ называется группа компонентов или же группа компонентов из грамм. Его элементы - это просто связанные компоненты грамм. Группа компонентов грамм/грамм⁰ это дискретная группа если и только если грамм⁰ открыт. Если грамм является алгебраической группой конечный тип, например, аффинная алгебраическая группа, тогда грамм/грамм⁰ на самом деле конечная группа.

Аналогичным образом можно определить группу компонентов пути как группу компонентов пути (частное от грамм компонентом пути идентичности), и, как правило, группа компонентов является частным от группы компонентов пути, но если грамм локально связаны между собой, эти группы согласны. Группу компонентов пути также можно охарактеризовать как нулевую гомотопическая группа, ${ displaystyle pi _ {0} (G, e).}$

Примеры

• Группа ненулевых действительных чисел с умножением (р*, •) состоит из двух компонентов, и группа компонентов ({1, −1}, •).
• Рассмотрим группа единиц U в кольце разделенные комплексные числа. В обычной топологии плоскости {z = Икс + j у : Икс, у ∈ р}, U делится на четыре компонента линиями у = Икс и у = − Икс куда z не имеет обратного. потом U⁰ = { z : |у| < Икс }. В этом случае группа компонентов U изоморфен Кляйн четыре группы.
• Компонент идентичности аддитивной группы (Z_п, +) из p-адические целые числа - это одноэлементный набор {0}, поскольку Z_п полностью отключен.
• В Группа Вейля из редуктивная алгебраическая группа грамм группа компонентов группа нормализаторов из максимальный тор из грамм.
• Рассмотрим групповую схему μ₂ = Спецификация (Z[Икс]/(Икс² - 1)) секунды корни единства определенная над базовой схемой Spec (Z). Топологически μ_п состоит из двух копий кривой Spec (Z), склеенных в точке (т. е. главный идеал ) 2. Следовательно, μ_п связано как топологическое пространство, а значит, как схема. Однако μ₂ не совпадает со своей составляющей идентичности, потому что слой над каждой точкой Spec (Z) кроме 2 состоит из двух дискретных точек.

Алгебраическая группа грамм через топологическое поле K допускает две естественные топологии, Топология Зарисского и топология, унаследованная от K. Компонент идентичности грамм часто меняется в зависимости от топологии. Например, общая линейная группа GL_п(р) связна как алгебраическая группа, но имеет две компоненты пути как группа Ли: матрицы положительного определителя и матрицы отрицательного определителя. Любая связная алгебраическая группа над неархимедовой местное поле K полностью отключен в K-топология и, следовательно, имеет в этой топологии элементарный компонент идентичности.

Рекомендации

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Июнь 2016) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

• Лев Семенович Понтрягин, Топологические группы, 1966.
• Демазюр, Мишель; Габриэль, Пьер (1970), Groupes algébriques. Том I: Géométrie algébrique, généralités, groupes commutatifs, Париж: Массон, ISBN  978-2225616662, МИСТЕР  0302656