Теорема Бовиля – Ласло - Beauville–Laszlo theorem

В математика, то Теорема Бовиля – Ласло это результат коммутативная алгебра и алгебраическая геометрия что позволяет «склеить» два снопы над бесконечно малой окрестностью точки на алгебраическая кривая. Это было доказано Арно Бовиль и Ив Ласло  (1995 ).

Теорема

Хотя эта теорема имеет значение в алгебраической геометрии, она является местный результат и изложен в наиболее примитивной форме для коммутативные кольца. Если А кольцо и ж является ненулевым элементом A, то мы можем образовать два производных кольца: локализация в ж, А_ж, а завершение в Af, Â; оба А-алгебры. Далее мы предполагаем, что ж является ненулевым делителем. Геометрически, А рассматривается как схема Икс = Спецификация А и ж как делитель (ж) на Spec А; тогда А_ж это его дополнение D_ж = Спецификация А_ж, то основной открытый набор определяется по ж, пока  это «бесконечно малое соседство» D = Спецификация  из (ж). Пересечение D_ж и Spec  это "проколотая бесконечно малая окрестность" D⁰ о (ж), равный Spec  ⊗_А А_ж = Спецификация Â_ж.

Предположим теперь, что у нас есть А-модуль M; геометрически, M это пучок на Spec А, и мы можем ограничить его как главным открытым множеством D_ж и бесконечно малую окрестность Spec Â, давая А_ж-модуль F и Â-модуль грамм. Алгебраически,

${displaystyle F = Motimes _ {A} A_ {f} = M_ {f} qquad G = Motimes _ {A} {hat {A}}.}$

(Несмотря на искушение написать ${displaystyle G = {widehat {M}}}$, что означает завершение А-модуль M в идеале Af, пока не А является нётерский и M конечно порожден, на самом деле они не равны. Это явление является основной причиной того, что теорема носит имена Бовиля и Ласло; в нётеровом, конечно порожденном случае, это, как отмечают авторы, частный случай теории Гротендика. точно ровный спуск.) F и грамм оба могут быть далее ограничены проколотой окрестностью D⁰, и поскольку оба ограничения в конечном итоге вытекают из M, они изоморфны: имеем изоморфизм

${displaystyle phi двоеточие G_ {f} {xrightarrow {sim}} Fotimes _ {A_ {f}} {hat {A}} _ {f} = Fotimes _ {A} {hat {A}}.}$

Теперь рассмотрим обратную ситуацию: у нас есть кольцо А и элемент ж, и два модуля: А_ж-модуль F и Â-модуль граммвместе с изоморфизмом φ как указано выше. Геометрически нам дана схема Икс и оба открытый набор D_ж и "маленький" район D его замкнутого дополнения (ж); на D_ж и D нам даны два пучка, которые совпадают в пересечении D⁰ = D_ж ∩ D. Если D являясь открытым множеством в топологии Зарисского, мы могли склеивать пучки; содержание теоремы Бовиля – Ласло состоит в том, что при одном техническом предположении ж, то же самое верно и для бесконечно малой окрестности D также.

Теорема: Данный А, ж, F, грамм, и φ как указано выше, если грамм не имеет ж-кручение, то существует А-модуль M и изоморфизмы

${displaystyle alpha двоеточие M_ {f} {xrightarrow {sim}} Fqquad eta двоеточие Motimes _ {A} {hat {A}} {xrightarrow {sim}} G}$

в соответствии с изоморфизмом φ: φ равен составу

${displaystyle G_ {f} = Gotimes _ {A} A_ {f} {xrightarrow {eta ^ {- 1} otimes 1}} Motimes _ {A} {hat {A}} otimes _ {A} A_ {f} = M_ {f} otimes _ {A} {hat {A}} {xrightarrow {alpha otimes 1}} Fotimes _ {A} {hat {A}}.}$

Техническое состояние, которое грамм не имеет ж-торговор именуется авторами как "ж-регулярность ". Фактически, можно сформулировать более сильную версию этой теоремы. Пусть M(А) быть категорией А-модули (морфизмы которых А-модульные гомоморфизмы) и пусть M_ж(А) быть полная подкатегория из ж-регулярные модули. В этих обозначениях получаем коммутативная диаграмма категорий (примечание M_ж(А_ж) = M(А_ж)):

${displaystyle {egin {array} {ccc} mathbf {M} _ {f} (A) & longrightarrow & mathbf {M} _ {f} ({hat {A}}) downarrow && downarrow mathbf {M} (A_ {f }) & longrightarrow & mathbf {M} ({hat {A}} _ {f}) end {array}}}$

в котором стрелки - карты изменения базы; например, верхняя горизонтальная стрелка действует на объекты путем M → M ⊗_А Â.

Теорема: Приведенная выше диаграмма является декартова диаграмма категорий.

Глобальная версия

На геометрическом языке теорема Бовиля – Ласло позволяет склеить снопы на одномерном аффинная схема над бесконечно малой окрестностью точки. Поскольку пучки имеют «локальный характер» и поскольку любая схема локально аффинна, теорема допускает глобальное утверждение того же характера. Версия этого утверждения, которую авторы сочли заслуживающей внимания векторные пакеты:

Теорема: Позволять Икс быть алгебраическая кривая над полем k, Икс а k-рациональный гладкая точка на Икс с бесконечно малой окрестностью D = Спецификация k[[т]], р а k-алгебра и р положительное целое число. Тогда категория Vect_р(Икс_р) ранга-р векторные расслоения на кривой Икс_р = Икс ×_{Спецификация k} Спецификация р вписывается в декартову диаграмму:

${displaystyle {egin {array} {ccc} mathbf {Vect} _ {r} (X_ {R}) & longrightarrow & mathbf {Vect} _ {r} (D_ {R}) downarrow && downarrow mathbf {Vect} _ {r } ((Xsetminus x) _ {R}) & longrightarrow & mathbf {Vect} _ {r} (D_ {R} ^ {0}) end {array}}}$

Это влечет за собой следствие, изложенное в статье:

Следствие: При такой же настройке обозначим Трив(Икс_р) множество троек (E, τ, σ), куда E является векторным расслоением на Икс_р, τ это тривиализация E над (Икс Икс)_р (т.е. изоморфизм с тривиальным расслоением О_{(Икс - Икс)р}), и σ тривиализация над D_р. Тогда карты на приведенной выше диаграмме обеспечивают взаимно однозначное соответствие между Трив(Икс_р) и GL_р(р((т))) (куда р((т)) это формальная серия Laurent звенеть).

Следствие следует из теоремы в том, что тройка связана с единственной матрицей, которая рассматривается как «функция перехода» над D⁰_р между тривиальными расслоениями над (Икс Икс)_р и более D_р, позволяет склеить их в форму E, при этом естественные тривиализации склеенного расслоения отождествляются с σ и τ. Важность этого следствия состоит в том, что оно показывает, что аффинный грассманиан может быть образован либо из данных расслоений над бесконечно малым диском, либо расслоений на всей алгебраической кривой.

Рекомендации

• Бовиль, Арно; Ласло, Ив (1995), "Un lemme de descente" (PDF), Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 320 (3): 335–340, ISSN  0764-4442, получено 2008-04-08