Факторный стек - Quotient stack

В алгебраической геометрии a стек частных это стек который параметризует эквивариантные объекты. С геометрической точки зрения оно обобщает фактор-схему схемы или многообразия по группе: фактормногообразие, скажем, было бы грубой аппроксимацией фактор-стека.

Это понятие имеет фундаментальное значение при изучении стеков: стек, который возникает в природе, часто сам является либо частным стеком, либо допускает стратификацию по частным стекам (например, Стек Делин-Мамфорд.) Факторный стек также используется для построения других стеков, таких как классификация стопок.

Определение

Факторный стек определяется следующим образом. Позволять г быть аффинной гладкой групповая схема по схеме S и Икс а S-схема, на которой г действует. Позволять ${ Displaystyle [X / G]}$ быть категория выше категория S-схемы:

объект над Т это главный г-бандл ${ displaystyle P to T}$ вместе с эквивариантным отображением ${ displaystyle P to X}$ ;
стрелка из ${ displaystyle P to T}$ к ${ displaystyle P ' to T'}$ является отображением расслоения (т.е. образует коммутативную диаграмму), которое согласовано с эквивариантными отображениями ${ displaystyle P to X}$ и ${ displaystyle P ' to X}$ .

Предположим, что частное ${ Displaystyle X / G}$ существует как алгебраическое пространство (например, Теорема Киля – Мори ). Каноническая карта

{ Displaystyle [X / G] к X / G}

,

который отправляет пачку п над Т соответствующему Т-точка,^[1] не обязательно должен быть изоморфизмом стеков; то есть пространство «X / G» обычно более грубое. Каноническое отображение является изоморфизмом тогда и только тогда, когда стабилизаторы тривиальны (в этом случае ${ Displaystyle X / G}$ существуют.)^{[нужна цитата ]}

В общем, ${ Displaystyle [X / G]}$ является Стек Артина (также называемый алгебраическим стеком). Если стабилизаторы геометрические точки конечны и редуцированы, то это Стек Делин-Мамфорд.

Берт Тотаро (2004 ) показал: пусть Икс - нормальный нетеров алгебраический стек, группы стабилизаторов которого в замкнутых точках аффинны. потом Икс является частным стеком тогда и только тогда, когда он имеет свойство разрешения; т.е. каждый когерентный пучок является фактором векторного расслоения. Ранее, Роберт Уэйн Томасон доказал, что фактор-стек обладает свойством разрешающей способности.

Примеры

Эффективный коэффициент орбифолд, например, ${ displaystyle [M / G]}$ где ${ displaystyle G}$ действие имеет только конечные стабилизаторы на гладком пространстве ${ displaystyle M}$ , является примером стека частных.^[2]

Если ${ Displaystyle X = S}$ с тривиальным действием г (довольно часто S точка), то ${ Displaystyle [S / G]}$ называется классифицирующий стек из г (по аналогии с классификация пространства из г) и обычно обозначается BG. Теорема Бореля описывает кольцо когомологий классифицирующего стека.

Пример:^[3] Позволять L быть Lazard кольцо; т.е. ${ displaystyle L = pi _ {*} operatorname {MU}}$ . Тогда стек частных ${ displaystyle [ operatorname {Spec} L / G]}$ от ${ displaystyle G}$ ,

{ Displaystyle G (R) = {g in R [! [t] !] | g (t) = b_ {0} t + b_ {1} t ^ {2} + cdots, b_ { 0} in R ^ { times} }}

,

называется стек модулей формальных групповых законов, обозначаемый ${ displaystyle { mathcal {M}} _ { text {FG}}}$ .

Смотрите также

Гомотопический фактор
Стек модулей основных расслоений (который, грубо говоря, представляет собой бесконечное произведение классифицирующих стопок.)
Групповая схема действия

использованная литература

^ В Т-точка получается завершением диаграммы ${ displaystyle T leftarrow P to X to X / G}$ .
^ Орбифолды и струнная топология. Определение 1.7: Кембриджские трактаты по математике. п. 4.CS1 maint: location (ссылка на сайт)
^ Взято из http://www.math.harvard.edu/~lurie/252xnotes/Lecture11.pdf

Делинь, Пьер; Мамфорд, Дэвид (1969), «Неприводимость пространства кривых данного рода», Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 36 (36): 75–109, CiteSeerX 10.1.1.589.288, Дои:10.1007 / BF02684599, Г-Н 0262240
Тотаро, Берт (2004). «Свойство разрешения схем и стопок». Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 577: 1–22. arXiv:математика / 0207210. Дои:10.1515 / crll.2004.2004.577.1. Г-Н 2108211.

Некоторые другие ссылки

Беренд, Кай (1991). Формула следа Лефшеца для стека модулей главных расслоений (PDF) (Тезис). Калифорнийский университет в Беркли.
Эдидин, Дан. «Заметки о построении пространства модулей кривых» (PDF).

[1] В Т-точка получается завершением диаграммы ${ displaystyle T leftarrow P to X to X / G}$ .

[2] Орбифолды и струнная топология. Определение 1.7: Кембриджские трактаты по математике. п. 4.CS1 maint: location (ссылка на сайт)

[3] Взято из http://www.math.harvard.edu/~lurie/252xnotes/Lecture11.pdf

[1]

[2]

[3]