Двойственность Шура – ​​Вейля - Schur–Weyl duality

Двойственность Шура – ​​Вейля это математическая теорема в теория представлений связывающий неприводимые конечномерные представления общий линейный и симметричный группы. Он назван в честь двух пионеров теории представлений Группы Ли, Иссай Шур, открывший это явление, и Герман Вейль, который популяризировал это в своих книгах по квантовая механика и классические группы как способ классификации представлений о унитарный и общие линейные группы.

Двойственность Шура – ​​Вейля может быть доказана с помощью теорема о двойном централизаторе.[1]

Описание

Двойственность Шура – ​​Вейля образует архетипическую ситуацию в теории представлений, включающую два типа симметрия которые определяют друг друга. Рассмотрим тензор Космос

с k факторы.

В симметричная группа Sk на k буквы действует на этом пространстве (слева), переставляя множители,

Общая линейная группа GLп обратимого п×п матрицы воздействуют на него одновременным матричное умножение,

Эти два действия ездить, а в конкретном виде двойственность Шура – ​​Вейля утверждает, что при совместном действии групп Sk и GLптензорное пространство распадается на прямую сумму тензорных произведений неприводимых модулей (для этих двух групп), которые фактически определяют друг друга,

Слагаемые индексируются Диаграммы Юнга D с k коробки и самое большее п строки и представления из Sk с разными D взаимно неизоморфны, и то же самое верно для представлений из GLп.

Абстрактная форма двойственности Шура – ​​Вейля утверждает, что две алгебры операторов на тензорном пространстве, порожденные действиями GLп и Sk полностью взаимны центраторы в алгебре эндоморфизмов

Пример

Предположим, что k = 2 и п больше единицы. Тогда двойственность Шура – ​​Вейля - это утверждение, что пространство двух-тензоров распадается на симметричную и антисимметричную части, каждая из которых является неприводимым модулем для GLп:

Симметричная группа S2 состоит из двух элементов и имеет два неприводимых представления, тривиальное представление и знаковое представление. Тривиальное представление S2 рождает симметричные тензоры, которые инвариантны (т.е.не изменяются) относительно перестановки множителей, а знаковое представление соответствует кососимметричным тензорам, которые меняют знак.

Доказательство

Сначала рассмотрим следующую схему:

  • грамм а конечная группа,
  • групповая алгебра грамм,
  • конечномерное право А-модуль и
  • , который действует на U слева и коммутирует с правым действием грамм (или из А). Другими словами, является централизатором в кольце эндоморфизмов .

В доказательстве используются две алгебраические леммы.

Лемма 1. — [2] Если простой левый А-модуль, затем простой левый B-модуль.

Доказательство: С U является полупростой к Теорема Машке, есть разложение в простой А-модули. потом . С А левый регулярное представительство из грамм, каждый простой грамм-модуль появляется в А и у нас есть это (соответственно нулевой) тогда и только тогда, когда соответствуют тому же простому фактору А (соответственно иначе). Следовательно, мы имеем: Теперь легко увидеть, что каждый ненулевой вектор в создает все пространство как B-модуль и так это просто. (Вообще говоря, ненулевой модуль является простым тогда и только тогда, когда каждый его ненулевой циклический подмодуль совпадает с модулем.)

Лемма 2 — [3] Когда и грамм симметрическая группа , подпространство это B-подмодуль тогда и только тогда, когда он инвариантен относительно ; другими словами, B-подмодуль такой же, как -подмодуль.

Доказательство: Позволять . В . Также изображение W охватывает подпространство симметричных тензоров . С , образ пролеты . С плотно в W либо в евклидовой топологии, либо в топологии Зарисского следует утверждение.

Отсюда следует двойственность Шура – ​​Вейля. Мы принимаем быть симметрической группой и то d-я тензорная степень конечномерного комплексного векторного пространства V.

Позволять обозначим неприводимый -представление, соответствующее разбиению и . Тогда по лемме 1

неприводима как -модуль. Более того, когда левое полупростое разложение, имеем:[4]

,

которое является полупростым разложением как -модуль.

Примечания

  1. ^ Этингоф, Павел; Гольберг, Олег; Хенсель, Себастьян; Лю, Тянькай; Швенднер, Алекс; Вайнтроб Дмитрий; Юдовина, Елена (2011), Введение в теорию представлений. С историческими интермедиями Славы Геровича, Zbl  1242.20001, Теорема 5.18.4
  2. ^ Фултон и Харрис, Лемма 6.22.
  3. ^ Фултон и Харрис, Лемма 6.23.
  4. ^ Фултон и Харрис, Теорема 6.3. (2), (4)

Рекомендации

внешняя ссылка