Двойственность Шура – Вейля - Schur–Weyl duality
Двойственность Шура – Вейля это математическая теорема в теория представлений связывающий неприводимые конечномерные представления общий линейный и симметричный группы. Он назван в честь двух пионеров теории представлений Группы Ли, Иссай Шур, открывший это явление, и Герман Вейль, который популяризировал это в своих книгах по квантовая механика и классические группы как способ классификации представлений о унитарный и общие линейные группы.
Двойственность Шура – Вейля может быть доказана с помощью теорема о двойном централизаторе.[1]
Описание
Двойственность Шура – Вейля образует архетипическую ситуацию в теории представлений, включающую два типа симметрия которые определяют друг друга. Рассмотрим тензор Космос
- с k факторы.
В симметричная группа Sk на k буквы действует на этом пространстве (слева), переставляя множители,
Общая линейная группа GLп обратимого п×п матрицы воздействуют на него одновременным матричное умножение,
Эти два действия ездить, а в конкретном виде двойственность Шура – Вейля утверждает, что при совместном действии групп Sk и GLптензорное пространство распадается на прямую сумму тензорных произведений неприводимых модулей (для этих двух групп), которые фактически определяют друг друга,
Слагаемые индексируются Диаграммы Юнга D с k коробки и самое большее п строки и представления из Sk с разными D взаимно неизоморфны, и то же самое верно для представлений из GLп.
Абстрактная форма двойственности Шура – Вейля утверждает, что две алгебры операторов на тензорном пространстве, порожденные действиями GLп и Sk полностью взаимны центраторы в алгебре эндоморфизмов
Пример
Предположим, что k = 2 и п больше единицы. Тогда двойственность Шура – Вейля - это утверждение, что пространство двух-тензоров распадается на симметричную и антисимметричную части, каждая из которых является неприводимым модулем для GLп:
Симметричная группа S2 состоит из двух элементов и имеет два неприводимых представления, тривиальное представление и знаковое представление. Тривиальное представление S2 рождает симметричные тензоры, которые инвариантны (т.е.не изменяются) относительно перестановки множителей, а знаковое представление соответствует кососимметричным тензорам, которые меняют знак.
Доказательство
Сначала рассмотрим следующую схему:
- грамм а конечная группа,
- групповая алгебра грамм,
- конечномерное право А-модуль и
- , который действует на U слева и коммутирует с правым действием грамм (или из А). Другими словами, является централизатором в кольце эндоморфизмов .
В доказательстве используются две алгебраические леммы.
Лемма 1. — [2] Если простой левый А-модуль, затем простой левый B-модуль.
Доказательство: С U является полупростой к Теорема Машке, есть разложение в простой А-модули. потом . С А левый регулярное представительство из грамм, каждый простой грамм-модуль появляется в А и у нас есть это (соответственно нулевой) тогда и только тогда, когда соответствуют тому же простому фактору А (соответственно иначе). Следовательно, мы имеем: Теперь легко увидеть, что каждый ненулевой вектор в создает все пространство как B-модуль и так это просто. (Вообще говоря, ненулевой модуль является простым тогда и только тогда, когда каждый его ненулевой циклический подмодуль совпадает с модулем.)
Лемма 2 — [3] Когда и грамм симметрическая группа , подпространство это B-подмодуль тогда и только тогда, когда он инвариантен относительно ; другими словами, B-подмодуль такой же, как -подмодуль.
Доказательство: Позволять . В . Также изображение W охватывает подпространство симметричных тензоров . С , образ пролеты . С плотно в W либо в евклидовой топологии, либо в топологии Зарисского следует утверждение.
Отсюда следует двойственность Шура – Вейля. Мы принимаем быть симметрической группой и то d-я тензорная степень конечномерного комплексного векторного пространства V.
Позволять обозначим неприводимый -представление, соответствующее разбиению и . Тогда по лемме 1
неприводима как -модуль. Более того, когда левое полупростое разложение, имеем:[4]
- ,
которое является полупростым разложением как -модуль.
Примечания
- ^ Этингоф, Павел; Гольберг, Олег; Хенсель, Себастьян; Лю, Тянькай; Швенднер, Алекс; Вайнтроб Дмитрий; Юдовина, Елена (2011), Введение в теорию представлений. С историческими интермедиями Славы Геровича, Zbl 1242.20001, Теорема 5.18.4
- ^ Фултон и Харрис, Лемма 6.22.
- ^ Фултон и Харрис, Лемма 6.23.
- ^ Фултон и Харрис, Теорема 6.3. (2), (4)
Рекомендации
- Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. МИСТЕР 1153249. OCLC 246650103.
- Роджер Хоу, Перспективы теории инвариантов: двойственность Шура, действия без множественности и не только. Лекции Шура (1992) (Тель-Авив), 1–182, Israel Math. Конф. Proc., 8, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1995. МИСТЕР1321638
- Иссай Шур, Über eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen. Диссертация. Берлин. 76 S (1901) JMF 32.0165.04
- Иссай Шур, Über die rationalen Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppe. Sitzungsberichte Akad. Берлин 1927, 58–75 (1927) JMF 53.0108.05
- Герман Вейль, Классические группы. Их инварианты и представления. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1939. xii + 302 с. МИСТЕР0000255