Теорема Машкеса - Википедия - Maschkes theorem

В математике Теорема Машке,^[1]^[2] названный в честь Генрих Машке,^[3] это теорема в групповое представительство теория, которая касается разложения представлений конечная группа в несводимый шт. Теорема Машке позволяет сделать общие выводы о представлениях конечной группы грамм фактически не вычисляя их. Это сводит задачу классификации всех представлений к более управляемой задаче классификации. неприводимые представления, поскольку, когда применима теорема, любое представление является прямой суммой неприводимых частей (составляющих). Более того, из Теорема Жордана – Гёльдера что, хотя разложение в прямую сумму неприводимых подпредставлений может не быть уникальным, неприводимые части имеют хорошо определенные множественность. В частности, представление конечной группы над полем нулевой характеристики определяется с точностью до изоморфизма своим персонаж.

Составы

Теорема Машке обращается к вопросу: когда общее (конечномерное) представление построено из неприводимых субпредставления с использованием прямая сумма операция? Этот вопрос (и ответ на него) формулируются по-разному для разных точек зрения на теорию представлений групп.

Теоретико-групповой

Теорема Машке обычно формулируется как следствие к следующему результату:

Теорема. Если V является комплексным представлением конечной группы грамм с подпредставлением W, то есть еще одно подпредставление U из V такой, что V=W⊕U.^[4]^[5]

Тогда следствие

Следствие (теорема Машке). Каждое представление конечной группы грамм над полем F с характеристика не разделяя порядок грамм является прямой суммой неприводимых представлений.^[6]^[7]

В векторное пространство из комплексный функции класса группы грамм имеет естественный грамм-инвариантная внутренняя структура продукта, описанная в статье Соотношения ортогональности Шура. Теорема Машке была первоначально доказана для случая представлений над ${ Displaystyle mathbb {C}}$ путем строительства U как ортогональное дополнение из W под этим внутренним продуктом.

Модульно-теоретический

Один из подходов к представлениям конечных групп - через теория модулей. Представления группы грамм заменены на модули над его групповая алгебра K[грамм] (если быть точным, есть изоморфизм категорий между K[грамм] -Mod и Представитель_грамм, то категория представительств из грамм). Неприводимые представления соответствуют простые модули. На теоретико-модульном языке теорема Машке спрашивает: является ли произвольный модуль полупростой ? В этом контексте теорему можно переформулировать следующим образом:

Теорема Машке. Позволять грамм конечная группа и K поле, характеристика которого не делит порядок грамм. потом K[грамм], групповая алгебра грамм, является полупростой.^[8]^[9]

Важность этого результата связана с хорошо разработанной теорией полупростых колец, в частности Теорема Артина – Веддерберна (иногда называемая структурной теоремой Веддерберна). Когда K - поле комплексных чисел, это показывает, что алгебра K[грамм] является продуктом нескольких копий сложных матричные алгебры, по одному для каждого неприводимого представления.^[10] Если поле K имеет нулевую характеристику, но не алгебраически замкнутый, Например, K это область настоящий или же рациональный чисел, то справедливо несколько более сложное утверждение: групповая алгебра K[грамм] является произведением матричных алгебр над делительные кольца над K. Слагаемые соответствуют неприводимым представлениям грамм над K.^[11]

Теоретико-категориальный

Переформулировано на языке полупростые категории, Теорема Машке утверждает

Теорема Машке. Если грамм это группа и F - поле с характеристикой, не делящей порядка грамм, то категория представительств из грамм над F полупростой.

Доказательства

Теоретико-групповой

Позволять U быть подпространством V дополнение W. Позволять ${ displaystyle p_ {0}: от V до W}$ - функция проекции, т. е. ${ displaystyle p_ {0} (вес + и) = вес}$ для любого ${ Displaystyle и в U, ш в W}$ .

Определять ${ displaystyle p (x) = { frac {1} { # G}} sum _ {g in G} g cdot p_ {0} cdot g ^ {- 1} (x)}$ , куда ${ displaystyle g cdot p_ {0} cdot g ^ {- 1}}$ это сокращение от ${ displaystyle rho _ {W} {g} cdot p_ {0} cdot rho _ {V} {g ^ {- 1}}}$ , с ${ displaystyle rho _ {W} {g}, rho _ {V} {g ^ {- 1}}}$ являясь представлением грамм на W и V. Потом, ${ displaystyle ker p}$ сохраняется грамм под представлением ${ displaystyle rho _ {V}}$ : для любого ${ displaystyle w ' in ker p, h in G}$ ,

${ displaystyle { begin {align} p (hw ') & = h cdot h ^ {- 1} { frac {1} { # G}} sum _ {g in G} g cdot p_ {0} cdot g ^ {- 1} (hw ') & = h cdot { frac {1} { # G}} sum _ {g in G} (h ^ {- 1} cdot g) cdot p_ {0} cdot (g ^ {- 1} h) w ' & = h cdot { frac {1} { # G}} sum _ {g in G } g cdot p_ {0} cdot g ^ {- 1} w ' & = h cdot p (w') & = 0 end {выровнено}}}$

так ${ displaystyle w ' in ker p}$ подразумевает, что ${ displaystyle hw ' in ker p}$ . Итак, ограничение ${ displaystyle rho _ {V}}$ на ${ displaystyle ker p}$ также является представлением.

По определению ${ displaystyle p}$ , для любого ${ displaystyle w in W}$ , ${ Displaystyle р (ш) = ш}$ , так ${ Displaystyle W cap ker p = {0 }}$ , и для любого ${ displaystyle v in V}$ , ${ Displaystyle p (p (v)) = p (v)}$ . Таким образом, ${ Displaystyle p (v-p (v)) = 0}$ , и ${ Displaystyle v-p (v) in ker p}$ . Следовательно, ${ Displaystyle V = W oplus ker p}$ .

Модульно-теоретический

Позволять V быть K[грамм] -подмодуль. Мы докажем, что V является прямым слагаемым. Позволять π быть любым K-линейная проекция K[грамм] на V. Рассмотрим карту

{ displaystyle { begin {case} phi: K [G] to V phi (x) = { frac {1} { # G}} sum _ {s in G} s cdot pi (s ^ {- 1} cdot x) end {case}}}

потом φ снова проекция: это ясно K-линейные, карты K[грамм] на V, и индуцирует тождество на V. Кроме того, у нас есть

{ displaystyle { begin {align} phi (t cdot x) & = { frac {1} { # G}} sum _ {s in G} s cdot pi (s ^ {- 1} cdot t cdot x) & = { frac {1} { # G}} sum _ {u in G} t cdot u cdot pi (u ^ {- 1} cdot x) & = t cdot phi (x), end {выровнено}}}

так φ на самом деле K[грамм] -линейный. Посредством лемма о расщеплении, ${ Displaystyle К [G] = В oplus ker phi}$ . Это доказывает, что каждый подмодуль является прямым слагаемым, т. Е. K[грамм] полупрост.

Заявление Converse

Приведенное выше доказательство зависит от того, что #грамм обратима в K. Это может привести к вопросу, верна ли обратная теорема Машке: если характеристика K делит порядок граммследует ли из этого K[грамм] не полупростой? Ответ да.^[12]

Доказательство. За ${ displaystyle x = sum lambda _ {g} g in K [G]}$ определять ${ Displaystyle epsilon (х) = сумма лямбда _ {г}}$ . Позволять ${ Displaystyle I = ker epsilon}$ . потом я это K[грамм] -подмодуль. Докажем, что для любого нетривиального подмодуля V из K[грамм], ${ displaystyle I cap V neq 0}$ . Позволять V быть дано, и пусть ${ displaystyle v = sum mu _ {g} g}$ быть любым ненулевым элементом V. Если ${ displaystyle epsilon (v) = 0}$ , претензия немедленно. В противном случае пусть ${ displaystyle s = sum 1g}$ . потом ${ Displaystyle epsilon (s) = # G cdot 1 = 0}$ так ${ displaystyle s in I}$ и

{ displaystyle sv = left ( sum 1g right) left ( sum mu _ {g} g right) = sum epsilon (v) g = epsilon (v) s}

так что ${ displaystyle sv}$ является ненулевым элементом обоих я и V. Это доказывает V не является прямым дополнением я для всех V, так K[грамм] не является полупростым.

Не примеры

Теорема неприменима к случаю, когда грамм бесконечно, или когда поле K имеет характеристики, разделяющие | G |. Например,

Рассмотрим бесконечную группу ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ и представление ${ displaystyle rho: mathbb {Z} to GL_ {2} ( mathbb {C})}$ определяется ${ displaystyle rho (n) = { begin {bmatrix} 1 & 1 0 & 1 end {bmatrix}} ^ {n} = { begin {bmatrix} 1 & n 0 & 1 end {bmatrix}}}$ . Позволять ${ Displaystyle W = mathbb {C} cdot { begin {bmatrix} 1 0 end {bmatrix}}}$ , одномерное подпространство ${ Displaystyle GL_ {2} ( mathbb {C})}$ охватывает ${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 0 end {bmatrix}}}$ . Тогда ограничение ${ displaystyle rho}$ на W является тривиальным подпредставлением ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ . Однако нет U так что оба W, U являются субпредставлениями ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ и ${ Displaystyle mathbb {Z} = W oplus U}$ : любое такое U должно быть одномерным, но любое одномерное подпространство сохраняется ${ displaystyle rho}$ должен быть покрыт собственным вектором для ${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 1 0 & 1 end {bmatrix}}}$ , и единственный собственный вектор для этого - ${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 0 end {bmatrix}}}$ .
Рассмотрим простое число п, а группа ${ Displaystyle mathbb {Z} / _ {p} mathbb {Z}}$ , поле ${ Displaystyle К = mathbb {F} _ {p}}$ , а представление ${ displaystyle rho: mathbb {Z} / _ {p} mathbb {Z} to GL_ {2} ( mathbb {F} _ {p})}$ определяется ${ Displaystyle rho (п) = { begin {bmatrix} 1 & n 0 & 1 end {bmatrix}}}$ . Простые вычисления показывают, что существует только один собственный вектор для ${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 1 0 & 1 end {bmatrix}}}$ здесь, по тем же аргументам, 1-мерное подпредставление ${ Displaystyle mathbb {Z} / _ {p} mathbb {Z}}$ уникален, и ${ Displaystyle mathbb {Z} / _ {p} mathbb {Z}}$ не может быть разложен на прямую сумму двух одномерных подпредставлений.

Примечания

^ Машке, Генрих (1898-07-22). "Ueber den arithmetischen Charakter der Coefficienten der Substitutionen endlicher linearer Substitutionsgruppen" [Об арифметическом характере коэффициентов подстановок конечных линейных групп подстановок]. Математика. Анна. (на немецком). 50 (4): 492–498. Дои:10.1007 / BF01444297. JFM 29.0114.03. МИСТЕР 1511011.
^ Машке, Генрих (1899-07-27). "Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionsgruppen, in welchen einige durchgehends verschwindende Coefficienten auftreten, intransitiv sind" [Доказательство теоремы о том, что те конечные линейные группы подстановок, в которых встречаются некоторые всюду исчезающие коэффициенты, интранзитивны]. Математика. Анна. (на немецком). 52 (2–3): 363–368. Дои:10.1007 / BF01476165. JFM 30.0131.01. МИСТЕР 1511061.
^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., "Генрих Машке", Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
^ Фултон и Харрис, Предложение 1.5.
^ Серр, Теорема 1.
^ Фултон и Харрис, Следствие 1.6.
^ Серр, Теорема 2.
^ Отсюда следует, что каждый модуль над K[грамм] - полупростой модуль.
^ Верно и обратное утверждение: если характеристика поля делит порядок группы ( модульный корпус), то групповая алгебра не является полупростой.
^ Количество слагаемых можно вычислить, и оно оказывается равно количеству слагаемых классы сопряженности группы.
^ Следует быть осторожным, поскольку представление может разлагаться по-разному в разных полях: представление может быть неприводимым по действительным числам, но не по комплексным числам.
^ Серр, Упражнение 6.1.

Теорема Машкеса - Википедия - Maschkes theorem

Содержание

Составы

Теоретико-групповой

Модульно-теоретический

Теоретико-категориальный

Доказательства

Теоретико-групповой

Модульно-теоретический

Заявление Converse

Не примеры

Примечания

Рекомендации