Спектр Циглера - Ziegler spectrum

В математика, право) Спектр Циглера из звенеть р это топологическое пространство чьи точки являются (классами изоморфизма) неразложимый чисто инъективный верно р-модули. Его закрытые подмножества соответствуют теориям модулей, замкнутых относительно произвольных произведений и прямых слагаемых. Спектры Циглера названы в честь Мартина Циглера, который впервые определил и изучил их в 1984 году.^[1]

Определение

Позволять р кольцо (ассоциативное, с 1, не обязательно коммутативное). А (справа) pp-п-формула это формула на языке (справа) р-модули вида

$${ Displaystyle существует { overline {y}} ({ overline {y}}, { overline {x}}) A = 0}$$

куда ${ displaystyle ell, n, m}$ натуральные числа, ${ displaystyle A}$ является ${ Displaystyle ( ell + п) раз м}$ матрица с записями из р, и ${ displaystyle { overline {y}}}$ является ${ displaystyle ell}$-набор переменных и ${ displaystyle { overline {x}}}$ является ${ displaystyle n}$-набор переменных.

Спектр Циглера (справа), ${ displaystyle operatorname {Zg} _ {R}}$, из р - топологическое пространство, точки которого являются классами изоморфизма неразложимых чисто инъективных правых модулей, обозначаемых ${ displaystyle operatorname {pinj} _ {R}}$; Топология имеет множества

$${ Displaystyle ( varphi / psi) = {N in operatorname {pinj} _ {R} mid varphi (N) supsetneq psi (N) cap varphi (N) }}$$

в качестве суббазис открытых множеств, где ${ displaystyle varphi, psi}$ диапазон (справа) pp-1-формулы и ${ displaystyle varphi (N)}$ обозначает подгруппу ${ displaystyle N}$ состоящий из всех элементов, удовлетворяющих формуле одной переменной ${ displaystyle varphi}$. Можно показать, что эти множества составляют основу.

Характеристики

Спектры Циглера редко Хаусдорф и часто не имеют ${ displaystyle T_ {0}}$-свойство. Однако они всегда компактный и имеют базис компактных открытых множеств, задаваемый множествами ${ Displaystyle ( varphi / psi)}$ куда ${ displaystyle varphi, psi}$ являются pp-1-формулами.

Когда кольцо р счетно ${ displaystyle operatorname {Zg} _ {R}}$ является трезвый.^[2] В настоящее время неизвестно, все ли спектры Циглера трезвые.

Обобщение

Иво Херцог показал в 1997 году, как определить спектр Циглера локально когерентного Категория Гротендика, обобщающее приведенную выше конструкцию.^[3]

Рекомендации