Нетерово топологическое пространство - Noetherian topological space

В математике Нетерово топологическое пространство, названный в честь Эмми Нётер, это топологическое пространство в котором замкнутые подмножества удовлетворяют состояние нисходящей цепочки. Точно так же можно сказать, что открытые подмножества удовлетворяют условие возрастающей цепи, поскольку они являются дополнениями замкнутых подмножеств. Нётеровское свойство топологического пространства также можно рассматривать как сильное компактность условие, а именно, что каждое открытое подмножество такого пространства компактно, и фактически оно эквивалентно, казалось бы, более сильному утверждению, что каждый подмножество компактно.

Определение

Топологическое пространство ${ displaystyle X}$ называется Нётерян если он удовлетворяет состояние нисходящей цепочки за закрытые подмножества: для любого последовательность

{ Displaystyle Y_ {1} supseteq Y_ {2} supseteq cdots}

замкнутых подмножеств ${ displaystyle Y_ {i}}$ из ${ displaystyle X}$ , есть целое число ${ displaystyle m}$ такой, что ${ displaystyle Y_ {m} = Y_ {m + 1} = cdots.}$

Характеристики

Топологическое пространство ${ displaystyle X}$ является нётеровым тогда и только тогда, когда каждый подпространство из ${ displaystyle X}$ компактна (т. е. ${ displaystyle X}$ наследственно компактно), и тогда и только тогда, когда каждое открытое подмножество ${ displaystyle X}$ компактный.^[1]
Каждое подпространство нётерова пространства нётерово.
Непрерывный образ нётерова пространства нётеров.^[2]
Конечное объединение нётеровых подпространств топологического пространства нётерово.^[3]
Каждый Хаусдорф Нётерово пространство конечно с дискретная топология.

Доказательство: Каждое подмножество X компактно в хаусдорфовом пространстве, следовательно, замкнуто. Итак, X имеет дискретную топологию и, будучи компактным, должно быть конечным.

Каждое нётерское пространство Икс имеет конечное число неприводимые компоненты.^[4] Если неприводимые компоненты ${ displaystyle X_ {1}, ..., X_ {n}}$ , тогда ${ Displaystyle X = X_ {1} чашка cdots чашка X_ {n}}$ , и ни один из компонентов ${ displaystyle X_ {i}}$ содержится в объединении других компонентов.

Из алгебраической геометрии

Многие примеры нётеровых топологических пространств взяты из алгебраическая геометрия, где для Топология Зарисского ан неприводимое множество интуитивно понятно, что любое замкнутое собственное подмножество имеет меньшую размерность. Поскольку измерение может «спрыгнуть» только конечное число раз, и алгебраические множества состоят из конечных объединений неприводимых множеств, нисходящие цепочки замкнутых множеств Зарисского в конечном итоге должны быть постоянными.

Более алгебраический способ увидеть это состоит в том, что связанный идеалы определяющие алгебраические множества должны удовлетворять условие возрастающей цепи. Это следует потому, что кольца алгебраической геометрии в классическом смысле Нётерские кольца. Таким образом, этот класс примеров также объясняет название.

Если р коммутативное нётерово кольцо, то Spec (р), простой спектр из р, является нётеровым топологическим пространством. В более общем плане Схема Нётера является нётеровым топологическим пространством. Обратное неверно, поскольку Spec (р) одномерной области оценки р состоит ровно из двух точек и поэтому является нётеровым, но есть примеры таких колец, которые не являются нётеровыми.

Пример

Космос ${ displaystyle mathbb {A} _ {k} ^ {n}}$ (аффинный ${ displaystyle n}$ -пространство над поле ${ displaystyle k}$ ) под Топология Зарисского является примером нётерова топологического пространства. По свойствам идеальный подмножества ${ displaystyle mathbb {A} _ {k} ^ {n}}$ , мы знаем, что если

{ Displaystyle Y_ {1} supseteq Y_ {2} supseteq Y_ {3} supseteq cdots}

является убывающей цепочкой замкнутых по Зарискому подмножеств, то

{ Displaystyle I (Y_ {1}) substeq I (Y_ {2}) substeq I (Y_ {3}) substeq cdots}

это восходящая цепочка идеалов ${ displaystyle k [x_ {1}, ldots, x_ {n}].}$ С ${ Displaystyle к [x_ {1}, ldots, x_ {n}]}$ является нётеровым кольцом, существует целое число ${ displaystyle m}$ такой, что