Котангенциальный пучок - Википедия - Cotangent sheaf

В алгебраической геометрии с учетом морфизма ж: Икс → S схем, котангенциальный пучок на Икс это пучок ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-модули который представляет (или классифицирует) S-производные ^[1] в смысле: для любого ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-модули F, существует изоморфизм

${ displaystyle operatorname {Hom} _ {{ mathcal {O}} _ {X}} ( Omega _ {X / S}, F) = operatorname {Der} _ {S} ({ mathcal {O }} _ {X}, F)}$

это естественно зависит от F. Другими словами, кокасательный пучок обладает универсальным свойством: существует дифференциал ${ displaystyle d: { mathcal {O}} _ {X} to Omega _ {X / S}}$ такой, что любой S-деривация ${ displaystyle D: { mathcal {O}} _ {X} to F}$ факторы как ${ displaystyle D = alpha circ d}$ с некоторыми ${ displaystyle alpha: Omega _ {X / S} to F}$.

В случае Икс и S являются аффинными схемами, данное определение означает, что ${ displaystyle Omega _ {X / S}}$ это модуль Дифференциалы Kähler. Стандартный способ построения кокасательного пучка (например, Hartshorne, Ch II. § 8) - это диагональный морфизм (который сводится к склеиванию модулей кэлеровских дифференциалов на аффинных картах для получения глобально определенного кокасательного пучка). двойной модуль котангенсного пучка на схеме Икс называется касательная связка на Икс и иногда обозначается ${ displaystyle Theta _ {X}}$.^[2]

Есть две важные точные последовательности:

1. Если S →Т является морфизмом схем, то

   ${ displaystyle f ^ {*} Omega _ {S / T} to Omega _ {X / T} to Omega _ {X / S} to 0.}$

2. Если Z замкнутая подсхема Икс с идеальной связкой я, тогда

   ${ displaystyle I / I ^ {2} to Omega _ {X / S} otimes _ {O_ {X}} { mathcal {O}} _ {Z} to Omega _ {Z / S} до 0.}$^[3][4]

Котангенсный пучок тесно связан с гладкость разновидности или схемы. Например, алгебраическое многообразие - это гладкий измерения п тогда и только тогда, когда Ω_Икс это локально свободная связка ранга п.^[5]

Построение через диагональный морфизм

Позволять ${ displaystyle f: X to S}$ - морфизм схем, как во введении, и Δ: Икс → Икс ×_S Икс диагональный морфизм. Тогда образ Δ есть локально закрыто; т.е. замкнутый в некотором открытом подмножестве W из Икс ×_S Икс (изображение закрывается тогда и только тогда, когда ж является отделенный ). Позволять я - пучок идеалов ∆ (Икс) в W. Затем кладут:

${ Displaystyle Omega _ {X / S} = Delta ^ {*} (I / I ^ {2})}$

и проверяет, что этот пучок модулей удовлетворяет требуемому универсальному свойству кокасательного пучка (Hartshorne, Ch II. Remark 8.9.2). Конструкция показывает, в частности, что котангенсный пучок квазикогерентный. Это связно, если S является Нётерян и ж имеет конечный тип.

Приведенное выше определение означает, что котангенсный пучок на Икс это ограничение на Икс из конормальный пучок к диагональному вложению Икс над S.

Смотрите также: связка основных частей.

Отношение к тавтологическому пучку строк

Котангенсный пучок на проективном пространстве связан с пучок тавтологических линий О(-1) следующей точной последовательностью: запись ${ displaystyle mathbf {P} _ {R} ^ {n}}$ для проективного пространства над кольцом р,

${ displaystyle 0 to Omega _ { mathbf {P} _ {R} ^ {n} / R} to { mathcal {O}} _ { mathbf {P} _ {R} ^ {n} } (- 1) ^ { oplus (n + 1)} to { mathcal {O}} _ { mathbf {P} _ {R} ^ {n}} to 0.}$

(Смотрите также Класс Черна # Комплексное проективное пространство.)

Котангенсный стек

По поводу этого понятия см. § 1

А. Бейлинсон и В. Дринфельд, Квантование интегрируемой системы Хитчина и собственные пучки Гекке [1]^[6]

Здесь котангенсный стек на алгебраическом стеке Икс определяется как относительная спецификация симметрической алгебры касательного пучка на Икс. (Примечание: как правило, если E это локально свободная связка конечного ранга, ${ displaystyle mathbf {Spec} ( operatorname {Sym} ({ check {E}}))}$ это алгебраическое векторное расслоение соответствующий E.^{[нужна цитата ]})

Смотрите также: Расслоение Хитчина (котангенсный стек ${ displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (X)}$ - полное пространство расслоения Хитчина.)

Примечания

Смотрите также

• котангенс комплекс

Рекомендации

• «Связка дифференциалов морфизма».
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, МИСТЕР  0463157

внешняя ссылка

• «Вопросы о касательном и котангенсном расслоении на схемах». Обмен стеком. 2 ноября 2014 г.