Последовательность Майера – Виеториса - Mayer–Vietoris sequence

В математика особенно алгебраическая топология и теория гомологии, то Последовательность Майера – Виеториса является алгебраический инструмент, помогающий вычислить алгебраические инварианты из топологические пространства, известные как их гомология и группы когомологий. Результат обусловлен двумя Австрийский математики, Вальтер Майер и Леопольд Виеторис. Метод состоит в разбиении пространства на подпространства, для которых группы гомологий или когомологий может быть проще вычислить. Последовательность связывает группы (ко) гомологий пространства с группами (ко) гомологий подпространств. Это естественный длинная точная последовательность, элементами которого являются группы (ко) гомологий всего пространства, прямая сумма групп (ко) гомологий подпространств и групп (ко) гомологий пересечение подпространств.

Последовательность Майера – Виеториса верна для множества когомология и теории гомологии, в том числе симплициальные гомологии и особые когомологии. В общем, последовательность верна для тех теорий, удовлетворяющих Аксиомы Эйленберга – Стинрода, и есть вариации как для уменьшенный и родственник (ко) гомологии. Поскольку (ко) гомологии большинства пространств не могут быть вычислены непосредственно из их определений, можно использовать такие инструменты, как последовательность Майера – Виеториса, в надежде получить частичную информацию. Многие места встречаются в топология создаются путем соединения очень простых патчей. Тщательный выбор двух покрывающих подпространств так, чтобы вместе с их пересечением они имели более простые (ко) гомологии, чем гомология всего пространства, может позволить сделать полный вывод (ко) гомологии пространства. В этом отношении последовательность Майера – Виеториса аналогична последовательности Теорема Зейферта – ван Кампена для фундаментальная группа, и точное соотношение существует для гомологий размерности один.

Предпосылки, мотивация и история

Леопольд Виеторис к 110-летию со дня рождения

Словно фундаментальная группа или выше гомотопические группы пространства, группы гомологий являются важными топологическими инвариантами. Хотя некоторые теории (ко) гомологии вычислимы с использованием инструментов линейная алгебра, многие другие важные теории (ко) гомологии, особенно сингулярные (ко) гомологии, не вычисляются непосредственно из их определения для нетривиальных пространств. Для сингулярных (ко) гомологий группы сингулярных (ко) цепей и (ко) циклов часто слишком велики для непосредственной обработки. Необходимы более тонкие и косвенные подходы. Последовательность Майера – Виеториса представляет собой такой подход, который дает частичную информацию о группах (ко) гомологий любого пространства, связывая его с группами (ко) гомологий двух его подпространств и их пересечением.

Наиболее естественный и удобный способ выразить отношение включает алгебраическое понятие точные последовательности: последовательности объекты (в таком случае группы ) и морфизмы (в таком случае групповые гомоморфизмы ) между ними так, что образ одного морфизма равно ядро следующего. В общем, это не позволяет полностью вычислить группы (ко) гомологий пространства. Однако, поскольку многие важные пространства, встречающиеся в топологии, являются топологические многообразия, симплициальные комплексы, или Комплексы CW, которые построены путем объединения очень простых фрагментов воедино, теорема, подобная теореме Майера и Виеториса, потенциально имеет широкое и глубокое применение.

Майер познакомил с топологией его коллега Виеторис, когда он посещал свои лекции в 1926 и 1927 годах в местном университете в г. Вена.^[1] Ему рассказали о предполагаемом результате и способе его решения, и он решил вопрос за Бетти числа в 1929 г.^[2] Он применил свои результаты к тор рассматривается как соединение двух цилиндров.^[3][4] Позднее Вьеторис доказал полный результат для групп гомологии в 1930 году, но не выразил его в виде точной последовательности.^[5] Концепция точной последовательности появилась в печати только в книге 1952 года. Основы алгебраической топологии от Сэмюэл Эйленберг и Норман Стинрод^[6] где результаты Майера и Виеториса были выражены в современной форме.^[7]

Основные версии сингулярных гомологий

Позволять Икс быть топологическое пространство и А, B - два подпространства, интерьеры обложка Икс. (Интерьеры А и B не должны быть непересекающимися.) Последовательность Майера – Виеториса в особые гомологии для триады (Икс, А, B) это длинная точная последовательность связывающие группы особых гомологий (с группой коэффициентов целые числа Z) пространств Икс, А, B, а пересечение А∩B.^[8] Есть нередуцированная и сокращенная версия.

Нередуцированная версия

Для нередуцированной гомологии последовательность Майера – Виеториса утверждает, что следующая последовательность является точной:^[9]

${ displaystyle cdots to H_ {n + 1} (X) , { xrightarrow { partial _ {*}}} , H_ {n} (A cap B) , { xrightarrow {(i_ {*}, j _ {*})}} , H_ {n} (A) oplus H_ {n} (B) , { xrightarrow {k _ {*} - l _ {*}}} , H_ { n} (X) , { xrightarrow { partial _ {*}}} , H_ {n-1} (A cap B) to cdots}$

${ displaystyle qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad cdots к H_ {0} (A) oplus H_ {0} (B) , { xrightarrow {k _ {*} - l _ {*}}} , H_ {0} (X) to 0.}$

Вот я : А∩B ↪ А, j : А∩B ↪ B, k : А ↪ Икс, и л : B ↪ Икс находятся карты включения и ${ displaystyle oplus}$ обозначает прямая сумма абелевых групп.

Граничная карта

Иллюстрация граничной карты ∂_∗ на торе, где 1-цикл Икс = ты + v представляет собой сумму двух 1-цепей, граница которых лежит в пересечении А и B.

Граничные отображения ∂_∗ снижение размера можно определить следующим образом.^[10] Элемент в ЧАС_п(Икс) - класс гомологии п-цикл Икс который, по барицентрическое подразделение например, можно записать как сумму двух п-цепи ты и v чьи образы полностью лежат в А и Bсоответственно. Таким образом, ∂Икс = ∂(ты + v) = 0, так что ∂ты = −∂v. Отсюда следует, что образы обеих этих границ (п - 1) -циклы содержатся в пересечении А∩B. Тогда ∂_∗([Икс]) можно определить как класс ∂ты в ЧАС_п−1(А∩B). Выбор другого разложения Икс = u ′ + v ′ не влияет на [∂ты], поскольку ∂ты + ∂v = ∂Икс = ∂u ′ + ∂v ′, откуда следует ∂ты − ∂u ′ = ∂(v ′ − v), поэтому ∂ты и ∂u ′ принадлежат к одному классу гомологии; и выбор другого представителя Икс', с тех пор ∂Икс' = ∂Икс = 0. Обратите внимание, что отображения в последовательности Майера – Виеториса зависят от выбора порядка для А и B. В частности, карта границ меняет знак, если А и B поменяны местами.

Уменьшенная версия

Для пониженная гомология существует также последовательность Майера – Виеториса в предположении, что А и B имеют непустой пересечение.^[11] Последовательность идентична для положительных размеров и заканчивается следующим образом:

${ displaystyle cdots to { tilde {H}} _ {0} (A cap B) , { xrightarrow {(i _ {*}, j _ {*})}} , { tilde {H }} _ {0} (A) oplus { tilde {H}} _ {0} (B) , { xrightarrow {k _ {*} - l _ {*}}} , { tilde {H} } _ {0} (X) до 0.}$

Аналогия с теоремой Зейферта – ван Кампена.

Существует аналогия между последовательностью Майера – Виеториса (особенно для групп гомологии размерности 1) и последовательностью Теорема Зейферта – ван Кампена.^[10][12] Всякий раз, когда ${ displaystyle A cap B}$ является соединенный путём, приведенная последовательность Майера – Виеториса дает изоморфизм

${ displaystyle H_ {1} (X) cong (H_ {1} (A) oplus H_ {1} (B)) / { text {Ker}} (k _ {*} - l _ {*})}$

где по точности

${ displaystyle { text {Ker}} (k _ {*} - l _ {*}) cong { text {Im}} (i _ {*}, j _ {*}).}$

Это как раз то абелианизированный формулировка теоремы Зейферта – ван Кампена. Сравните с тем, что ${ displaystyle H_ {1} (X)}$ абелианизация фундаментальная группа ${ displaystyle pi _ {1} (X)}$ когда ${ displaystyle X}$ связано с путями.^[13]

Основные приложения

k-сфера

Разложение для Икс = S²

Чтобы полностью вычислить гомологии k-сфера Икс = S^k, позволять А и B быть двумя полушариями Икс с пересечением гомотопический эквивалент к (k - 1) -мерная экваториальная сфера. Поскольку k-мерные полушария гомеоморфный к k-диски, которые стягиваемый, группы гомологий для А и B находятся банальный. Последовательность Майера – Виеториса для пониженная гомология группы затем дает

${ displaystyle cdots longrightarrow 0 longrightarrow { tilde {H}} _ {n} ! left (S ^ {k} right) , { xrightarrow { overset {} { partial _ {* }}}} , { tilde {H}} _ {n-1} ! left (S ^ {k-1} right) longrightarrow 0 longrightarrow cdots}$

Из точности сразу следует, что отображение ∂_* является изоморфизмом. С использованием пониженная гомология из 0-сфера (два балла) как базовый вариант, следует^[14]

${ displaystyle { tilde {H}} _ {n} ! left (S ^ {k} right) cong delta _ {kn} , mathbb {Z} = { begin {cases} mathbb {Z} & { mbox {if}} n = k 0 & { mbox {if}} n neq k end {case}}}$

где δ - Дельта Кронекера. Такое полное понимание групп гомологии сфер резко контрастирует с современными знаниями о гомотопические группы сфер, особенно для случая п > k о которых мало что известно.^[15]

Бутылка Клейна

Бутылка Клейна (фундаментальный многоугольник с соответствующими отождествлениями ребер), разложенных на две полосы Мёбиуса А (синим цветом) и B (в красном).

Несколько более сложным применением последовательности Майера – Виеториса является вычисление групп гомологии Бутылка Клейна Икс. Используется разложение Икс как союз двух Ленты Мебиуса А и B приклеенный вдоль их ограничивающего круга (см. иллюстрацию справа). потом А, B и их пересечение А∩B находятся гомотопический эквивалент в круги, поэтому нетривиальная часть последовательности дает^[16]

${ displaystyle 0 rightarrow { тильда {H}} _ {2} (X) rightarrow mathbb {Z} { xrightarrow { overset {} { alpha}}} mathbb {Z} oplus mathbb {Z} rightarrow , { tilde {H}} _ {1} (X) rightarrow 0}$

а тривиальная часть подразумевает исчезающие гомологии для размерностей больше 2. Центральное отображение α переводит 1 в (2, −2), поскольку граничная окружность ленты Мёбиуса дважды оборачивается вокруг основной окружности. В частности, α является инъективный поэтому гомологии размерности 2 также исчезают. Наконец, выбирая (1, 0) и (1, −1) в качестве основы для Z², следует

${ Displaystyle { тильда {H}} _ {n} влево (X вправо) cong delta _ {1n} , ( mathbb {Z} oplus mathbb {Z} _ {2}) = { begin {case} mathbb {Z} oplus mathbb {Z} _ {2} & { mbox {if}} n = 1 0 & { mbox {if}} n neq 1 end { case}}}$

Клин-суммы

Это разложение суммы клина Икс двух 2-х сфер K и L дает все группы гомологий Икс.

Позволять Икс быть сумма клина двух пространств K и L, и предположим, кроме того, что идентифицированные базовая точка это деформационный отвод из открытые кварталы U ⊆ K и V ⊆ L. Сдача А = K ∪ V и B = U ∪ L это следует из того А ∪ B = Икс и А ∩ B = U ∪ V, который стягиваемый по конструкции. Тогда сокращенная версия последовательности дает (по точности)^[17]

${ displaystyle { tilde {H}} _ {n} (K vee L) cong { tilde {H}} _ {n} (K) oplus { tilde {H}} _ {n} ( L)}$

для всех размеров п. На рисунке справа показано Икс как сумма двух 2-сфер K и L. Для этого конкретного случая, используя результат сверху для 2-х сфер

${ displaystyle { tilde {H}} _ {n} left (S ^ {2} vee S ^ {2} right) cong delta _ {2n} , ( mathbb {Z} oplus mathbb {Z}) = left {{ begin {matrix} mathbb {Z} oplus mathbb {Z} & { mbox {if}} n = 2 0 & { mbox {if}} n neq 2 end {matrix}} right.}$

Подвески

Это разложение суспензии Икс 0-сферы Y дает все группы гомологий Икс.

Если Икс это подвеска SY пространства Y, позволять А и B быть дополняет в Икс верхней и нижней «вершин» двойного конуса соответственно. потом Икс это союз А∪B, с участием А и B сжимаемый. Также перекресток А∩B гомотопически эквивалентен Y. Следовательно, последовательность Майера – Виеториса дает для всех п,^[18]

${ displaystyle { tilde {H}} _ {n} (SY) cong { tilde {H}} _ {n-1} (Y)}$

На рисунке справа показана 1-сфера. Икс как подвеска 0-сферы Y. Отмечая в целом, что k-сфера - приостановка (k - 1) -сферы легко вывести группы гомологий k-сфера по индукции, как указано выше.

Дальнейшее обсуждение

Относительная форма

А родственник форма последовательности Майера – Виеториса также существует. Если Y ⊂ Икс и это союз C ⊂ А и D ⊂ B, то точная последовательность такова:^[19]

${ displaystyle cdots to H_ {n} (A cap B, C cap D) , { xrightarrow {(i _ {*}, j _ {*})}} , H_ {n} (A, C) oplus H_ {n} (B, D) , { xrightarrow {k _ {*} - l _ {*}}} , H_ {n} (X, Y) , { xrightarrow { partial _ {*}}} , H_ {n-1} (A cap B, C cap D) to cdots}$

Натуральность

Группы гомологии естественный в том смысле, что если ${ displaystyle f: X_ {1} to X_ {2}}$ это непрерывный map, то есть канонический продвигать отображение групп гомологии ${ displaystyle f _ {*}: H_ {k} (X_ {1}) to H_ {k} (X_ {2})}$ таким образом, что композиция pushforwards является pushforward композиции: то есть, ${ displaystyle (g circ h) _ {*} = g _ {*} circ h _ {*}.}$ Последовательность Майера – Виеториса также естественна в том смысле, что если

${ displaystyle { begin {matrix} X_ {1} = A_ {1} cup B_ {1} X_ {2} = A_ {2} cup B_ {2} end {matrix}} qquad { text {and}} qquad { begin {matrix} f (A_ {1}) subset A_ {2} f (B_ {1}) subset B_ {2} end {matrix}}}$

то связующий морфизм последовательности Майера – Виеториса, ${ displaystyle partial _ {*},}$ ездит с ${ displaystyle f _ {*}}$.^[20] То есть следующая диаграмма ездит на работу^[21] (горизонтальные карты обычные):

${ displaystyle { begin {matrix} cdots & H_ {n + 1} (X_ {1}) & longrightarrow & H_ {n} (A_ {1} cap B_ {1}) & longrightarrow & H_ {n} ( A_ {1}) oplus H_ {n} (B_ {1}) & longrightarrow & H_ {n} (X_ {1}) & longrightarrow & H_ {n-1} (A_ {1} cap B_ {1} ) & longrightarrow & cdots & f _ {*} { Bigg downarrow} && f _ {*} { Bigg downarrow} && f _ {*} { Bigg downarrow} && f _ {*} { Bigg downarrow} && f_ {*} { Bigg downarrow} cdots & H_ {n + 1} (X_ {2}) & longrightarrow & H_ {n} (A_ {2} cap B_ {2}) & longrightarrow & H_ {n } (A_ {2}) oplus H_ {n} (B_ {2}) & longrightarrow & H_ {n} (X_ {2}) & longrightarrow & H_ {n-1} (A_ {2} cap B_ { 2}) & longrightarrow & cdots end {matrix}}}$

Когомологические версии

Длинная точная последовательность Майера – Виеториса для особые когомологии группы с коэффициентом группа г является двойной к гомологической версии. Это следующее:^[22]

${ Displaystyle cdots к H ^ {n} (X; G) к H ^ {n} (A; G) oplus H ^ {n} (B; G) к H ^ {n} (A cap B; G) to H ^ {n + 1} (X; G) to cdots}$

где сохраняющие размерность отображения - это ограничительные отображения, индуцированные из включений, а (ко-) граничные отображения определены аналогично гомологической версии. Есть и относительная формулировка.

Как важный частный случай, когда г это группа действительные числа р а основное топологическое пространство имеет дополнительную структуру гладкое многообразие, последовательность Майера – Виеториса для когомологии де Рама является

${ Displaystyle cdots к H ^ {n} (X) , { xrightarrow { rho}} , H ^ {n} (U) oplus H ^ {n} (V) , { xrightarrow { Delta}} , H ^ {n} (U cap V) , { xrightarrow {d ^ {*}}} , H ^ {n + 1} (X) to cdots}$

где {U, V} является открытая крышка из X, ρ обозначает карту ограничения, а Δ это разница. Карта ${ displaystyle d ^ {*}}$ определяется аналогично отображению ${ displaystyle partial _ {*}}$ сверху. Кратко это можно описать следующим образом. Для класса когомологий [ω] представлена закрытая форма ω в U∩V, экспресс ω как разница форм ${ displaystyle omega _ {U} - omega _ {V}}$ через разделение единства подчиняться открытой обложке {U, V}, Например. Внешняя производная dω_U и dω_V соглашаться U∩V и поэтому вместе определяют п + 1 форма σ на Икс. Тогда есть d^∗([ω]) = [σ].

Для когомологий де Рама с компактными носителями существует "перевернутый" вариант указанной выше последовательности:

${ displaystyle cdots to H_ {c} ^ {n} (U cap V) , xrightarrow { delta} , H_ {c} ^ {n} (U) oplus H_ {c} ^ { n} (V) , xrightarrow { Sigma} , H_ {c} ^ {n} (X) , xrightarrow {d ^ {*}} , H_ {c} ^ {n + 1} ( U cap V) to cdots}$

где ${ displaystyle U}$,${ displaystyle V}$,${ displaystyle X}$ как указано выше, ${ displaystyle delta}$ это подписанная карта включения ${ displaystyle delta: omega mapsto (я _ {*} ^ {U} omega, -i _ {*} ^ {V} omega)}$ где ${ displaystyle i ^ {U}}$ расширяет форму с компактной опорой до формы на ${ displaystyle U}$ нулем и ${ displaystyle Sigma}$ это сумма.^[23]

Вывод

Рассмотрим длинная точная последовательность, связанная с то короткие точные последовательности из цепные группы (составляющие группы цепные комплексы )

${ Displaystyle 0 к C_ {n} (A cap B) , { xrightarrow { alpha}} , C_ {n} (A) oplus C_ {n} (B) , { xrightarrow { beta}} , C_ {n} (A + B) to 0}$

где α (Икс) = (Икс, −Икс), β (Икс, у) = Икс + у, и C_п(А + B) - цепная группа, состоящая из сумм цепей в А и цепи в B.^[9] Это факт, что единственное число п-просты Икс чьи изображения содержатся либо в А или B порождают всю группу гомологий ЧАС_п(Икс).^[24] Другими словами, ЧАС_п(А + B) изоморфна ЧАС_п(Икс). Это дает последовательность Майера – Виеториса для сингулярных гомологий.

То же самое вычисление применялось к коротким точным последовательностям векторных пространств дифференциальные формы

${ Displaystyle 0 к Omega ^ {n} (X) к Omega ^ {n} (U) oplus Omega ^ {n} (V) к Omega ^ {n} (U cap V ) к 0}$

дает последовательность Майера – Виеториса для когомологий де Рама.^[25]

С формальной точки зрения последовательность Майера – Виеториса может быть получена из Аксиомы Эйленберга – Стинрода для теории гомологии с использованием длинная точная последовательность в гомологии.^[26]

Другие теории гомологии

Вывод последовательности Майера – Виеториса из аксиом Эйленберга – Стинрода не требует аксиома размерности,^[27] так что в дополнение к существующим в обычные теории когомологий, это держится в необычные теории когомологий (такие как топологическая K-теория и кобордизм ).

Когомологии пучков

С точки зрения когомологии пучков последовательность Майера – Виеториса связана с Когомологии Чеха. В частности, он возникает из вырождение из спектральная последовательность который связывает когомологии Чеха с когомологиями пучков (иногда называемых Спектральная последовательность Майера – Виеториса. ) в случае, когда открытое покрытие, используемое для вычисления когомологий Чеха, состоит из двух открытых множеств.^[28] Эта спектральная последовательность существует в произвольных Topoi.^[29]

Смотрите также

• Теорема об удалении
• Зигзагообразная лемма

Заметки

использованная литература

• Ботт, Рауль; Ту, Лоринг В. (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90613-3.

• Корри, Лео (2004), Современная алгебра и рост математических структур, Биркхойзер, стр. 345, г. ISBN  3-7643-7002-5.

• Дьедонне, Жан (1989), История алгебраической и дифференциальной топологии 1900–1960 гг., Биркхойзер, стр.39, ISBN  0-8176-3388-X.

• Димка, Александру (2004), Пучки в топологии, Universitext, Берлин: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-642-18868-8, ISBN  978-3-540-20665-1, Г-Н  2050072

• Эйленберг, Самуэль; Стинрод, Норман (1952), Основы алгебраической топологии, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-07965-3.

• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-79540-1, Г-Н  1867354.

• Хирцебрух, Фридрих (1999), «Эмми Нётер и топология», в Тейхер, М. (ред.), Наследие Эмми Нётер, Труды Израильской математической конференции, Университет Бар-Илан /Американское математическое общество /Oxford University Press, стр. 61–63, ISBN  978-0-19-851045-1, OCLC  223099225.

• Коно, Акира; Тамаки, Дай (2006) [2002], Обобщенные когомологии, Серия Иванами по современной математике, Переводы математических монографий, 230 (Перевод из японского издания 2002 г., изд. Тамаки), Providence, RI: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-3514-2, Г-Н  2225848

• Мэсси, Уильям (1984), Алгебраическая топология: введение, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90271-5.

• Майер, Вальтер (1929), "Über abstrakte Topologie", Monatshefte für Mathematik, 36 (1): 1–42, Дои:10.1007 / BF02307601, ISSN  0026-9255. (на немецком)

• Спаниер, Эдвин (1966), Алгебраическая топология, Springer-Verlag, ISBN  0-387-94426-5.

• Вердье, Жан-Луи (1972), "Cohomologie dans les topos", в Артин, Майкл; Гротендик, Александр; Вердье, Жан-Луи (ред.), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963–64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - Том 2, Конспект лекций по математике (На французском), 270, Берлин; Гейдельберг: Springer-Verlag, п. 1, Дои:10.1007 / BFb0061320, ISBN  978-3-540-06012-3

• Виеторис, Леопольд (1930), "Uber die Homologiegruppen der Vereinigung zweier Komplexe", Monatshefte für Mathematik, 37: 159–62, Дои:10.1007 / BF01696765. (на немецком)

дальнейшее чтение

• Рейтбергер, Генрих (2002), "Леопольд Виеторис (1891–2002)" (PDF), Уведомления Американского математического общества, 49 (20), ISSN  0002-9920.