Лемма о зигзаге - Википедия - Zig-zag lemma

В математика, особенно гомологическая алгебра, то лемма о зигзаге утверждает существование определенного длинная точная последовательность в группы гомологии определенных цепные комплексы. Результат действителен в каждом абелева категория.

Заявление

В абелевой категории (например, категории абелевы группы или категория векторные пространства над данным поле ), позволять ${ displaystyle ({ mathcal {A}}, partial _ { bullet}), ({ mathcal {B}}, partial _ { bullet} ')}$ и ${ displaystyle ({ mathcal {C}}, partial _ { bullet} '')}$ быть цепными комплексами, которые вписываются в следующие короткая точная последовательность:

${ displaystyle 0 longrightarrow { mathcal {A}} { stackrel { alpha} { longrightarrow}} { mathcal {B}} { stackrel { beta} { longrightarrow}} { mathcal {C} } longrightarrow 0}$

Такая последовательность является сокращением для следующих коммутативная диаграмма:

где строки точные последовательности и каждый столбец представляет собой цепной комплекс.

Лемма о зигзаге утверждает, что существует набор граничных отображений

${ displaystyle delta _ {n}: H_ {n} ({ mathcal {C}}) longrightarrow H_ {n-1} ({ mathcal {A}}),}$

что делает следующую последовательность точной:

Карты ${ displaystyle alpha _ {*} ^ {}}$ и ${ displaystyle beta _ {*} ^ {}}$ - обычные отображения, индуцированные гомологиями. Граничные карты ${ displaystyle delta _ {п} ^ {}}$ объяснены ниже. Название леммы происходит от зигзагообразного поведения отображений в последовательности. Вариант леммы о зигзаге широко известен как "лемма о змеях "(извлекает суть доказательства леммы о зигзаге, приведенной ниже).

Построение граничных карт

Карты ${ displaystyle delta _ {п} ^ {}}$ определяются с использованием стандартного аргумента поиска диаграммы. Позволять ${ displaystyle c in C_ {n}}$ представляют класс в ${ Displaystyle Н_ {п} ({ mathcal {C}})}$, так ${ Displaystyle partial _ {п} '' (с) = 0}$. Из точности строки следует, что ${ Displaystyle beta _ {п} ^ {}}$ сюръективно, поэтому должны быть некоторые ${ displaystyle b in B_ {n}}$ с ${ Displaystyle бета _ {п} ^ {} (б) = с}$. По коммутативности диаграммы

${ displaystyle beta _ {n-1} partial _ {n} '(b) = partial _ {n}' ' beta _ {n} (b) = partial _ {n}' '(с ) = 0.}$

По точности,

${ displaystyle partial _ {n} '(b) in ker beta _ {n-1} = mathrm {im} alpha _ {n-1}.}$

Таким образом, поскольку ${ Displaystyle альфа _ {п-1} ^ {}}$ инъективен, есть единственный элемент ${ Displaystyle а ин А_ {п-1}}$ такой, что ${ Displaystyle альфа _ {п-1} (а) = partial _ {п} '(б)}$. Это цикл, поскольку ${ Displaystyle альфа _ {п-2} ^ {}}$ инъективен и

${ displaystyle alpha _ {n-2} partial _ {n-1} (a) = partial _ {n-1} ' alpha _ {n-1} (a) = partial _ {n- 1} ' partial _ {n}' (b) = 0,}$

поскольку ${ Displaystyle partial ^ {2} = 0}$. То есть, ${ Displaystyle partial _ {п-1} (а) в кер альфа _ {п-2} = {0 }}$. Это означает ${ displaystyle a}$ это цикл, поэтому он представляет класс в ${ Displaystyle Н_ {п-1} ({ mathcal {A}})}$. Теперь мы можем определить

${ displaystyle delta _ {} ^ {} [c] = [a].}$

Определив граничные карты, можно показать, что они четко определены (т. Е. Не зависят от выбора c и б). В доказательстве используются аргументы для поиска диаграмм, аналогичные приведенным выше. Такие аргументы также используются, чтобы показать, что последовательность в гомологии точна в каждой группе.

Смотрите также

• Последовательность Майера – Виеториса

Рекомендации

• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-79540-0.
• Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (Пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, МИСТЕР  1878556
• Мункрес, Джеймс Р. (1993). Элементы алгебраической топологии. Нью-Йорк: Westview Press. ISBN  0-201-62728-0.