Лемма о зигзаге - Википедия - Zig-zag lemma

В математика, особенно гомологическая алгебра, то лемма о зигзаге утверждает существование определенного длинная точная последовательность в группы гомологии определенных цепные комплексы. Результат действителен в каждом абелева категория.

Заявление

В абелевой категории (например, категории абелевы группы или категория векторные пространства над данным поле ), позволять и быть цепными комплексами, которые вписываются в следующие короткая точная последовательность:

Такая последовательность является сокращением для следующих коммутативная диаграмма:

коммутативное диаграммное представление короткой точной последовательности цепных комплексов

где строки точные последовательности и каждый столбец представляет собой цепной комплекс.

Лемма о зигзаге утверждает, что существует набор граничных отображений

что делает следующую последовательность точной:

длинная точная последовательность в гомологиях, заданная леммой о зигзаге

Карты и - обычные отображения, индуцированные гомологиями. Граничные карты объяснены ниже. Название леммы происходит от зигзагообразного поведения отображений в последовательности. Вариант леммы о зигзаге широко известен как "лемма о змеях "(извлекает суть доказательства леммы о зигзаге, приведенной ниже).

Построение граничных карт

Карты определяются с использованием стандартного аргумента поиска диаграммы. Позволять представляют класс в , так . Из точности строки следует, что сюръективно, поэтому должны быть некоторые с . По коммутативности диаграммы

По точности,

Таким образом, поскольку инъективен, есть единственный элемент такой, что . Это цикл, поскольку инъективен и

поскольку . То есть, . Это означает это цикл, поэтому он представляет класс в . Теперь мы можем определить

Определив граничные карты, можно показать, что они четко определены (т. Е. Не зависят от выбора c и б). В доказательстве используются аргументы для поиска диаграмм, аналогичные приведенным выше. Такие аргументы также используются, чтобы показать, что последовательность в гомологии точна в каждой группе.

Смотрите также

Рекомендации

  • Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-79540-0.
  • Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (Пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, МИСТЕР  1878556
  • Мункрес, Джеймс Р. (1993). Элементы алгебраической топологии. Нью-Йорк: Westview Press. ISBN  0-201-62728-0.