Pushforward (гомология) - Википедия - Pushforward (homology)

В алгебраическая топология, то продвигать из непрерывная функция ${ displaystyle f}$ : ${ displaystyle X rightarrow Y}$ между двумя топологические пространства это гомоморфизм ${ displaystyle f _ {*}: H_ {n} left (X right) rightarrow H_ {n} left (Y right)}$ между группы гомологии за ${ Displaystyle п geq 0}$.

Гомология - это функтор который преобразует топологическое пространство ${ displaystyle X}$ в последовательность групп гомологии ${ Displaystyle Н_ {п} влево (Х вправо)}$. (Часто для обозначения совокупности всех таких групп используют обозначение ${ Displaystyle Н _ {*} влево (Х вправо)}$; эта коллекция имеет структуру градуированное кольцо.) В любом категория, функтор должен индуцировать соответствующий морфизм. Подтверждением является морфизм, соответствующий функтору гомологии.

Определение сингулярных и симплициальных гомологий

Мы строим прямой гомоморфизм следующим образом (для сингулярных или симплициальных гомологий):

Во-первых, у нас есть индуцированный гомоморфизм между сингулярным или симплициальным цепной комплекс ${ Displaystyle C_ {п} влево (X вправо)}$ и ${ Displaystyle C_ {п} влево (Y вправо)}$ определяется путем составления каждого сингулярного n-симплекс ${ displaystyle sigma _ {X}}$ : ${ displaystyle Delta ^ {n} rightarrow X}$ с ${ displaystyle f}$ получить особый n-симплекс ${ displaystyle Y}$, ${ displaystyle f _ { #} left ( sigma _ {X} right) = f sigma _ {X}}$ : ${ displaystyle Delta ^ {n} rightarrow Y}$. Затем мы продолжаем ${ displaystyle f _ { #}}$ линейно через ${ displaystyle f _ { #} left ( sum _ {t} n_ {t} sigma _ {t} right) = sum _ {t} n_ {t} f _ { #} left ( сигма _ {t} right)}$.

Карты ${ displaystyle f _ { #}}$ : ${ Displaystyle C_ {п} влево (Х вправо) вправо C_ {п} влево (Y вправо)}$ удовлетворить ${ Displaystyle е _ { #} partial = partial f _ { #}}$ куда ${ displaystyle partial}$ это граничный оператор между цепными группами, поэтому ${ displaystyle partial f _ { #}}$ определяет карта цепи.

У нас есть это ${ displaystyle f _ { #}}$ переводит циклы в циклы, так как ${ displaystyle partial alpha = 0}$ подразумевает ${ displaystyle partial f _ { #} left ( alpha right) = f _ { #} left ( partial alpha right) = 0}$. Также ${ displaystyle f _ { #}}$ принимает границы до границ, поскольку ${ Displaystyle е _ { #} влево ( partial beta right) = partial f _ { #} left ( beta right)}$.

Следовательно ${ displaystyle f _ { #}}$ индуцирует гомоморфизм между группами гомологий ${ displaystyle f _ {*}: H_ {n} left (X right) rightarrow H_ {n} left (Y right)}$ за ${ Displaystyle п geq 0}$.

Свойства и гомотопическая инвариантность

Два основных свойства проталкивания вперед:

1. ${ displaystyle left (е circ g right) _ {*} = f _ {*} circ g _ {*}}$ для составления карт ${ displaystyle X { overset {f} { rightarrow}} Y { overset {g} { rightarrow}} Z}$.
2. ${ displaystyle left ({ text {id}} _ {X} right) _ {*} = { text {id}}}$ куда ${ displaystyle { text {id}} _ {X}}$ : ${ Displaystyle X rightarrow X}$ относится к функции идентичности ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle { text {id}} двоеточие H_ {n} left (X right) rightarrow H_ {n} left (X right)}$ относится к тождественному изоморфизму групп гомологий.

Главный результат продвижения вперед - это гомотопическая инвариантность: если две карты ${ displaystyle f, g двоеточие X rightarrow Y}$ гомотопны, то они индуцируют тот же гомоморфизм ${ displaystyle f _ {*} = g _ {*} двоеточие H_ {n} left (X right) rightarrow H_ {n} left (Y right)}$.

Отсюда сразу следует, что группы гомологий гомотопически эквивалентных пространств изоморфны:

Карты ${ displaystyle f _ {*} двоеточие H_ {n} left (X right) rightarrow H_ {n} left (Y right)}$ индуцированная гомотопической эквивалентностью ${ displaystyle f двоеточие X rightarrow Y}$ являются изоморфизмами для всех ${ displaystyle n}$.

Рекомендации

• Аллен Хэтчер, Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-79160-X и ISBN  0-521-79540-0