Гомотопические группы сфер - Homotopy groups of spheres

Иллюстрация того, как двумерную сферу можно дважды обернуть вокруг другой двумерной сферы. Края должны быть обозначены.

в математический поле алгебраическая топология, то гомотопические группы сфер описать, как сферы различных размеры могут обернуть друг друга. Они примеры топологические инварианты, которые отражают, в алгебраический термины, структура сфер рассматривается как топологические пространства, забывая об их точной геометрии. В отличие от группы гомологии, которые также являются топологическими инвариантами, гомотопические группы удивительно сложны и трудны для вычисления.

В Расслоение Хопфа является нетривиальным отображением 3-сферы в 2-сферу и порождает третью гомотопическую группу 2-сферы.

Это изображение частично имитирует Расслоение Хопфа, интересное отображение трехмерной сферы в двумерную сферу. Это отображение является генератором третьей гомотопической группы 2-сферы.

В $п$ -размерная единица сфера - называется $п$ -сфера для краткости и обозначена как $S п$ - обобщает знакомое круг ( $S 1$ ) и обычные сфера ( $S 2$ ). В $п$ -сфера может быть определена геометрически как множество точек в Евклидово пространство измерения $п + 1$ расположен на единичном расстоянии от начала координат. В $я$ -й гомотопическая группа $π я (S п)$ резюмирует различные способы, которыми $я$ -мерная сфера $S я$ возможно нанесенный на карту постоянно в $п$ -мерная сфера $S п$ . В этом резюме не делается различия между двумя отображениями, если одно может быть непрерывно деформированный к другому; таким образом, только классы эквивалентности отображений суммированы. Операция «сложения», определенная для этих классов эквивалентности, превращает набор классов эквивалентности в абелева группа.

Проблема определения $π я (S п)$ попадает в три режима, в зависимости от того, $я$ меньше, равно или больше $п$ .

За $0 < я < п$ , любое отображение из $S я$ к $S п$ гомотопно (т. е. непрерывно деформируемо) постоянному отображению, т. е. отображению, которое отображает все $S я$ в единую точку $S п$ . Следовательно, гомотопическая группа - это тривиальная группа.
Когда $я = п$ , каждая карта из $S п$ себе имеет степень это измеряет, сколько раз сфера оборачивается вокруг себя. Эта степень отождествляет гомотопическую группу $π п (S п)$ с группой целые числа под дополнением. Например, каждая точка круга может быть непрерывно отображена на точку другого круга; поскольку первая точка перемещается по первому кругу, вторая точка может несколько раз пройти по второму кругу, в зависимости от конкретного сопоставления.
Самые интересные и удивительные результаты происходят, когда $я > п$ . Первым таким сюрпризом стало открытие отображения, называемого расслоением Хопфа, которое охватывает 3-сферу $S 3$ вокруг обычной сферы $S 2$ нетривиальным образом и поэтому не эквивалентно одноточечному отображению.

Вопрос о вычислении гомотопической группы $π п + k (S п)$ для положительного $k$ оказался центральным вопросом алгебраической топологии, который способствовал развитию многих из ее фундаментальных методов и послужил стимулирующим центром исследований. Одно из главных открытий состоит в том, что гомотопические группы $π п + k (S п)$ не зависят от $п$ за $п \geq k + 2$ . Их называют стабильные гомотопические группы сфер и были рассчитаны для значений $k$ до 64. Стабильные гомотопические группы образуют кольцо коэффициентов необычная теория когомологий, называется стабильная теория когомотопий. Неустойчивые гомотопические группы (для $п < k + 2$ ) более неустойчивы; тем не менее, они сведены в таблицу для $k < 20$ . Большинство современных вычислений используют спектральные последовательности, техника, впервые примененная к гомотопическим группам сфер Жан-Пьер Серр. Было установлено несколько важных закономерностей, но многое остается неизвестным и необъяснимым.

Фон

Изучение гомотопических групп сфер опирается на большой объем базового материала, который здесь кратко рассмотрен. Алгебраическая топология предоставляет более широкий контекст, построенный на топология и абстрактная алгебра, с гомотопические группы в качестве основного примера.

$п$ -сфера

Обычный сфера в трехмерном пространстве - поверхность, а не твердый шар - это лишь один пример того, что означает сфера в топологии. Геометрия определяет сферу жестко, как форму. Вот несколько альтернатив.

Неявная поверхность: $Икс 20 + Икс 21 + Икс 22 = 1$

Это набор точек в трехмерном Евклидово пространство найдено ровно в одной единице от источника. Это называется 2-сферой,

S 2

по причинам, указанным ниже. Та же идея применима к любому измерение

п

; уравнение

Икс 20 + Икс 21 + \dots + Икс 2 п = 1

производит

п

-сфера как геометрический объект в (

п + 1

) -мерное пространство. Например, 1-сфера

S 1

это круг.

Диск со сложенным ободом: записано в топологии как $D 2 / S 1$

Эта конструкция переходит от геометрии к чистой топологии. В диск

D 2

- область, содержащаяся в окружности, описываемая неравенством

Икс 20 + Икс 21 \leq 1

, и его обод (или "граница ") - это круг

S 1

, описываемый равенством

Икс 20 + Икс 21 = 1

. Если воздушный шар проколот и распространился, образует диск; эта конструкция ремонтирует прокол, как затягивание шнурка. В слэш, произносится как «по модулю», означает взять топологическое пространство слева (диск) и соединить в нем все точки справа (круг) как одну. Область является двумерной, поэтому топология называет получившееся топологическое пространство 2-сферой. Обобщенный,

D п / S п -1

производит

S п

. Например,

D 1

это отрезок, и конструкция соединяет концы, образуя круг. Эквивалентное описание состоит в том, что граница

п

-мерный диск приклеивается к точке, образуя CW комплекс.

Подвеска экватора: записано в топологии как $Σ S 1$

Эта конструкция, хотя и проста, имеет большое теоретическое значение. Возьми круг

S 1

быть экватор, и перемещайте каждую точку на нем на одну точку выше (Северный полюс), образуя северное полушарие, и на одну точку ниже (Южный полюс), создавая южное полушарие. Для каждого положительного целого числа

п

, то

п

-сфера

Икс 20 + Икс 21 + \dots + Икс 2 п = 1

имеет в качестве экватора (

п - 1

) -сфера

Икс 20 + Икс 21 + \dots + Икс 2 п -1 = 1

, а подвеска

Σ S п -1

производит

S п

.

Некоторые теории требуют выбора фиксированной точки на сфере, называя пару $(сфера, точка)$ а заостренная сфера. Для некоторых пространств выбор имеет значение, но для сферы все точки эквивалентны, поэтому выбор является вопросом удобства. Смысл $(1, 0, 0, \dots, 0)$ , который находится на экваторе всех сфер, хорошо работает для геометрических сфер; (свернутый) обод диска - еще один очевидный выбор.

Гомотопическая группа

Гомотопия двух круговых карт с фиксированной базовой точкой

Добавление двух круговых карт с фиксированной базовой точкой

Отличительная черта топологическое пространство его структура непрерывности, формализованная в терминах открытые наборы или же окрестности. А непрерывная карта - функция между пространствами, сохраняющая непрерывность. А гомотопия - непрерывный путь между непрерывными отображениями; два отображения, связанные гомотопией, называются гомотопическими. Общая идея всех этих концепций состоит в том, чтобы отбросить вариации, которые не влияют на интересующие результаты. Важным практическим примером является теорема о вычетах из комплексный анализ, где «замкнутые кривые» - это непрерывные отображения окружности в комплексную плоскость, и где две замкнутые кривые дают один и тот же интегральный результат, если они гомотопны в топологическом пространстве, состоящем из плоскости без точек сингулярности.

Первая гомотопическая группа, или фундаментальная группа, $π 1 (Икс)$ из (путь подключен ) топологическое пространство $Икс$ таким образом начинается с непрерывных карт из заостренного круга $(S 1, s)$ в указанное пространство $(Икс, Икс)$ , где карты из одной пары в другую карту $s$ в $Икс$ . Эти карты (или, что то же самое, закрытые кривые ) сгруппированы в классы эквивалентности основанный на гомотопии (сохраняя "исходную точку" $Икс$ fixed), так что два отображения находятся в одном классе, если они гомотопны. Так же, как выделяется одна точка, выделяется и один класс: все отображения (или кривые), гомотопные постоянному отображению $S 1 \mapsto Икс$ называются нулевыми гомотопными. Уроки становятся абстрактная алгебраическая группа с введением сложения, определяемого через «экваториальную щипку». Эта щипок отображает экватор заостренной сферы (здесь круг) в выделенную точку, создавая "букет сфер "- две заостренные сферы, соединенные в их выделенной точке. Две добавляемые карты отображают верхнюю и нижнюю сферы отдельно, согласовывая выделенную точку, а композиция с помощью щипка дает суммарную карту.

В более общем плане $я$ -я гомотопическая группа, $π я (Икс)$ начинается с заостренного $я$ -сфера $(S я, s)$ , а в остальном следует той же процедуре. Нулевой гомотопический класс действует как тождество группового добавления, а для $Икс$ равно $S п$ (для положительных $п$ ) - гомотопические группы сфер - группы абелевский и конечно порожденный. Если для некоторых $я$ все отображения гомотопны нулю, то группа $π я$ состоит из одного элемента и называется тривиальная группа.

Непрерывное отображение между двумя топологическими пространствами индуцирует групповой гомоморфизм между ассоциированными гомотопическими группами. В частности, если отображение является непрерывным биекция (а гомеоморфизм ), так что два пространства имеют одинаковую топологию, то их $я$ -ые гомотопические группы изоморфный для всех $я$ . Однако настоящая самолет имеет точно такие же гомотопические группы, что и уединенная точка (как и евклидово пространство любой размерности), а вещественная плоскость с удаленной точкой имеет те же группы, что и окружность, поэтому одних групп недостаточно, чтобы различать пространства. Хотя потеря способности распознавания прискорбна, она также может упростить определенные вычисления.

Низкоразмерные примеры

Низкоразмерные примеры гомотопических групп сфер дают представление о предмете, потому что эти частные случаи могут быть визуализированы в обычном трехмерном пространстве (Хэтчер 2002 ). Однако такие визуализации не являются математическими доказательствами и не отражают возможную сложность карт между сферами.

$π 1 (S 1) = ℤ$

Элементы

{ Displaystyle scriptstyle pi _ {1} (S ^ {1})}

Самый простой случай касается способов, которыми круг (1-сфера) может быть обернут вокруг другого круга. Это можно визуализировать, обернув резинка вокруг пальца: можно обернуть один, два, три раза и т. д. Обертывание может быть в любом из двух направлений, а обертывания в противоположных направлениях аннулируются после деформации. Гомотопическая группа $π 1 (S 1)$ поэтому является бесконечная циклическая группа, и является изоморфный группе ℤ целые числа под дополнением: гомотопический класс идентифицируется целым числом путем подсчета количества раз, когда отображение в гомотопическом классе оборачивается вокруг круга. Это целое число также можно рассматривать как номер намотки петли вокруг источник в самолет.

Идентификация (а групповой изоморфизм ) гомотопической группы с целыми числами есть часто пишется как равенство: таким образом $π 1 (S 1) = ℤ$ .

$π 2 (S 2) = ℤ$

Иллюстрация того, как двумерную сферу можно дважды обернуть вокруг другой двумерной сферы. Края должны быть обозначены.

Сопоставление двух сфер с двумя сферами можно представить себе как обертывание пластикового пакета вокруг шара и последующее его запечатывание. Запечатанный мешок топологически эквивалентен 2-сфере, как и поверхность шара. Мешок можно обернуть более одного раза, скручивая его и снова наматывая на мяч. (Нет требования, чтобы непрерывная карта была инъективный Таким образом, пакет может проходить через себя.) Скручивание может происходить в одном из двух направлений, а противоположные скручивания могут компенсироваться деформацией. Общее количество поворотов после отмены - целое число, называемое степень отображения. Как и в случае отображений окружности в окружность, эта степень отождествляет гомотопическую группу с группой целых чисел ℤ.

Эти два результата обобщают: для всех $п > 0$ , $π п (S п) = ℤ$ (видеть ниже ).

$π 1 (S 2) = 0$

Гомотопия от круга вокруг сферы до одной точки

Любое непрерывное отображение окружности в обычную сферу можно непрерывно деформировать до одноточечного отображения, и поэтому его гомотопический класс тривиален. Один из способов визуализировать это - вообразить резиновую ленту, обернутую вокруг мяча без трения: ленту всегда можно снять с мяча. Таким образом, гомотопическая группа является тривиальная группа, только с одним элементом, элементом идентичности, и поэтому его можно отождествить с подгруппа матрицы ℤ, состоящей только из нуля. Эту группу часто обозначают цифрой 0. Строгое проявление этого требует большей осторожности из-за наличиякривые, заполняющие пространство.

Этот результат обобщается на более высокие измерения. Все отображения из сферы меньшей размерности в сферу большей размерности также тривиальны: если $я < п$ , тогда $π я (S п) = 0$ . Это можно показать как следствие клеточная аппроксимационная теорема.

$π 2 (S 1) = 0$

Все интересные случаи гомотопических групп сфер связаны с отображениями с сферы более высокой размерности на сферу более низкой размерности. К сожалению, единственный пример, который можно легко визуализировать, неинтересен: нет нетривиальных отображений из обычной сферы в круг. Следовательно, $π 2 (S 1) = 0$ . Это потому что $S 1$ имеет вещественную прямую в качестве универсальной оболочки, которая стягивается (она имеет гомотопический тип точки). Кроме того, поскольку $S 2$ односвязно по критерию подъема любое отображение из $S 2$ к $S 1$ может быть поднят на карту в реальную линию, а нуль-гомотопия спускается в пространство нижнего этажа.

$π 3 (S 2) = ℤ$

В Расслоение Хопфа является нетривиальным отображением 3-сферы в 2-сферу и порождает третью гомотопическую группу 2-сферы. Каждый цветной кружок соответствует соответствующей точке на двухмерной сфере, показанной внизу справа.

Первый нетривиальный пример с $я > п$ касается сопоставлений из 3-сфера к обычной 2-сфере, и был открыт Хайнц Хопф, построивший нетривиальное отображение из $S 3$ к $S 2$ , теперь известный как Расслоение Хопфа (Хопф 1931 ). Эта карта генерирует гомотопическая группа $π 3 (S 2) = ℤ$ .

История

В конце 19 века Камилла Джордан ввел понятие гомотопии и использовал понятие гомотопической группы, не используя язык теории групп (О'Коннор и Робертсон 2001 ). Более строгий подход был принят Анри Пуанкаре в его пакете бумаг 1895 г. Место анализа где связанные концепции гомология и фундаментальная группа были также представлены (О'Коннор и Робертсон 1996 ).

Высшие гомотопические группы были впервые определены Эдуард Чех в 1932 г. (Чех 1932, п. 203). (Его первая статья была отозвана по совету Павел Сергеевич Александров и Хайнца Хопфа, на том основании, что группы коммутативны, поэтому не могут быть правыми обобщениями фундаментальной группы.) Витольд Гуревич также приписывают введение гомотопических групп в его статье 1935 года, а также Теорема Гуревича который можно использовать для вычисления некоторых групп (Май 1999 годаa Важным методом вычисления различных групп является концепция стабильной алгебраической топологии, которая находит свойства, не зависящие от размерностей. Обычно они подходят только для больших размеров. Первый такой результат был Ганс Фройденталь с теорема о подвешивании, опубликовано в 1937 году. Стабильная алгебраическая топология процветала в период с 1945 по 1966 год со многими важными результатами (Май 1999 годаa ). В 1953 г. Джордж Уайтхед показал, что существует метастабильный диапазон для гомотопических групп сфер. Жан-Пьер Серр использовал спектральные последовательности показать, что большинство этих групп конечны, за исключением $π п (S п)$ и $π 4 п -1 (S 2 п)$ . Среди других, кто работал в этой области, Хосе Адем, Хироши Тода, Фрэнк Адамс и Дж. Питер Мэй. Стабильные гомотопические группы $π п + k (S п)$ известны $k$ до 64, а по состоянию на 2007 год неизвестно для более крупных $k$ (Хэтчер 2002, Стабильные гомотопические группы, стр. 385–393).

Общая теория

Как уже отмечалось, когда $я$ меньше чем $п$ , $π я (S п) = 0$ , то тривиальная группа (Хэтчер 2002 ). Причина в том, что непрерывное отображение из $я$ -сфера к $п$ -сфера с $я < п$ всегда можно деформировать, чтобы не сюръективный. Следовательно, его образ содержится в $S п$ со снятой точкой; это сжимаемое пространство, и любое отображение в такое пространство можно деформировать в одноточечное отображение.

Дело $я = п$ также уже отмечалось, и это простое следствие Теорема Гуревича: эта теорема связывает гомотопические группы с группы гомологии, которые, как правило, легче вычислить; в частности, это показывает, что для односвязный Космос Икс, первая ненулевая гомотопическая группа $π k (Икс)$ , с $k > 0$ , изоморфна первой ненулевой группе гомологий $ЧАС k (Икс)$ . Для $п$ -сфера, это сразу означает, что для $п \geq 2$ , $π п (S п) = ЧАС п (S п) = ℤ$ .

Группы гомологии $ЧАС я (S п)$ , с $я > п$ , все тривиальны. Поэтому исторически стало большим сюрпризом, что соответствующие гомотопические группы, вообще говоря, нетривиальны. Это действительно важный случай: высшие гомотопические группы $π я (S п)$ , за $я > п$ , на удивление сложны и трудны для вычисления, и усилия по их вычислению привели к появлению значительного количества новой математики.

Стол

Следующая таблица дает представление о сложности высших гомотопических групп даже для сфер размерности 8 или меньше. В этой таблице записи либо тривиальная группа 0, бесконечная циклическая группа ℤ, конечная циклические группы порядка $п$ (написано как $ℤ п$ ), или же прямые продукты таких групп (записываемых, например, как $ℤ 24 \times ℤ 3$ или же ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {2} ^ {2} = mathbb {Z} _ {2} times mathbb {Z} _ {2}}$ ). Приведены расширенные таблицы гомотопических групп сфер. в конце статьи.

	π₁	π₂	π₃	π₄	π₅	π₆	π₇	π₈	π₉	π₁₀	π₁₁	π₁₂	π₁₃	π₁₄	π₁₅
S⁰	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S¹	ℤ	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S²	0	ℤ	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₁₂	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₃	ℤ₁₅	ℤ₂	$ℤ 22$	ℤ₁₂× ℤ₂	$ℤ 84 \times ℤ 22$	ℤ₂²
S³	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₁₂	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₃	ℤ₁₅	ℤ₂	$ℤ 22$	ℤ₁₂× ℤ₂	$ℤ 84 \times ℤ 22$	$ℤ 22$
S⁴	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ × ℤ₁₂	$ℤ 22$	$ℤ 22$	ℤ₂₄× ℤ₃	ℤ₁₅	ℤ₂	$ℤ 32$	ℤ₁₂₀× ℤ₁₂× ℤ₂	$ℤ 84 \times ℤ 52$
S⁵	0	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₂₄	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₃₀	ℤ₂	$ℤ 32$	ℤ₇₂× ℤ₂
S⁶	0	0	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₂₄	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₆₀	ℤ₂₄× ℤ₂	$ℤ 32$
S⁷	0	0	0	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₂₄	0	0	ℤ₂	ℤ₁₂₀	$ℤ 32$
S⁸	0	0	0	0	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₂₄	0	0	ℤ₂	ℤ × ℤ₁₂₀

Первые две строки этой таблицы просты. Гомотопические группы $π я (S 0)$ 0-мерной сферы тривиальны для $я > 0$ , потому что любая базовая точка, сохраняющая карту из $я$ -сфера к 0-сфере является одноточечное отображение. Аналогично гомотопические группы $π я (S 1)$ 1-сферы тривиальны для $я > 1$ , поскольку универсальное перекрытие,, Имеющая те же высшие гомотопические группы, стягиваема.

За этими двумя строками высшие гомотопические группы ( $я > п$ ) кажутся хаотичными, но на самом деле существует множество закономерностей, некоторые очевидные, а некоторые очень тонкие.

Группы под зубчатой черной линией постоянны по диагоналям (на что указывают красный, зеленый и синий цвета).
Большинство групп конечны. Единственные бесконечные группы находятся либо на главной диагонали, либо непосредственно над зубчатой линией (выделены желтым).
Третья и четвертая строки таблицы совпадают, начиная с третьего столбца (т. Е. $π я (S 2) = π я (S 3)$ за $я \geq 3$ ). Этот изоморфизм индуцирован расслоением Хопфа $S 3 \to S 2$ .
За ${ displaystyle n = 2,3,4,5}$ и ${ Displaystyle я geq п}$ гомотопические группы ${ Displaystyle pi _ {я} (S ^ {п})}$ не пропадают. Тем не мение, ${ displaystyle pi _ {n + 4} (S ^ {n}) = 0}$ за ${ Displaystyle п geq 6}$ .

Эти закономерности вытекают из множества различных теоретических результатов.

Стабильные и нестабильные группы

Тот факт, что группы под зубчатой линией в таблице выше постоянны по диагоналям, объясняется тем, что теорема о подвешивании из Ганс Фройденталь, откуда следует, что гомоморфизм надстройки из $π п + k (S п)$ к $π п + k +1 (S п +1)$ является изоморфизмом для $п > k + 1$ . Группы $π п + k (S п)$ с $п > k + 1$ называются стабильные гомотопические группы сфер, и обозначаются $π S k$ : они конечные абелевы группы для $k \neq 0$ , и были вычислены во многих случаях, хотя общая закономерность все еще неуловима. (Хэтчер 2002, Стабильные гомотопические группы, стр. 385–393). За $п \leq k +1$ группы называются нестабильные гомотопические группы сфер.

Расслоения Хопфа

Классический Расслоение Хопфа это пучок волокон:

{ Displaystyle S ^ {1} hookrightarrow S ^ {3} rightarrow S ^ {2}. , !}

Общая теория расслоений $F \to E \to B$ показывает, что есть длинная точная последовательность гомотопических групп

{ displaystyle cdots to pi _ {i} (F) to pi _ {i} (E) to pi _ {i} (B) to pi _ {i-1} (F ) в cdots. , !}

Для этого конкретного расслоения каждый гомоморфизм групп $π я (S 1) \to π я (S 3)$ , индуцированная включением $S 1 \to S 3$ , отображает все $π я (S 1)$ к нулю, так как сфера меньшей размерности $S 1$ можно деформировать в точку внутри многомерной $S 3$ . Это соответствует исчезновению $π 1 (S 3)$ . Таким образом, длинная точная последовательность разбивается на короткие точные последовательности,

{ displaystyle 0 rightarrow pi _ {i} (S ^ {3}) rightarrow pi _ {i} (S ^ {2}) rightarrow pi _ {i-1} (S ^ {1} ) rightarrow 0. , !}

С $S п +1$ это приостановка из $S п$ эти последовательности расколоть посредством гомоморфизм суспензии $π я -1 (S 1) \to π я (S 2)$ , задающие изоморфизмы

{ displaystyle pi _ {i} (S ^ {2}) = pi _ {i} (S ^ {3}) oplus pi _ {i-1} (S ^ {1}). , !}

С $π я -1 (S 1)$ исчезает для $я$ не менее 3, первая строка показывает, что $π я (S 2)$ и $π я (S 3)$ изоморфны всякий раз, когда $я$ составляет не менее 3, как указано выше.

Расслоение Хопфа можно построить следующим образом: пары комплексных чисел $(z 0, z 1)$ с $| z 0 | 2 + | z 1 | 2 = 1$ образуют 3-сферу, а их отношения $ z 0 ⁄ z 1$ покрыть комплексная плоскость плюс бесконечность, 2-сфера. Карта Хопфа $S 3 \to S 2$ отправляет любую такую пару к своему соотношению.

Точно так же есть обобщенные расслоения Хопфа

{ Displaystyle S ^ {3} hookrightarrow S ^ {7} rightarrow S ^ {4} , !}

{ Displaystyle S ^ {7} hookrightarrow S ^ {15} rightarrow S ^ {8} , !}

построены с использованием пар кватернионы или же октонионы вместо комплексных чисел (Хэтчер 2002 ). Здесь тоже, $π 3 (S 7)$ и $π 7 (S 15)$ равны нулю. Таким образом, длинные точные последовательности снова разбиваются на семейства расщепленных коротких точных последовательностей, подразумевая два семейства отношений.

{ Displaystyle пи _ {я} (S ^ {4}) = пи _ {я} (S ^ {7}) oplus pi _ {я-1} (S ^ {3}), , !}

{ displaystyle pi _ {i} (S ^ {8}) = pi _ {i} (S ^ {15}) oplus pi _ {i-1} (S ^ {7}). , !}

Три расслоения имеют базовое пространство $S п$ с $п = 2 м$ , за $м = 1, 2, 3$ . Расслоение существует для $S 1$ ( $м = 0$ ), но не для $S 16$ ( $м = 4$ ) и не только. Хотя обобщения отношений к $S 16$ часто верны, иногда они терпят неудачу; Например,

{ displaystyle pi _ {30} (S ^ {16}) neq pi _ {30} (S ^ {31}) oplus pi _ {29} (S ^ {15}). , !}

Таким образом, расслоения быть не может.

{ Displaystyle S ^ {15} hookrightarrow S ^ {31} rightarrow S ^ {16}, , !}

первый нетривиальный случай Инвариант Хопфа одна проблема, потому что такое расслоение означало бы, что нарушенное отношение истинно.

Обрамленный кобордизм

Гомотопические группы сфер тесно связаны с кобордизм классов многообразий. В 1938 г. Лев Понтрягин установил изоморфизм между гомотопической группой $π п + k (S п)$ и группа $Ω обрамленный k (S п + k)$ классов кобордизмов дифференцируемый $k$ -подмногообразия $S п + k$ которые "оснащены", т.е. имеют тривиализированный нормальный комплект. Каждая карта $ƒ : S п + k \to S п$ гомотопно дифференцируемому отображению с ${ displaystyle M ^ {k} = f ^ {- 1} (1,0, dots, 0) subset S ^ {n + k}}$ обрамленный $k$ -мерное подмногообразие. Например, $π п (S п) = ℤ$ - группа кобордизмов оснащенных 0-мерных подмногообразий в $S п$ , вычисленных по алгебраической сумме их точек, соответствующих степень карт ${ displaystyle f: S ^ {n} к S ^ {n}}$ . Проекция Расслоение Хопфа ${ Displaystyle S ^ {3} rightarrow S ^ {2}}$ представляет собой генератор $π 3 (S 2) = Ω обрамленный 1 (S 3) = ℤ$ что соответствует оснащенному одномерному подмногообразию в $S 3$ определяется стандартным вложением ${ Displaystyle S ^ {1} subset S ^ {3}}$ с нестандартной тривиализацией нормального 2-плоского расслоения. До появления более сложных алгебраических методов в начале 1950-х (Серр) изоморфизм Понтрягина был основным инструментом для вычисления гомотопических групп сфер. В 1954 г. изоморфизм Понтрягина был обобщен Рене Том к изоморфизму, выражающему другие группы классов кобордизмов (например, всех многообразий) как гомотопические группы пространств и спектры. В более поздних работах аргумент обычно меняется на противоположный: группы кобордизмов вычисляются в терминах гомотопических групп (Скорпан 2005 ).

Конечность и кручение

В 1951 г. Жан-Пьер Серр показал, что все гомотопические группы сфер конечны, за исключением групп вида $π п (S п)$ или же $π 4 п -1 (S 2 п)$ (для положительных $п$ ), когда группа является продуктом бесконечная циклическая группа с конечной абелевой группой (Серр 1951 ). В частности, гомотопические группы определяются своими $п$ -компоненты для всех простых чисел $п$ . Двухкомпонентные составляющие труднее всего вычислить, и в некоторых случаях они ведут себя иначе, чем $п$ -компоненты для нечетных простых чисел.

В той же статье Серр нашел первое место, которое $п$ -кручение происходит в гомотопических группах $п$ мерные сферы, показывая, что $π п + k (S п)$ не имеет $п$ -кручение если $k < 2 п - 3$ , и имеет единственную подгруппу порядка $п$ если $п \geq 3$ и $k = 2 п - 3$ . Случай с двумерными сферами немного отличается: первый $п$ -кручение происходит при $k = 2 п - 3 + 1$ . В случае нечетного кручения есть более точные результаты; в этом случае существует большая разница между четными и нечетными сферами. Если $п$ нечетное простое число и $п = 2 я + 1$ , то элементы $п$ -компонент из $π п + k (S п)$ иметь порядок самое большее $п я$ (Коэн, Мур и Нейзендорфер, 1979 г. ). Это в некотором смысле наилучший возможный результат, так как известно, что эти группы имеют элементы этого порядка для некоторых значений $k$ (Равенель 2003, п. 4). Кроме того, в этом случае стабильный диапазон может быть расширен: если $п$ нечетно, то двойная подвеска из $π k (S п)$ к $π k +2 (S п +2)$ является изоморфизмом $п$ -компоненты, если $k < п (п + 1) - 3$ , и эпиморфизмом, если выполняется равенство (Серр 1952 ). В $п$ -кручение промежуточной группы $π k +1 (S п +1)$ может быть строго больше.

Приведенные выше результаты о нечетном кручении справедливы только для нечетномерных сфер: для четномерных сфер Расслоение Джеймса дает кручение при нечетных простых числах $п$ в терминах сфер нечетной размерности,

{ Displaystyle pi _ {2m + k} (S ^ {2m}) (p) = pi _ {2m + k-1} (S ^ {2m-1}) (p) oplus pi _ { 2m + k} (S ^ {4m-1}) (p)}

(куда $(п)$ означает взять $п$ -компонент) (Равенель 2003, п. 25). Эта точная последовательность аналогична последовательностям расслоения Хопфа; разница в том, что он работает для всех четных сфер, хотя и за счет игнорирования 2-кручения. Объединение результатов для нечетных и четных сфер показывает, что большая часть нечетного кручения нестабильных гомотопических групп определяется нечетным кручением стабильных гомотопических групп.

Для стабильных гомотопических групп есть более точные результаты о $п$ -кручение. Например, если $k < 2 п (п - 1) - 2$ для прайма $п$ затем $п$ -первичная компонента стабильной гомотопической группы $π S k$ исчезает, если $k + 1$ делится на $2(п - 1)$ , в этом случае он циклический порядка $п$ (Фукс 2001 ).

J-гомоморфизм

Важная подгруппа $π п + k (S п)$ , за $k \geq 2$ , это изображение J-гомоморфизм $J : π k (ТАК(п)) \to π п + k (S п)$ , куда $ТАК(п)$ обозначает специальная ортогональная группа (Адамс 1966 ). В стабильном диапазоне $п \geq k +2$ , гомотопические группы $π k (ТАК(п))$ зависит только от $k (мод 8)$ . Эта модель периода 8 известна как Периодичность Ботта, и это отражается в устойчивых гомотопических группах сфер через образ $J$ -гомоморфизм:

циклическая группа порядка 2, если $k$ является конгруэнтный до 0 или 1по модулю 8;
тривиально, если $k$ сравнимо с 2, 4, 5 или 6 по модулю 8; и
циклическая группа порядка, равного знаменателю $ B 2 м ⁄ 4 м$ , куда $B 2 м$ это Число Бернулли, если $k = 4 м - 1 \equiv 3 (мод 4)$ .

Этот последний случай объясняет элементы необычно большого конечного порядка в $π п + k (S п)$ для таких значений $k$ . Например, стабильные группы $π п +11 (S п)$ имеют циклическую подгруппу порядка 504, знаменатель $ B 6 ⁄ 12 = 1 ⁄ 504$ .

Стабильные гомотопические группы сфер представляют собой прямую сумму образа $J$ -гомоморфизм, и ядро Адамса $е$ -инвариантно, гомоморфизм этих групп в $ℚ / ℤ$ . Грубо говоря, образ $J$ -гомоморфизм - это подгруппа «хорошо изученных» или «легких» элементов стабильных гомотопических групп. Эти хорошо изученные элементы составляют большинство элементов стабильных гомотопических групп сфер малых размеров. Частное от $π S п$ по образу $J$ -гомоморфизм считается "жесткой" частью стабильных гомотопических групп сфер (Адамс 1966 ). (Адамс также ввел определенные элементы порядка 2 $μ п$ из $π S п$ за $п \equiv 1 или 2 (мод. 8)$ , и они также считаются «хорошо изученными».) В таблицах гомотопических групп сфер иногда опускается «легкая» часть $я(J)$ для экономии места.

Структура кольца

В прямая сумма

{ displaystyle pi _ { ast} ^ {S} = bigoplus _ {k geq 0} pi _ {k} ^ {S}}

стабильных гомотопических групп сфер является суперкоммутативный оцененный звенеть, где умножение задается композицией отображающих карт, а любой элемент ненулевой степени равен нильпотентный (Нисида 1973 ); в теорема о нильпотентности на сложный кобордизм следует теорема Нишиды.

Пример: если $η$ является генератором $π S 1$ (порядка 2), то $η 2$ отличен от нуля и порождает $π S 2$ , и $η 3$ отличен от нуля и 12 раз генератор $π S 3$ , пока $η 4$ равен нулю, потому что группа $π S 4$ тривиально.

Если $ж$ и $грамм$ и $час$ являются элементами $π S *$ с $ж грамм = 0$ и $грамм \cdot час = 0$ , Существует Скобка Тоды $〈F, g, h〉$ этих элементов (Тода 1962 ). Скобка Тоды не совсем элемент стабильной гомотопической группы, потому что она определена только с точностью до сложения произведений некоторых других элементов. Хироши Тода использовал композиционное произведение и скобки Тоды для обозначения многих элементов гомотопических групп. Существуют также более высокие скобки Тоды для нескольких элементов, определяемые, когда исчезают подходящие нижние скобки Тоды. Это соответствует теории Продукция Massey в когомология Каждый элемент стабильных гомотопических групп сфер может быть выражен с помощью композиционных произведений и более высоких скобок Тоды в терминах некоторых хорошо известных элементов, называемых элементами Хопфа (Коэн 1968 ).

Вычислительные методы

Если $Икс$ - любой конечный симплициальный комплекс с конечной фундаментальной группой, в частности, если $Икс$ является сферой размерности не меньше 2, то все ее гомотопические группы суть конечно порожденные абелевы группы. Чтобы вычислить эти группы, их часто включают в свои $п$ -составные части для каждого основной $п$ , и вычисляя каждый из этих $п$ -группы раздельно. Первые несколько гомотопических групп сфер могут быть вычислены с использованием специальных вариантов вышеизложенных идей; за пределами этого пункта большинство методов вычисления гомотопических групп сфер основаны на спектральные последовательности (Равенель 2003 ). Обычно это делается путем построения подходящих расслоений и взятия соответствующих длинных точных последовательностей гомотопических групп; спектральные последовательности - это систематический способ организации сложной информации, которую генерирует этот процесс.

«Метод убийства гомотопических групп», принадлежащий Картану и Серру (1952a, 1952b ) предполагает многократное использование Теорема Гуревича вычислить первую нетривиальную гомотопическую группу, а затем убить (исключить) ее расслоением, включающим Пространство Эйленберга – Маклейна. В принципе, это дает эффективный алгоритм для вычисления всех гомотопических групп любого конечного односвязного симплициального комплекса, но на практике его слишком громоздко использовать для вычисления чего-либо, кроме первых нескольких нетривиальных гомотопических групп, поскольку симплициальный комплекс каждый раз становится намного сложнее. один убивает гомотопическую группу.
В Спектральная последовательность Серра был использован Серром для доказательства некоторых результатов, упомянутых ранее. Он использовал тот факт, что пространство петли пространства с хорошим поведением сдвигает все гомотопические группы вниз на 1, так что $п$ -я гомотопическая группа пространства $Икс$ является первой гомотопической группой своего ( $п -1$ ) -кратное повторяющееся пространство петель, которое равно первой группе гомологий ( $п -1$ ) -кратное пространство петель по теореме Гуревича. Это сокращает вычисление гомотопических групп $Икс$ вычислению групп гомологий его повторяющихся пространств петель. Спектральная последовательность Серра связывает гомологии пространства с гомологией его пространства петель, поэтому иногда может использоваться для вычисления гомологии пространств петель. Спектральная последовательность Серра имеет тенденцию иметь много отличных от нуля дифференциалов, которые трудно контролировать, и слишком много неоднозначностей возникает для более высоких гомотопических групп. Следовательно, он был заменен более мощными спектральными последовательностями с меньшим количеством отличных от нуля дифференциалов, которые дают больше информации.
В Спектральная последовательность EHP может использоваться для вычисления многих гомотопических групп сфер; он основан на некоторых расслоениях, использованных Тодой в его вычислениях гомотопических групп (Маховальд 2001, Тода 1962 ).
Классический Спектральная последовательность Адамса имеет $E 2$ срок, установленный Внешние группы $Ext *,* А (п) (ℤ п, ℤ п)$ над модом $п$ Алгебра Стинрода $А (п)$ , и сходится к чему-то, что тесно связано с $п$ -компонента стабильных гомотопических групп. Сами по себе начальные члены спектральной последовательности Адамса довольно сложно вычислить: иногда это делается с помощью вспомогательной спектральной последовательности, называемой Спектральная последовательность мая (Равенель 2003 С. 67–74).
При нечетных простых числах Спектральная последовательность Адамса – Новикова. является более мощной версией спектральной последовательности Адамса, заменяющей обычный мод когомологий $п$ с обобщенной теорией когомологий, такой как сложный кобордизм или, чаще, его кусок, называемый Когомологии Брауна – Петерсона. Начальный срок снова довольно сложно вычислить; для этого можно использовать хроматическая спектральная последовательность (Равенель 2003, Глава 5).

Кольца Борромео

Вариант этого последнего подхода использует обратную версию спектральной последовательности Адамса – Новикова для когомологий Брауна – Петерсона: предел известен, а начальные члены включают неизвестные стабильные гомотопические группы сфер, которые пытаются найти (Кочман (1990) ).

Мотивная спектральная последовательность Адамса сходится к мотивным стабильным гомотопическим группам сфер. Сравнивая мотивное число комплексных чисел с классическим, Исаксен дает строгое доказательство вычислений с точностью до 59-основы (Исаксен (2019) ). В частности, Исаксен вычисляет, что Кокер J 56-стержня равен 0, и, следовательно, по работе Кервера-Милнора сфера $S 56$ имеет уникальную гладкую структуру.

Отображение Кана-Придди индуцирует отображение спектральных последовательностей Адамса из спектра подвеса бесконечного реального проективного пространства в спектр сферы. Это сюръективно на Адамса $E 2$ страница на положительных основах. Ван и Сюй развивают метод, использующий отображение Кана - Придди, для индуктивного вывода дифференциалов Адамса для спектра сферы (Ван и Сюй (2017) ). Они приводят подробные аргументы в пользу нескольких дифференциалов Адамса и вычисляют 60 и 61 ствол. Геометрическим следствием их результата является сфера $S 61$ имеет уникальную гладкую структуру, и это последняя нечетномерная структура - единственные $S 1$ , $S 3$ , $S 5$ , и $S 61$ .

Мотивный cofiber $τ$ метод пока что является наиболее эффективным методом в простом числе 2. Класс $τ$ карта между сферами мотивации. Теорема Георге - Ванга - Сюй идентифицирует мотивную спектральную последовательность Адамса для кофибры $τ$ как алгебраическая спектральная последовательность Новикова для $BP *$ , что позволяет вывести мотивные дифференциалы Адамса для кофибры $τ$ из чисто алгебраических данных. Затем можно перенести эти мотивирующие дифференциалы Адамса в мотивационную сферу, а затем использовать функтор реализации Бетти, чтобы продвинуть их в классическую сферу. Используя этот метод, Исаксен, Ван и Сюй (2020) вычисляет с точностью до 90 шт.

Вычисление гомотопических групп $S 2$ был уменьшен до комбинаторная теория групп вопрос. Беррик и др. (2006) идентифицировать эти гомотопические группы как определенные факторы Бруннский группы кос из $S 2$ . При этом соответствии каждый нетривиальный элемент из $π п (S 2)$ за $п > 2$ может быть представлен бруннианцем тесьма над $S 2$ который не является брунновским над диском $D 2$ . Например, карта Хопфа $S 3 \to S 2$ соответствует Кольца Борромео.

Приложения

В номер намотки (соответствует целому числу $π 1 (S 1) = ℤ)$ может использоваться для доказательства основная теорема алгебры, который утверждает, что каждый непостоянный сложный многочлен имеет ноль.
Дело в том, что $π п -1 (S п -1) = ℤ$ подразумевает Теорема Брауэра о неподвижной точке что каждая непрерывная карта из $п$ -размерный мяч к себе имеет фиксированную точку.
Стабильные гомотопические группы сфер важны в теория сингулярности, изучающая структуру особых точек гладкие карты или же алгебраические многообразия. Такие особенности возникают как критические точки гладких отображений из $ℝ м$ к $ℝ п$ . Геометрия вблизи критической точки такой карты может быть описана элементом $π м -1 (S п -1)$ , учитывая способ, которым $м - 1$ сфера вокруг критической точки преобразуется в топологическую $п - 1$ сфера вокруг критическое значение.
Тот факт, что третья стабильная гомотопическая группа сфер циклическая порядка 24, впервые доказал Владимир Рохлин, подразумевает Теорема Рохлина что подпись компактного гладкого вращение 4-х коллекторный делится на 16 (Скорпан 2005 ).
Стабильные гомотопические группы сфер используются для описания группы $Θ п$ из h-кобордизм классы ориентированной гомотопии $п$ -сферы (для $п \neq 4$ , это группа гладкие конструкции на $п$ -сферы, с точностью до диффеоморфизма, сохраняющего ориентацию; нетривиальные элементы этой группы представлены экзотические сферы ). Точнее, есть инъективное отображение

{ displaystyle Theta _ {n} / bP_ {n + 1} to pi _ {n} ^ {S} / J, , !}

куда $bP п +1$ циклическая подгруппа, представленная гомотопическими сферами, ограничивающими параллелизируемое многообразие, $π S п$ это $п$ -я стабильная гомотопическая группа сфер и $J$ это образ $J$ -гомоморфизм. Это изоморфизм, если $п$ имеет форму $2 k -2$ , и в этом случае изображение имеет индекс 1 или 2 (Кервэр и Милнор 1963 ).

Группы $Θ п$ выше и, следовательно, стабильные гомотопические группы сфер, используются при классификации возможных гладких структур на топологической или кусочно-линейное многообразие (Скорпан 2005 ).
В Проблема инварианта Кервера, о существовании многообразий Инвариант Кервера 1 в размерах $2 k - 2$ сводится к вопросу о стабильных гомотопических группах сфер. Например, знание стабильных гомотопических групп степени до 48 было использовано для решения проблемы инварианта Кервера в размерности $26 - 2 = 62$ (Барратт, Джонс и Маховальд 1984 ). (Это было наименьшее значение $k$ для которой вопрос был открытым в то время.)
В Теорема Барратта – Придди говорит, что стабильные гомотопические группы сфер могут быть выражены через плюс строительство применяется к классификация пространства из симметричная группа, что привело к идентификации K-теории поле с одним элементом со стабильными гомотопическими группами (Дейтмар 2006 ).

Таблица гомотопических групп

Таблицы гомотопических групп сфер удобнее всего организовывать, показывая $π п + k (S п)$ .

В следующей таблице показаны многие группы $π п + k (S п)$ . (Эти таблицы основаны на таблица гомотопических групп сфер в Тода (1962).) Стабильные гомотопические группы выделены синим цветом, нестабильные - красным. Каждая гомотопическая группа является продуктом циклических групп порядков, указанных в таблице, с использованием следующих соглашений:

Запись «⋅» обозначает тривиальную группу.
Если запись целое число, $м$ , гомотопическая группа - это циклическая группа этого порядка (обычно пишется $ℤ м$ ).
Если запись ∞, гомотопическая группа - это бесконечная циклическая группа, $ℤ$ .
Если вход - это продукт, гомотопическая группа - это декартово произведение (эквивалентно, прямая сумма ) циклических групп этих порядков. Полномочия указывают на повторяющиеся продукты. (Обратите внимание, что когда $а$ и $б$ не иметь Общий делитель, $ℤ а \times ℤ б$ является изоморфный к $ℤ ab$ .)

Пример: $π 19 (S 10) = π 9+10 (S 10) = ℤ \times ℤ 2 \times ℤ 2 \times ℤ 2$ , который обозначается $\infty\cdot2 3$ в таблице.

S^п →	S⁰	S¹	S²	S³	S⁴	S⁵	S⁶	S⁷	S⁸	S⁹	S¹⁰	S¹¹	S¹²	S^≥13
π_<п(S^п)		⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π_0+п(S^п)	2	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞
π_1+п(S^п)	⋅	⋅	∞	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π_2+п(S^п)	⋅	⋅	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π_3+п(S^п)	⋅	⋅	2	12	∞⋅12	24	24	24	24	24	24	24	24	24
π_4+п(S^п)	⋅	⋅	12	2	2²	2	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π_5+п(S^п)	⋅	⋅	2	2	2²	2	∞	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π_6+п(S^п)	⋅	⋅	2	3	24⋅3	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π_7+п(S^п)	⋅	⋅	3	15	15	30	60	120	∞⋅120	240	240	240	240	240
π_8+п(S^п)	⋅	⋅	15	2	2	2	24⋅2	2³	2⁴	2³	2²	2²	2²	2²
π_9+п(S^п)	⋅	⋅	2	2²	2³	2³	2³	2⁴	2⁵	2⁴	∞⋅2³	2³	2³	2³
π_10+п(S^п)	⋅	⋅	2²	12⋅2	120⋅12⋅2	72⋅2	72⋅2	24⋅2	24²⋅2	24⋅2	12⋅2	6⋅2	6	6
π_11+п(S^п)	⋅	⋅	12⋅2	84⋅2²	84⋅2⁵	504⋅2²	504⋅4	504⋅2	504⋅2	504⋅2	504	504	∞⋅504	504
π_12+п(S^п)	⋅	⋅	84⋅2²	2²	2⁶	2³	240	⋅	⋅	⋅	12	2	2²	Видеть ниже
π_13+п(S^п)	⋅	⋅	2²	6	24⋅6⋅2	6⋅2	6	6	6⋅2	6	6	6⋅2	6⋅2
π_14+п(S^п)	⋅	⋅	6	30	2520⋅6⋅2	6⋅2	12⋅2	24⋅4	240⋅24⋅4	16⋅4	16⋅2	16⋅2	48⋅4⋅2
π_15+п(S^п)	⋅	⋅	30	30	30	30⋅2	60⋅6	120⋅2³	120⋅2⁵	240⋅2³	240⋅2²	240⋅2	240⋅2
π_16+п(S^п)	⋅	⋅	30	6⋅2	6²⋅2	2²	504⋅2²	2⁴	2⁷	2⁴	240⋅2	2	2
π_17+п(S^п)	⋅	⋅	6⋅2	12⋅2²	24⋅12⋅4⋅2²	4⋅2²	2⁴	2⁴	6⋅2⁴	2⁴	2³	2³	2⁴
π_18+п(S^п)	⋅	⋅	12⋅2²	12⋅2²	120⋅12⋅2⁵	24⋅2²	24⋅6⋅2	24⋅2	504⋅24⋅2	24⋅2	24⋅2²	8⋅4⋅2	480⋅4²⋅2
π_19+п(S^п)	⋅	⋅	12⋅2²	132⋅2	132⋅2⁵	264⋅2	1056⋅8	264⋅2	264⋅2	264⋅2	264⋅6	264⋅2³	264⋅2⁵

S^п →	S¹³	S¹⁴	S¹⁵	S¹⁶	S¹⁷	S¹⁸	S¹⁹	S²⁰	S^≥21
π_12+п(S^п)	2	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π_13+п(S^п)	6	∞⋅3	3	3	3	3	3	3	3
π_14+п(S^п)	16⋅2	8⋅2	4⋅2	2²	2²	2²	2²	2²	2²
π_15+п(S^п)	480⋅2	480⋅2	480⋅2	∞⋅480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2
π_16+п(S^п)	2	24⋅2	2³	2⁴	2³	2²	2²	2²	2²
π_17+п(S^п)	2⁴	2⁴	2⁵	2⁶	2⁵	∞⋅2⁴	2⁴	2⁴	2⁴
π_18+п(S^п)	8²⋅2	8²⋅2	8²⋅2	24⋅8²⋅2	8²⋅2	8⋅4⋅2	8⋅2²	8⋅2	8⋅2
π_19+п(S^п)	264⋅2³	264⋅4⋅2	264⋅2²	264⋅2²	264⋅2²	264⋅2	264⋅2	∞⋅264⋅2	264⋅2

Таблица стабильных гомотопических групп

Стабильные гомотопические группы $π k$ являются произведением циклических групп бесконечного или простого степенного порядка, показанных в таблице. (В основном по историческим причинам стабильные гомотопические группы обычно задаются как произведения циклических групп простого порядка мощности, тогда как таблицы нестабильных гомотопических групп часто дают их как произведения наименьшего числа циклических групп.) Основная сложность заключается в 2- , 3- и 5-компонентные: для $п > 5$ , то $п$ -компоненты в диапазоне таблицы учитываются $J$ -гомоморфизм и циклические порядка $п$ если $2(п -1)$ разделяет $k +1$ и 0 в противном случае (Фукс 2001 ). (2 компонента можно найти в Исаксен, Ван и Сюй (2020), а 3- и 5-компоненты в Равенел (2003).) Поведение таблицы по моду 8 исходит из Периодичность Ботта через J-гомоморфизм, изображение которого подчеркнуто.

п →	0	1	2	3	4	5	6	7
π_0+п^S	∞	2	2	8⋅3	⋅	⋅	2	16⋅3⋅5
π_8+п^S	2⋅2	2⋅2²	2⋅3	8⋅9⋅7	⋅	3	2²	32⋅2⋅3⋅5
π_16+п^S	2⋅2	2⋅2³	8⋅2	8⋅2⋅3⋅11	8⋅3	2²	2⋅2	16⋅8⋅2⋅9⋅3⋅5⋅7⋅13
π_24+п^S	2⋅2	2⋅2	2²⋅3	8⋅3	2	3	2⋅3	64⋅2²⋅3⋅5⋅17
π_32+п^S	2⋅2³	2⋅2⁴	4⋅2³	8⋅2²⋅27⋅7⋅19	2⋅3	2²⋅3	4⋅2⋅3⋅5	16⋅2⁵⋅3⋅3⋅25⋅11
π_40+п^S	2⋅4⋅2⁴⋅3	2⋅2⁴	8⋅2²⋅3	8⋅3⋅23	8	16⋅2³⋅9⋅5	2⁴⋅3	32⋅4⋅2³⋅9⋅3⋅5⋅7⋅13
π_48+п^S	2⋅4⋅2³	2⋅2⋅3	2³⋅3	8⋅8⋅2⋅3	2³⋅3	2⁴	4⋅2	16⋅3⋅3⋅5⋅29
π_56+п^S	2	2⋅2²	2²	8⋅2²⋅9⋅7⋅11⋅31	4	⋅	2⁴⋅3	128⋅4⋅2²⋅3⋅5⋅17
π_64+п^S	2⋅4⋅2⁵	2⋅4⋅2⁸⋅3	8⋅2⁶	8⋅4⋅2³⋅3	2³⋅3	2⁴	4²⋅2⁵	16⋅8⋅4⋅2⁶⋅27⋅5⋅7⋅13⋅19⋅37
π_72+п^S	2⋅2⁷⋅3	2⋅2⁶	4³⋅2⋅3	8⋅2⋅9⋅3	4⋅2²⋅5	4⋅2⁵	4²⋅2³⋅3	32⋅4⋅2⁶⋅3⋅25⋅11⋅41

внешняя ссылка

Баэз, Джон (21 апреля 1997 г.), Находки этой недели по математической физике 102, получено 2007-10-09
Хэтчер, Аллен, Стабильные гомотопические группы сфер, получено 2007-10-20
О'Коннор, Дж. Дж .; Робертсон, Э. Ф. (1996), История топологии, получено 2007-11-14 в Архив истории математики MacTutor.
О'Коннор, Дж. Дж .; Робертсон, Э. Ф. (2001), Мари Эннемон Камилла Джордан, получено 2007-11-14 в архиве истории математики MacTutor.

Гомотопические группы сфер - Homotopy groups of spheres

Содержание