Инвариант Хопфа - Hopf invariant

В математика, в частности в алгебраическая топология, то Инвариант Хопфа это гомотопия инвариант некоторых отображений между n-сферы.

Мотивация

В 1931 г. Хайнц Хопф используемый Параллели Клиффорда построить Карта Хопфа

${displaystyle eta двоеточие S ^ {3} o S ^ {2}}$,

и доказал, что ${displaystyle eta}$ существенно, т.е. не гомотопный к постоянной карте, используя тот факт, что число связей кругов

${displaystyle eta ^ {- 1} (x), eta ^ {- 1} (y) подмножество S ^ {3}}$

равно 1, для любого ${displaystyle xeq yin S ^ {2}}$.

Позже было показано, что гомотопическая группа ${displaystyle pi _ {3} (S ^ {2})}$ это бесконечный циклическая группа Сгенерированно с помощью ${displaystyle eta}$. В 1951 г. Жан-Пьер Серр доказал, что рациональная гомотопия группы

${displaystyle pi _ {i} (S ^ {n}) otimes mathbb {Q}}$

для нечетномерной сферы (${displaystyle n}$ нечетные) равны нулю, если ${displaystyle i}$ равно 0 или п. Однако для четномерной сферы (п даже), есть еще один бит бесконечной циклической гомотопии в степени ${displaystyle 2n-1}$.

Определение

Позволять ${displaystyle phi двоеточие S ^ {2n-1} o S ^ {n}}$ быть непрерывная карта (предполагать ${displaystyle n> 1}$). Тогда мы можем сформировать клеточный комплекс

${displaystyle C_ {phi} = S ^ {n} чашка _ {phi} D ^ {2n},}$

где ${displaystyle D ^ {2n}}$ это ${displaystyle 2n}$-мерный диск прикреплен к ${displaystyle S ^ {n}}$ через ${displaystyle phi}$Группы клеточных цепей. ${displaystyle C_ {mathrm {cell}} ^ {*} (C_ {phi})}$ просто свободно генерируются на ${displaystyle i}$-клетки в градусах ${displaystyle i}$, так что они ${displaystyle mathbb {Z}}$ в степени 0, ${displaystyle n}$ и ${displaystyle 2n}$ и ноль везде. Клеточные (ко-) гомологии - это (ко) гомологии этого цепной комплекс, и поскольку все граничные гомоморфизмы должны быть нулевыми (напомним, что ${displaystyle n> 1}$) когомологии

${displaystyle H_ {mathrm {cell}} ^ {i} (C_ {phi}) = {egin {cases} mathbb {Z} & i = 0, n, 2n, 0 & {mbox {else}}. end {cases} }}$

Обозначим образующие групп когомологий через

${displaystyle H ^ {n} (C_ {phi}) = угол альфа-выступа}$ и ${displaystyle H ^ {2n} (C_ {phi}) = угол этажа langle.}$

По причинам габаритов, все чашки между этими классами должны быть тривиальными, кроме ${displaystyle alpha smile alpha}$. Таким образом, как кольцокогомологии

${displaystyle H ^ {*} (C_ {phi}) = mathbb {Z} [alpha, eta] / langle eta smile eta = альфа улыбка eta = 0, альфа улыбка альфа = h (phi) эта угол.}$

Целое число ${displaystyle h (phi)}$ это Инвариант Хопфа карты ${displaystyle phi}$.

Свойства

Теорема: Карта ${displaystyle hcolon pi _ {2n-1} (S ^ {n}) o mathbb {Z}}$ является гомоморфизмом. Более того, если ${displaystyle n}$ даже, ${displaystyle h}$ карты на ${displaystyle 2mathbb {Z}}$.

Инвариант Хопфа равен ${displaystyle 1}$ для Карты Хопфа, где ${displaystyle n = 1,2,4,8}$, соответствующие вещественным алгебрам с делением ${displaystyle mathbb {A} = mathbb {R}, mathbb {C}, mathbb {H}, mathbb {O}}$соответственно и расслоению ${displaystyle S (mathbb {A} ^ {2}) o mathbb {PA} ^ {1}}$ отправка направления на сфере в подпространство, которое она охватывает. Это теорема, сначала доказанная Фрэнк Адамс, а затем Адамсом и Майкл Атья с методами топологическая K-теория, что это единственные отображения с инвариантом Хопфа 1.

Обобщения для стабильных карт

Можно определить очень общее понятие инварианта Хопфа, но оно требует некоторого теоретического обоснования гомотопии:

Позволять ${displaystyle V}$ обозначают векторное пространство и ${displaystyle V ^ {infty}}$ его одноточечная компактификация, т.е. ${displaystyle Vcong mathbb {R} ^ {k}}$ и

${displaystyle V ^ {infty} cong S ^ {k}}$ для некоторых ${displaystyle k}$.

Если ${displaystyle (X, x_ {0})}$ - любое заостренное пространство (как это неявно указано в предыдущем разделе), и если мы возьмем точка в бесконечности быть исходной точкой ${displaystyle V ^ {infty}}$, то мы можем сформировать изделия клина

${displaystyle V ^ {infty} клин X}$.

Теперь позвольте

${displaystyle Fcolon V ^ {infty} клин X o V ^ {infty} клин Y}$

быть устойчивым отображением, т.е. устойчивым относительно уменьшенная подвеска функтор. В (стабильный) геометрический инвариант Хопфа из ${displaystyle F}$ является

${displaystyle h (F) в {X, Ywedge Y} _ {mathbb {Z} _ {2}}}$,

элемент конюшни ${displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$-эквивариантная гомотопическая группа отображений из ${displaystyle X}$ к ${displaystyle Ywedge Y}$. Здесь «стабильный» означает «стабильный в подвешенном состоянии», т.е. ${displaystyle V}$ (или ${displaystyle k}$если хотите) обычных эквивариантных гомотопических групп; и ${displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$-Действие - это тривиальное действие на ${displaystyle X}$ и изменение двух факторов на ${displaystyle Ywedge Y}$. Если мы позволим

${displaystyle Delta _ {X} двоеточие X o Xwedge X}$

обозначим каноническое диагональное отображение и ${displaystyle I}$ тождество, то инвариант Хопфа определяется следующим:

${displaystyle h (F): = (Fwedge F) (Iwedge Delta _ {X}) - (Iwedge Delta _ {Y}) (Iwedge F).}$

Эта карта изначально является картой из

${displaystyle V ^ {infty} клин V ^ {infty} клин X}$ к ${displaystyle V ^ {infty} клин V ^ {infty} клин Ywedge Y}$,

но при прямом пределе он становится рекламируемым элементом стабильной гомотопии ${displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$-эквивариантная группа отображений.Существует также нестабильная версия инварианта Хопфа ${displaystyle h_ {V} (F)}$, для которого необходимо отслеживать векторное пространство ${displaystyle V}$.

использованная литература

• Адамс, Дж. Франк (1960), «Об отсутствии элементов инвариантной единицы Хопфа», Анналы математики, 72 (1): 20–104, CiteSeerX  10.1.1.299.4490, Дои:10.2307/1970147, JSTOR  1970147, Г-Н  0141119
• Адамс, Дж. Франк; Атья, Майкл Ф. (1966), "K-теория и инвариант Хопфа", Ежеквартальный журнал математики, 17 (1): 31–38, Дои:10.1093 / qmath / 17.1.31, Г-Н  0198460
• Крабб, Майкл; Раники, Андрей (2006). «Геометрический инвариант Хопфа» (PDF).
• Хопф, Хайнц (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche", Mathematische Annalen, 104: 637–665, Дои:10.1007 / BF01457962, ISSN  0025-5831
• Шокуров, А. (2001) [1994], «Инвариант Хопфа», Энциклопедия математики, EMS Press