Инъективная связка - Injective sheaf

В математика, инъективные пучки из абелевы группы используются для построения разрешений, необходимых для определения когомологии пучков (и другие производные функторы, например связка Ext ).

Существует еще одна группа связанных концепций, применяемых к снопы: дряблый (фляга На французском), отлично, мягкий (ты На французском), ациклический. В историю предмета они были введены до 1957 г. »Бумага Тохоку " из Александр Гротендик, который показал, что абелева категория понятие инъективный объект хватило, чтобы основать теорию. Другие классы связок - исторически более старые понятия. Абстрактная структура для определения когомологий и производных функторов в них не нуждается. Однако в большинстве конкретных ситуаций часто проще построить разрешение по ациклическим пучкам. Следовательно, ациклические пучки служат для вычислительных целей, например Спектральная последовательность Лере.

Инъективные пучки

An инъективная связка ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ - пучок, являющийся инъективным объектом категории абелевых пучков; другими словами, гомоморфизмы из ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ к ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ всегда можно продолжить на любую связку ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ содержащий ${ displaystyle { mathcal {A}}.}$

В категории абелевых пучков достаточно инъективных объектов: это означает, что любой пучок является подпучком инъективного пучка. Этот результат Гротендика следует из существования генератор категории (ее можно записать явно, и она связана с классификатор подобъектов ). Этого достаточно, чтобы показать, что правые производные функторы любого точного левого функтора существуют и единственны с точностью до канонического изоморфизма.

Для технических целей инъективные пучки обычно превосходят другие классы пучков, упомянутых выше: они могут делать почти все, что могут делать другие классы, и их теория проще и более общая. На самом деле инъективные пучки дряблые (фляга), мягкий и ациклический. Однако бывают ситуации, когда другие классы пучков возникают естественным образом, и это особенно верно в конкретных вычислительных ситуациях.

Двойственная концепция, проективные пучки, используется мало, потому что в общей категории пучков их не хватает: не каждый пучок является фактором проективного пучка, и в частности проективные резольвенты не всегда существуют. Так обстоит дело, например, при рассмотрении категории пучков на проективное пространство в топологии Зарисского. Это вызывает проблемы при попытке определить левые производные функторы от точного правого функтора (например, Tor). Иногда это можно сделать специальными средствами: например, левые производные функторы Tor могут быть определены с использованием плоского разрешения, а не проективного, но требуется некоторая работа, чтобы показать, что это не зависит от разрешения. Не все категории связок сталкиваются с этой проблемой; например, категория пучков на аффинная схема содержит достаточно проективов.

Ациклические связки

An ациклическая связка ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ над Икс одна такая, что все группы когомологий высших пучков обращаются в нуль.

Группы когомологий любого пучка могут быть вычислены на основе любого его ациклического разрешения (оно носит название Теорема де Рама-Вейля ).

Мелкие снопы

А прекрасная связка над Икс одно с "разделы единства "; точнее для любой открытой крышки пространства Икс мы можем найти семейство гомоморфизмов из пучка в себя с суммой 1 такое, что каждый гомоморфизм равен 0 вне некоторого элемента открытого покрытия.

Тонкие шкивы обычно используются только паракомпакт Хаусдорфовы пространства Икс. Типичными примерами являются пучок ростков непрерывных вещественнозначных функций над таким пространством или гладкие функции над гладким (паракомпактным хаусдорфовым) многообразием или модули над этими пучками колец. Также мелкие пучки над паракомпактными пространствами Хаусдорфа мягкие и ациклические.

Можно найти разрешение пучка на гладком многообразии по тонким пучкам, используя разрешение Александера-Спаньера^[1]

В качестве приложения рассмотрим настоящий многообразие Икс. Имеется следующее разрешение постоянного пучка ${ Displaystyle mathbb {R}}$ тонкими связками (гладкими) дифференциальные формы:

{ displaystyle 0 to mathbb {R} to C_ {X} ^ {0} to C_ {X} ^ {1} to cdots to C_ {X} ^ { dim X} to 0 .}

Это резольвента, т.е. точный комплекс пучков по Лемма Пуанкаре. Когомологии Икс со значениями в ${ Displaystyle mathbb {R}}$ Таким образом, можно вычислить как когомологии комплекса глобально определенных дифференциальных форм:

{ displaystyle H ^ {i} (X, mathbb {R}) = H ^ {i} (C_ {X} ^ { bullet} (X)).}

Мягкие связки

А мягкая связка ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ над Икс такое, что любой раздел над любым закрыто подмножество Икс может быть расширен до глобального раздела.

Мягкие пучки ацикличны над паракомпактными хаусдорфовыми пространствами.

Вялые или дряблые связки

А фляговая связка (также называемый дряблый сноп) это пучок ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ со следующим свойством: если ${ displaystyle X}$ это база топологическое пространство на котором определен пучок и

{ Displaystyle U substeq V substeq X}

находятся открытые подмножества, то карта ограничений

{ displaystyle r_ {U substeq V}: Gamma (V, { mathcal {F}}) to Gamma (U, { mathcal {F}})}

является сюръективный, как карта группы (кольца, модули, так далее.).

Пучки Flasque полезны, потому что (по определению) их секции расширяются. Это означает, что они являются одними из самых простых в обращении с точки зрения гомологическая алгебра. Любой пучок имеет каноническое вложение в пучок пластин всех возможных разрывных участков этале пространство, и, повторяя это, мы можем найти каноническое разрешение фляски для любого пучка. Разрешения Flasque, то есть, резолюции с помощью опорных шкивов - один из подходов к определению когомологии пучков.

Пучки Flasque мягкие, ациклические.

Flasque это Французский слово, которое иногда переводилось на английский как дряблый.