Локальные когомологии - Local cohomology

В алгебраическая геометрия, локальные когомологии это аналог относительные когомологии. Александр Гротендик представил его на семинарах в Гарварде в 1961 году. Хартсхорн (1967), а в 1961-1929 гг. в ИГЭС записано как SGA2 - Гротендик (1968), переиздан как Гротендик (2005).

Определение

В геометрической форме теории разделы ${ displaystyle Gamma _ {Y}}$ считаются пучок ${ displaystyle F}$ из абелевы группы, на топологическое пространство ${ displaystyle X}$ , с поддерживать в закрытое подмножество ${ displaystyle Y}$ , The производные функторы из ${ displaystyle Gamma _ {Y}}$ форма группы локальных когомологий

{ displaystyle H_ {Y} ^ {i} (X, F)}

Для приложений в коммутативная алгебра, космос Икс это спектр Спецификация (р) коммутативного кольца р (должно быть Нётерян всюду по этой статье) и связка F это квазикогерентный пучок связан с р-модуль M, обозначаемый ${ displaystyle { tilde {M}}}$ . В закрытая подсхема Y определяется идеальный я. В этой ситуации функтор Γ_Y(F) соответствует аннигилятор

{ displaystyle Gamma _ {I} (M): = bigcup _ {n geq 0} (0: _ {M} I ^ {n}),}

т.е. элементы M которые уничтожаются некоторой силой я. Эквивалентно,

{ displaystyle Gamma _ {I} (M): = varinjlim _ {n in N} operatorname {Hom} _ {R} (R / I ^ {n}, M),}

что также показывает, что локальные когомологии квазикогерентных пучков согласуются с

{ displaystyle H_ {I} ^ {i} (M): = varinjlim _ {n in N} operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (R / I ^ {n}, M). }

Использование комплексов Кошуля

Для идеального ${ Displaystyle I = (е_ {1}, ldots, е_ {п})}$ , локальные группы когомологий могут быть вычислены с помощью копредела Кошульские комплексы:

{ displaystyle H_ {I} ^ {i} (M) = varinjlim _ {m} H ^ {i} left ( operatorname {Hom} _ {R} left (K ^ { bullet} left ( f_ {1} ^ {m}, dots, f_ {n} ^ {m} right), M right) right),}

Поскольку комплексы Кошуля обладают свойством умножения на ${ displaystyle f_ {i}}$ как цепной комплексный морфизм ${ displaystyle cdot f_ {i}: K ^ { bullet} (f_ {1}, ldots, f_ {n}) to K ^ { bullet} (f_ {1}, ldots, f_ {n })}$ гомотопен нулю^[1], смысл ${ Displaystyle Н ^ {я} (К ^ { пуля} (е_ {1}, ldots, е_ {п}))}$ уничтожается ${ displaystyle f_ {i}}$ , ненулевое отображение в копределе гом-множеств содержит отображения из всех комплексов Кошуля, кроме конечного, и которые не аннулируются каким-либо элементом в идеале.

Также этот копредел комплексов Кошуля может быть вычислен^[2] быть комплексом Чеха

${ Displaystyle R to prod _ {i_ {0}} R_ {f_ {i}} to prod _ {i_ {0}$

Основные свойства

Существует длинная точная последовательность из когомологии пучков связывая обычные пучковые когомологии Икс и из открытый набор U = Икс \Y, с локальными группами когомологий.

В частности, это приводит к точной последовательности

{ displaystyle 0 to H_ {I} ^ {0} (M) to M { stackrel { text {res}} { to}} H ^ {0} (U, { tilde {M}} ) to H_ {I} ^ {1} (M) to 0,}

куда U является открытым дополнением Y а средняя карта - это ограничение разделов. Цель этой карты ограничений также называется идеальное преобразование. За п ≥ 1, существуют изоморфизмы

{ displaystyle H ^ {n} (U, { tilde {M}}) { stackrel { cong} { to}} H_ {I} ^ {n + 1} (M).}

Важным частным случаем является тот, когда р является оцененный, я состоит из элементов степени ≥ 1, а M является градуированным модулем.^[3] В этом случае когомологии U выше можно отождествить с группами когомологий

{ displaystyle bigoplus _ {к in mathbf {Z}} H ^ {n} ({ text {Proj}} (R), { tilde {M}} (k))}

из проективная схема связано с р и (k) обозначает Серр твист. Это связывает локальные когомологии с глобальными когомологиями на проективных схемах. Например, Регулярность Кастельнуово – Мамфорда. можно сформулировать с помощью локальных когомологий.^[4]

Отношение к инвариантам модулей

Размер тусклый_р(M) модуля (определяемого как Измерение Крулля его носителя) дает оценку сверху для локальных групп когомологий:^[5]

{ displaystyle H_ {I} ^ {n} (M) = 0 { text {для всех}} n> dim _ {R} (M).}

Если р является местный и M конечно порожденный, то эта оценка точна, т. е. ${ displaystyle H _ { mathfrak {m}} ^ {n} (M) neq 0}$ .

В глубина (определяется как максимальная длина обычный M-последовательность; также называется степенью M) обеспечивает точную нижнюю границу, т.е.является наименьшим целым числом п такой, что^[6]

{ displaystyle H_ {I} ^ {n} (M) neq 0.}

Эти две оценки вместе дают характеристику Модули Коэна – Маколея над локальными кольцами: это как раз те модули, в которых ${ Displaystyle Н _ { mathfrak {м}} ^ {п} (М)}$ исчезает для всех, кроме одного п.

Локальная двойственность

В локальная теорема двойственности местный аналог Двойственность Серра. Для полного Коэн-Маколей местное кольцо р, он утверждает, что естественное спаривание

{ displaystyle H _ { mathfrak {m}} ^ {n} (M) times operatorname {Ext} _ {R} ^ {dn} (M, omega) to H _ { mathfrak {m}} ^ {d} (R)}

это идеальное сочетание, куда $ω$ дуализирующий модуль для р.^[7]

Приложения

Первоначальные приложения были к аналогам Теоремы Лефшеца о гиперплоскостях. В общем, такие теоремы утверждают, что гомологии или когомологии поддерживаются на сечение гиперплоскости из алгебраическое многообразие, за исключением некоторой «потери», которую можно контролировать. Эти результаты применимы к алгебраическая фундаментальная группа и к Группа Пикард.

Другой тип приложений - теоремы связности, такие как Теорема Гротендика о связности (местный аналог Теорема Бертини ) или Теорема Фултона – Хансена о связности из-за Фултон и Хансен (1979) и Фальтингс (1979). Последний утверждает, что для двух проективные многообразия V и W в п^р над алгебраически замкнутое поле, то измерение связности из Z = V ∩ W (т.е. минимальная размерность замкнутого подмножества Т из Z это должно быть удалено из Z таким образом дополнять Z \ Т является отключен ) связана

c (Z) ≥ тусклый V + тусклый W − р − 1.

Например, Z подключен, если тусклый V + тусклый W > р.^[8]

Смотрите также

Локальная гомология - дает топологический аналог и вычисление локальных гомологий конуса пространства

Примечания

^ «Лемма 15.28.6 (0663) - Проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Получено 2020-05-01.
^ «Лемма 15.28.13 (0913) - Проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Получено 2020-05-01.
^ Эйзенбуд (1995 г., §A.4)
^ Бродман и Шарп (1998), §16)
^ Бродман и Шарп (1998), Теорема 6.1.2)
^ Хартсхорн (1967, Теорема 3.8), Бродман и Шарп (1998), Теорема 6.2.7), M конечно порожден, Я ≠ M
^ Хартсхорн (1967, Теорема 6.7).
^ Бродман и Шарп (1998), §19.6)

Вводный справочник

Хунеке, Крейг; Тейлор, Амелия, Лекции по локальным когомологиям

Рекомендации

Brodman, M. P .; Sharp, R. Y. (1998), Локальные когомологии: алгебраическое введение с геометрическими приложениями (2-е изд.), Cambridge University Press Рецензия на книгу Хартсхорна
Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии. Тексты для выпускников по математике. 150. Нью-Йорк: Springer-Verlag. xvi + 785. ISBN 0-387-94268-8. МИСТЕР 1322960.
Фальтингс, Герд (1979), "Алгебраизация некоторых формальных векторных расслоений", Анна. математики., 2, 110 (3): 501–514, Дои:10.2307/1971235, МИСТЕР 0554381
Fulton, W .; Хансен, Дж. (1979), "Теорема связности для проективных многообразий с приложениями к пересечениям и особенностям отображений", Анналы математики, Анналы математики, 110 (1): 159–166, Дои:10.2307/1971249, JSTOR 1971249
Гротендик, Александр (2005) [1968], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962 - Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux - (SGA 2), Documents Mathématiques (Париж), 4, Париж: Société Mathématique de France, arXiv:математика / 0511279, Bibcode:2005математика ..... 11279G, ISBN 978-2-85629-169-6, МИСТЕР 2171939
Гротендик, Александр (1968) [1962]. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962 - Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux - (SGA 2) (Advanced Studies in Pure Mathematics). 2) (На французском). Амстердам: Издательская компания Северной Голландии. vii + 287.
Хартсхорн, Робин (1967) [1961], Локальные когомологии. Семинар А. Гротендика, Гарвардский университет, осень, 1961 г., Конспект лекций по математике, 41, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0073971, МИСТЕР 0224620
Iyengar, Srikanth B .; Leuschke, Graham J .; Лейкин, Антон; Миллер, Клаудиа; Миллер, Эзра; Сингх, Анураг К .; Вальтер, Ули (2007), Двадцать четыре часа локальной когомологии, Аспирантура по математике, 87, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, Дои:10,1090 / г / м2 / 087, ISBN 978-0-8218-4126-6, МИСТЕР 2355715

[1] «Лемма 15.28.6 (0663) - Проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Получено 2020-05-01.

[2] «Лемма 15.28.13 (0913) - Проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Получено 2020-05-01.

[3] Эйзенбуд (1995 г., §A.4)

[4] Бродман и Шарп (1998), §16)

[5] Бродман и Шарп (1998), Теорема 6.1.2)

[6] Хартсхорн (1967, Теорема 3.8), Бродман и Шарп (1998), Теорема 6.2.7), M конечно порожден, Я ≠ M

[7] Хартсхорн (1967, Теорема 6.7).

[8] Бродман и Шарп (1998), §19.6)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]