Функция удара - Bump function

График функции удара

{ Displaystyle (х, у) в mathbf {R} ^ {2} mapsto Psi (r),}

куда

{ Displaystyle г = (х ^ {2} + у ^ {2}) ^ { гидроразрыва {1} {2}}}

и

{ displaystyle Psi (r) = e ^ {- { frac {1} {1-r ^ {2}}}} cdot mathbf {1} _ { {| r | <1 }}. }

В математика, а функция удара (также называемый функция тестирования) это функция ${ displaystyle f: mathbf {R} ^ {n} to mathbf {R}}$ на Евклидово пространство ${ displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$ что является как гладкий (в смысле наличия непрерывный производные всех заказов) и компактно поддерживается. В набор всех функций удара с домен ${ displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$ образует векторное пространство, обозначенный ${ Displaystyle C_ {0} ^ { infty} ( mathbf {R} ^ {n})}$ или же ${ Displaystyle C_ {c} ^ { infty} ( mathbf {R} ^ {n})}$ . В двойное пространство этого пространства наделен подходящей топология это пространство распределения.

Примеры

Функция ${ Displaystyle Psi: mathbf {R} rightarrow mathbf {R}}$ данный

{ Displaystyle Psi (x) = { begin {case} exp left (- { frac {1} {1-x ^ {2}}} right), & x in (-1,1) 0, & { mbox {иначе}} end {case}}}

является примером функции рельефа в одном измерении. Из конструкции ясно, что эта функция имеет компактный носитель, поскольку функция вещественной прямой имеет компактный носитель тогда и только тогда, когда она имеет ограниченный и замкнутый носитель. Доказательство гладкости проводится по той же схеме, что и для связанной функции, обсуждаемой в Неаналитическая гладкая функция статья. Эту функцию можно интерпретировать как Функция Гаусса ${ Displaystyle ехр (-y ^ {2})}$ масштабируется, чтобы поместиться в единичный диск: замена ${ Displaystyle у ^ {2} = 1 / (1-х ^ {2})}$ соответствует отправке ${ displaystyle x = pm 1}$ к ${ Displaystyle у = infty}$ .

Простой пример функции удара в ${ displaystyle n}$ переменных получается как произведение ${ displaystyle n}$ копии вышеупомянутой функции удара в одной переменной, поэтому

{ Displaystyle Phi (x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {n}) = Psi (x_ {1}) Psi (x_ {2}) cdots Psi (x_ {n} ).}

Наличие выпуклых функций

Иллюстрация наборов в конструкции.

Можно построить неровные функции «по спецификациям». Заявлено официально, если ${ displaystyle K}$ произвольный компактный набор в ${ displaystyle n}$ размеры и ${ displaystyle U}$ является открытый набор содержащий ${ displaystyle K}$ , существует функция выпуклости ${ displaystyle phi}$ который ${ displaystyle 1}$ на ${ displaystyle K}$ и ${ displaystyle 0}$ вне ${ displaystyle U}$ . С ${ displaystyle U}$ можно принять за очень маленькое соседство ${ displaystyle K}$ , это означает возможность построить функцию, которая ${ displaystyle 1}$ на ${ displaystyle K}$ и быстро падает до ${ displaystyle 0}$ вне ${ displaystyle K}$ , при этом все еще гладкая.

Построение происходит следующим образом. Считается компактной окрестностью ${ displaystyle V}$ из ${ displaystyle K}$ содержалась в ${ displaystyle U}$ , так ${ Displaystyle К substeq V ^ { circ} substeq V substeq U}$ . В характеристическая функция ${ displaystyle chi _ {V}}$ из ${ displaystyle V}$ будет равно ${ displaystyle 1}$ на ${ displaystyle V}$ и ${ displaystyle 0}$ вне ${ displaystyle V}$ , поэтому, в частности, это будет ${ displaystyle 1}$ на ${ displaystyle K}$ и ${ displaystyle 0}$ вне ${ displaystyle U}$ . Однако эта функция не является гладкой. Ключевая идея - сгладить ${ displaystyle chi _ {V}}$ немного, взяв свертка из ${ displaystyle chi _ {V}}$ с успокаивающее средство. Последний - просто функция удара с очень маленькой опорой, интеграл которой равен ${ displaystyle 1}$ . Такой успокаивающий эффект можно получить, например, взяв функцию выпуклости ${ displaystyle Phi}$ из предыдущего раздела и выполнив соответствующее масштабирование.

Свойства и использование

Хотя функции выпуклости гладкие, они не могут быть аналитический если они исчезнуть идентично. Это простое следствие теорема тождества. Функции Bump часто используются как успокаивающие, как гладкий функции отсечки, и образовать гладкую разделы единства. Это самый распространенный класс тестовые функции используется в анализе. Пространство функций выпуклости закрывается при выполнении многих операций. Например, сумма, произведение или свертка двух функций выдавливания снова является функцией выдавливания, а любая дифференциальный оператор с сглаженными коэффициентами при применении к функции выпуклости создаст другую функцию выпуклости.

В преобразование Фурье выпуклости является (действительной) аналитической функцией, и ее можно распространить на всю комплексную плоскость: следовательно, она не может иметь компактного носителя, если она не равна нулю, поскольку единственной аналитической функцией выпуклости является нулевая функция (см. Теорема Пэли – Винера. и Теорема Лиувилля ). Поскольку функция выпуклости бесконечно дифференцируема, ее преобразование Фурье должно затухать быстрее, чем любая конечная степень ${ displaystyle 1 / k}$ для большой угловой частоты ${ displaystyle | k |}$ .^[1] Преобразование Фурье конкретной функции выпуклости