Аксиома склеивания - Gluing axiom

В математика, то аксиома склейки вводится, чтобы определить, что пучок ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ на топологическое пространство ${ displaystyle X}$ должен удовлетворять, учитывая, что это предпучка, которая по определению контравариантный функтор

${ displaystyle { mathcal {F}}: { mathcal {O}} (X) rightarrow C}$

в категорию ${ displaystyle C}$ который изначально считается категория наборов. Здесь ${ Displaystyle { mathcal {O}} (X)}$ это частичный заказ из открытые наборы из ${ displaystyle X}$ заказан карты включения; и рассматривается как категория стандартным образом, с уникальным морфизм

${ Displaystyle U rightarrow V}$

если ${ displaystyle U}$ это подмножество из ${ displaystyle V}$, и никак иначе.

Как сказано в пучок статьи, есть аксиома, что ${ displaystyle F}$ должен удовлетворять, для любого открытая крышка открытого набора ${ displaystyle X}$. Например, для открытых множеств ${ displaystyle U}$ и ${ displaystyle V}$ с союз ${ displaystyle X}$ и пересечение ${ displaystyle W}$, требуется условие, чтобы

${ Displaystyle { mathcal {F}} (X)}$ это подмножество ${ Displaystyle { mathcal {F}} (U) times { mathcal {F}} (V)}$ С равным изображением в ${ Displaystyle { mathcal {F}} (W)}$

На менее формальном языке раздел ${ displaystyle s}$ из ${ displaystyle F}$ над ${ displaystyle X}$ одинаково хорошо задается парой секций:${ displaystyle (s ', s' ')}$ на ${ displaystyle U}$ и ${ displaystyle V}$ соответственно, которые «согласуются» в том смысле, что ${ displaystyle s '}$ и ${ displaystyle s ''}$ иметь общий образ в ${ Displaystyle { mathcal {F}} (W)}$ при соответствующих ограничительных картах

${ Displaystyle { mathcal {F}} (U) rightarrow { mathcal {F}} (W)}$

и

${ Displaystyle { mathcal {F}} (V) rightarrow { mathcal {F}} (W)}$.

Первое серьезное препятствие в теории пучков - увидеть, что это склейка или же исправление Аксиома - это правильная абстракция от обычной идеи в геометрических ситуациях. Например, векторное поле это часть касательный пучок на гладкое многообразие; это говорит о том, что векторное поле на объединении двух открытых множеств является (не больше и не меньше) векторными полями на двух множествах, которые согласуются в местах их перекрытия.

Учитывая это базовое понимание, в теории есть и другие вопросы, и некоторые из них будут рассмотрены здесь. Другое направление - это направление Топология Гротендика, и еще один - логический статус «локального существования» (см. Семантика Крипке – Джояла ).

Снятие ограничений на C

Перефразируя это определение так, чтобы оно работало в любой категории ${ displaystyle C}$ который имеет достаточную структуру, отметим, что мы можем записать объекты и морфизмы, участвующие в приведенном выше определении, на диаграмме, которую мы назовем (G), для «склейки»:

${ displaystyle { mathcal {F}} (U) rightarrow prod _ {i} { mathcal {F}} (U_ {i}) {{{} наверху longrightarrow} наверху { longrightarrow наверху {}}} prod _ {i, j} { mathcal {F}} (U_ {i} cap U_ {j})}$

Здесь первая карта является продуктом ограничительных карт

${ displaystyle {res} _ {U, U_ {i}}: { mathcal {F}} (U) rightarrow { mathcal {F}} (U_ {i})}$

и каждая пара стрелок представляет два ограничения

${ displaystyle res_ {U_ {i}, U_ {i} cap U_ {j}}: { mathcal {F}} (U_ {i}) rightarrow { mathcal {F}} (U_ {i} крышка U_ {j})}$

и

${ displaystyle res_ {U_ {j}, U_ {i} cap U_ {j}}: { mathcal {F}} (U_ {j}) rightarrow { mathcal {F}} (U_ {i} крышка U_ {j})}$.

Стоит отметить, что эти карты исчерпывают все возможные карты ограничений среди ${ displaystyle U}$, то ${ displaystyle U_ {i}}$, а ${ displaystyle U_ {i} cap U_ {j}}$.

Условие для ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ быть связкой - это именно то, что ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ это предел диаграммы. Это подсказывает правильную форму аксиомы склеивания:

Предпучка ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ является пучком, если для любого открытого множества ${ displaystyle U}$ и любой сборник открытых наборов ${ displaystyle {U_ {i} } _ {я in I}}$ чей союз ${ displaystyle U}$, ${ Displaystyle { mathcal {F}} (U)}$ является пределом диаграммы (G) выше.

Один из способов понять аксиому склеивания - заметить, что «неприменение» ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ to (G) дает следующую диаграмму:

${ displaystyle coprod _ {i, j} U_ {i} cap U_ {j} {{{} atop longrightarrow} atop { longrightarrow atop {}}} coprod _ {i} U_ {i } rightarrow U}$

Здесь ${ displaystyle U}$ это копредел этой диаграммы. Аксиома склейки гласит, что ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ превращает копределы таких диаграмм в пределы.

Связки на основе открытых наборов

В некоторых категориях можно построить связку, указав только некоторые ее части. В частности, пусть ${ displaystyle X}$ быть топологическим пространством с основа ${ displaystyle {B_ {i} } _ {я in I}}$. Мы можем определить категорию О′(Икс) быть полной подкатегорией ${ Displaystyle { mathcal {O}} (X)}$ чьими объектами являются ${ displaystyle {B_ {i} }}$. А B-связка на ${ displaystyle X}$ со значениями в ${ displaystyle C}$ контравариантный функтор

${ displaystyle { mathcal {F}}: { mathcal {O}} '(X) rightarrow C}$

которое удовлетворяет аксиоме склейки для множеств из ${ Displaystyle { mathcal {O}} '(X)}$. То есть на выборе открытых наборов ${ displaystyle X}$, ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ определяет все секции связки, а на других открытых наборах это не определено.

B-пучки эквивалентны пучкам (т. Е. Категория пучков эквивалентна категории B-пучков).^[1] Явно связка на ${ displaystyle X}$ можно ограничить до B-связки. В обратном направлении, учитывая B-связку ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ мы должны определить разделы ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ на других объектах ${ Displaystyle { mathcal {O}} (X)}$. Для этого учтите, что для каждого открытого набора ${ displaystyle U}$, мы можем найти коллекцию ${ displaystyle {B_ {j} } _ {j in J}}$ чей союз ${ displaystyle U}$. Категорически говоря, такой выбор делает ${ displaystyle U}$ копредел полной подкатегории ${ Displaystyle { mathcal {O}} '(X)}$ чьи объекты ${ displaystyle {B_ {j} } _ {j in J}}$. С ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ контравариантно, определим ${ Displaystyle { mathcal {F}} '(U)}$ быть предел из ${ displaystyle {{ mathcal {F}} (B) } _ {j in J}}$ относительно ограничительных отображений. (Здесь мы должны предположить, что этот предел существует в ${ displaystyle C}$.) Если ${ displaystyle U}$ - базовое открытое множество, то ${ displaystyle U}$ является конечным объектом указанной выше подкатегории ${ Displaystyle { mathcal {O}} '(X)}$, и поэтому ${ Displaystyle { mathcal {F}} '(U) = { mathcal {F}} (U)}$. Следовательно, ${ displaystyle { mathcal {F}} '}$ расширяет ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ в предпучку на ${ displaystyle X}$. Можно проверить, что ${ displaystyle { mathcal {F}} '}$ является связкой, поскольку каждый элемент каждого открытого покрытия ${ displaystyle X}$ является объединением базисных элементов (по определению базиса), и каждое попарное пересечение элементов в открытом покрытии ${ displaystyle X}$ представляет собой объединение базисных элементов (опять же по определению базиса).

Логика C

Первые потребности теории пучков были связаны с пучками абелевы группы; так что принимая категорию ${ displaystyle C}$ как категория абелевых групп было только естественно. Например, в приложениях к геометрии комплексные многообразия и алгебраическая геометрия, идея пучок местные кольца центральный. Однако это не совсем то же самое; один говорит вместо локально окольцованное пространство, потому что неверно, за исключением банальных случаев, что такой пучок является функтором в категория местных колец. Это стебли пучка, которые являются локальными кольцами, а не коллекциями разделы (которые кольца, но в целом не близки к местный). Мы можем думать о локально окольцованном пространстве ${ displaystyle X}$ как параметризованное семейство локальных колец, в зависимости от ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle X}$.

Более внимательное обсуждение здесь развеивает любую загадку. Можно свободно говорить о связке абелевых групп или колец, потому что это алгебраические структуры (определяется, если кто-то настаивает, явным подпись ). Любая категория ${ displaystyle C}$ имея конечные продукты поддерживает идею групповой объект, который некоторые предпочитают просто называть группой в ${ displaystyle C}$. В случае такой чисто алгебраической структуры мы можем говорить либо пучка, имеющего значения в категории абелевых групп, или абелева группа в категории пучков множеств; это действительно не имеет значения.

В случае с локальным кольцом это имеет значение. На базовом уровне мы должны использовать второй стиль определения, чтобы описать, что означает локальное кольцо в категории. Это логичный вопрос: аксиомы для локального кольца требуют использования экзистенциальная количественная оценка, в таком виде, что для любого ${ displaystyle r}$ в ринге один из ${ displaystyle r}$ и ${ displaystyle 1-r}$ является обратимый. Это позволяет указать, каким должно быть «локальное кольцо в категории» в случае, если категория поддерживает достаточную структуру.

Связка

Чтобы повернуть данный предпучок ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ в пучок ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$, есть стандартное устройство под названием связка или же сгибание. Грубая интуиция того, что нужно делать, по крайней мере, для предварительного пучка наборов, состоит в том, чтобы ввести отношение эквивалентности, которое делает эквивалентные данные, предоставляемые разными покрытиями на перекрытиях, путем уточнения покрытий. Поэтому один из подходов - перейти к стебли и восстановить пространство связки из лучший из возможных пучок ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ произведено из ${ displaystyle { mathcal {P}}}$.

Такое использование языка настоятельно предполагает, что мы имеем дело с присоединенные функторы. Поэтому имеет смысл заметить, что пучки на ${ displaystyle X}$ сформировать полная подкатегория предварительных пучков на ${ displaystyle X}$. Здесь подразумевается утверждение, что морфизм пучков не более чем естественная трансформация пучков, рассматриваемых как функторы. Таким образом, мы получаем абстрактную характеристику пучковости как левый смежный к включению. В некоторых приложениях, естественно, требуется описание.

Говоря более абстрактным языком, связки на ${ displaystyle X}$ сформировать отражающая подкатегория предварительных пучков (Mac Lane–Moerdijk Пучки в геометрии и логике п. 86). В теория топоса, для Топология Ловера-Тирни и его пучки, есть аналогичный результат (там же, с. 227).

Другие аксиомы склеивания

Аксиома склейки теории пучков довольно общая. Можно отметить, что Аксиома Майера – Виеториса из теория гомотопии, например, это частный случай.

Смотрите также

• Схемы склеивания

Примечания

Рекомендации

• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 4. Дои:10.1007 / bf02684778. МИСТЕР  0217083.