Гомологии Хохшильда - Hochschild homology
В математика, Гомологии Хохшильда (и когомологии) это теория гомологии для ассоциативный алгебры над кольца. Существует также теория гомологии Хохшильда некоторых функторы. Когомологии Хохшильда были введены Герхард Хохшильд (1945 ) для алгебр над поле, и распространен на алгебры над более общими кольцами посредством Анри Картан и Сэмюэл Эйленберг (1956 ).
Определение гомологий Хохшильда алгебр
Позволять k быть полем, А ан ассоциативный k-алгебра, и M ан А-бимодуль. Обертывающая алгебра А тензорное произведение из А с этими противоположная алгебра. Бимодули над А по существу такие же, как модули над обертывающей алгеброй А, так в частности А и M можно рассматривать как Ае-модули. Картан и Эйленберг (1956) определила группу гомологий и когомологий Хохшильда А с коэффициентами в M с точки зрения Функтор Tor и Функтор Ext от
Комплекс Хохшильда
Позволять k быть кольцом, А ан ассоциативный k-алгебра это проективный k-модуль и M ан А-бимодуль. Мы напишем для п-сложить тензорное произведение из А над k. В цепной комплекс который порождает гомологии Хохшильда, задается формулой
с граничным оператором определяется
где в А для всех и . Если мы позволим
тогда , так это цепной комплекс называется Комплекс Хохшильда, а его гомология Гомологии Хохшильда из А с коэффициентами в M.
Замечание
Карты находятся карты лица делая семью из модули а симплициальный объект в категория из k-модули, т.е. функтор ∆о → k-mod, где Δ - категория симплекс и k-mod - это категория k-модули. Здесь Δо это противоположная категория из Δ. В карты вырождения определены
Гомологии Хохшильда - это гомологии этого симплициального модуля.
Гомологии Хохшильда функторов
В симплициальный круг симплициальный объект в категории конечных отмеченных множеств, т.е. функтор Таким образом, если F является функтором , мы получим симплициальный модуль, составив F с участием .
Гомологиями этого симплициального модуля является Гомологии Хохшильда функтора F. Приведенное выше определение гомологий Хохшильда коммутативных алгебр является частным случаем, когда F это Loday функтор.
Loday функтор
А скелет для категории конечных отмеченных множеств задаются объектами
где 0 - базовая точка, а морфизмы являются картами множества, сохраняющими базовую точку. Позволять А коммутативная k-алгебра и M быть симметричным А-бимодуль[требуется дальнейшее объяснение ]. Функтор Лодея дается на объектах в от
Морфизм
отправляется на морфизм данный
где
Другое описание гомологий Хохшильда алгебр
Гомологии Хохшильда коммутативной алгебры А с коэффициентами в симметричной А-бимодуль M - гомологии, ассоциированные с композицией
и это определение согласуется с приведенным выше.
Топологические гомологии Хохшильда
Вышеупомянутая конструкция комплекса Хохшильда может быть адаптирована к более общим ситуациям, а именно путем замены категории (комплексов) k-модули ∞-категория (с тензорным произведением) C, и А ассоциативной алгеброй в этой категории. Применяя это к категории C = Sp из спектры, и А будучи Спектр Эйленберга – Маклейна связано с обычным кольцом р дает топологические гомологии Хохшильда, обозначается THH (р). (Нетопологические) гомологии Хохшильда, введенные выше, могут быть переинтерпретированы в этом направлении, взяв за C то производная категория из -модули (как ∞-категория).
Замена тензорных произведений на сферический спектр тензорными произведениями над (или спектр Эйленберга – Маклейна ) приводит к естественной карте сравнения . Он индуцирует изоморфизм гомотопических групп в степенях 0, 1 и 2. В общем, однако, они разные, и THH имеет тенденцию давать более простые группы, чем HH. Например,
- кольцо многочленов (с Икс степени 2) по сравнению с кольцом разделенные полномочия в одной переменной.
Ларс Хессельхольт (2016 ) показал, что Дзета-функция Хассе – Вейля гладкого правильного разнообразия над можно выразить с помощью регуляризованные детерминанты с топологическими гомологиями Хохшильда.
Смотрите также
использованная литература
- Картан, Анри; Эйленберг, Самуэль (1956), Гомологическая алгебра, Принстонская математическая серия, 19, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04991-5, Г-Н 0077480
- Говоров, В.Е .; Михалев, А. (2001) [1994], «Когомологии алгебр», Энциклопедия математики, EMS Press
- Хессельхольт, Ларс (2016), Топологические гомологии Хохшильда и дзета-функция Хассе-Вейля, arXiv:1602.01980, Bibcode:2016arXiv160201980H
- Хохшильд, Герхард (1945), "О группах когомологий ассоциативной алгебры", Анналы математики, Вторая серия, 46: 58–67, Дои:10.2307/1969145, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969145, Г-Н 0011076
- Жан-Луи Лоде, Циклические гомологии, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften Vol. 301, Springer (1998) ISBN 3-540-63074-0
- Ричард С. Пирс, Ассоциативные алгебры, Тексты для выпускников по математике (88), Springer, 1982.
- Пирашвили, Теймураз (2000). "Разложение Ходжа для гомологий Хохшильда более высокого порядка". Научные Анналы Высшей Нормальной Школы (Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure). 33 (2): 151–179. Дои:10.1016 / S0012-9593 (00) 00107-5.
внешние ссылки
- Дилан Г.Л. Аллегретти, Дифференциальные формы на некоммутативных пространствах.. Элементарное введение в некоммутативная геометрия который использует гомологии Хохшильда для обобщения дифференциальных форм).
- Когомологии Хохшильда в nLab