Гомологии Хохшильда - Hochschild homology

В математика, Гомологии Хохшильда (и когомологии) это теория гомологии для ассоциативный алгебры над кольца. Существует также теория гомологии Хохшильда некоторых функторы. Когомологии Хохшильда были введены Герхард Хохшильд  (1945 ) для алгебр над поле, и распространен на алгебры над более общими кольцами посредством Анри Картан и Сэмюэл Эйленберг  (1956 ).

Определение гомологий Хохшильда алгебр

Позволять k быть полем, А ан ассоциативный k-алгебра, и M ан А-бимодуль. Обертывающая алгебра А тензорное произведение из А с этими противоположная алгебра. Бимодули над А по существу такие же, как модули над обертывающей алгеброй А, так в частности А и M можно рассматривать как Ае-модули. Картан и Эйленберг (1956) определила группу гомологий и когомологий Хохшильда А с коэффициентами в M с точки зрения Функтор Tor и Функтор Ext от

Комплекс Хохшильда

Позволять k быть кольцом, А ан ассоциативный k-алгебра это проективный k-модуль и M ан А-бимодуль. Мы напишем для п-сложить тензорное произведение из А над k. В цепной комплекс который порождает гомологии Хохшильда, задается формулой

с граничным оператором определяется

где в А для всех и . Если мы позволим

тогда , так это цепной комплекс называется Комплекс Хохшильда, а его гомология Гомологии Хохшильда из А с коэффициентами в M.

Замечание

Карты находятся карты лица делая семью из модули а симплициальный объект в категория из k-модули, т.е. функтор ∆оk-mod, где Δ - категория симплекс и k-mod - это категория k-модули. Здесь Δо это противоположная категория из Δ. В карты вырождения определены

Гомологии Хохшильда - это гомологии этого симплициального модуля.

Гомологии Хохшильда функторов

В симплициальный круг симплициальный объект в категории конечных отмеченных множеств, т.е. функтор Таким образом, если F является функтором , мы получим симплициальный модуль, составив F с участием .

Гомологиями этого симплициального модуля является Гомологии Хохшильда функтора F. Приведенное выше определение гомологий Хохшильда коммутативных алгебр является частным случаем, когда F это Loday функтор.

Loday функтор

А скелет для категории конечных отмеченных множеств задаются объектами

где 0 - базовая точка, а морфизмы являются картами множества, сохраняющими базовую точку. Позволять А коммутативная k-алгебра и M быть симметричным А-бимодуль[требуется дальнейшее объяснение ]. Функтор Лодея дается на объектах в от

Морфизм

отправляется на морфизм данный

где

Другое описание гомологий Хохшильда алгебр

Гомологии Хохшильда коммутативной алгебры А с коэффициентами в симметричной А-бимодуль M - гомологии, ассоциированные с композицией

и это определение согласуется с приведенным выше.

Топологические гомологии Хохшильда

Вышеупомянутая конструкция комплекса Хохшильда может быть адаптирована к более общим ситуациям, а именно путем замены категории (комплексов) k-модули ∞-категория (с тензорным произведением) C, и А ассоциативной алгеброй в этой категории. Применяя это к категории C = Sp из спектры, и А будучи Спектр Эйленберга – Маклейна связано с обычным кольцом р дает топологические гомологии Хохшильда, обозначается THH (р). (Нетопологические) гомологии Хохшильда, введенные выше, могут быть переинтерпретированы в этом направлении, взяв за C то производная категория из -модули (как ∞-категория).

Замена тензорных произведений на сферический спектр тензорными произведениями над (или спектр Эйленберга – Маклейна ) приводит к естественной карте сравнения . Он индуцирует изоморфизм гомотопических групп в степенях 0, 1 и 2. В общем, однако, они разные, и THH имеет тенденцию давать более простые группы, чем HH. Например,

- кольцо многочленов (с Икс степени 2) по сравнению с кольцом разделенные полномочия в одной переменной.

Ларс Хессельхольт  (2016 ) показал, что Дзета-функция Хассе – Вейля гладкого правильного разнообразия над можно выразить с помощью регуляризованные детерминанты с топологическими гомологиями Хохшильда.

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки