Гомотопическая категория - Homotopy category

В математика, то гомотопическая категория это категория построен из категории топологические пространства который в некотором смысле определяет два пространства одинаковой формы. Эта фраза фактически используется для двух разных (но связанных) категорий, как обсуждается ниже.

В более общем смысле, вместо того, чтобы начинать с категории топологических пространств, можно начинать с любого категория модели и определим ассоциированную с ней гомотопическую категорию с помощью конструкции, введенной Quillen в 1967 году. Таким образом, теория гомотопии может применяться ко многим другим категориям в геометрии и алгебре.

Категория наивных гомотопий

В категория топологических пространств верхний имеет объекты топологические пространства и морфизмы то непрерывные карты между ними. Старое определение гомотопической категории hTop, называется категория наивной гомотопии[1] для наглядности в этой статье используются те же объекты, а морфизм - это гомотопический класс непрерывных отображений. То есть две непрерывные карты ж: Икс → Y считаются одинаковыми в категории наивных гомотопий, если одно можно непрерывно деформировать в другое. Существует функтор от верхний к hTop который отправляет пространства себе и морфизмы в их гомотопические классы. Карта ж: Икс → Y называется гомотопическая эквивалентность если он станет изоморфизм в категории наивных гомотопий.[2]

Пример: круг S1, то самолет р2 минус происхождение, а Лента Мебиуса все гомотопически эквивалентны, хотя эти топологические пространства не являются гомеоморфный.

Обозначение [Икс,Y] часто используется для набора морфизмов из пространства Икс в космос Y в категории наивных гомотопий (но она также используется для связанных категорий, обсуждаемых ниже).

Гомотопическая категория по Квиллену

Quillen (1967) подчеркнул другую категорию, которая еще больше упрощает категорию топологических пространств. Теоретикам гомотопии время от времени приходится работать с обеими категориями, но все согласны с тем, что версия Квиллена более важна, и поэтому ее часто называют просто «гомотопической категорией».[3]

Сначала определяется слабая гомотопическая эквивалентность: непрерывное отображение называется слабой гомотопической эквивалентностью, если оно индуцирует биекция на наборах компоненты пути и биекция на гомотопические группы с произвольными базовыми точками. Тогда (правда) гомотопическая категория определяется локализация категория топологических пространств относительно слабых гомотопических эквивалентностей. То есть объекты остаются топологическими пространствами, но для каждой слабой гомотопической эквивалентности добавляется обратный морфизм. Это приводит к тому, что непрерывное отображение становится изоморфизмом в гомотопической категории тогда и только тогда, когда оно является слабой гомотопической эквивалентностью. Существуют очевидные функторы из категории топологических пространств в наивную гомотопическую категорию (как определено выше), а оттуда в гомотопическую категорию.

Результаты J.H.C. Уайтхед, особенно Теорема Уайтхеда и существование CW-приближений,[4] дать более точное описание гомотопической категории. А именно, гомотопическая категория эквивалент к полная подкатегория наивной гомотопической категории, состоящей из Комплексы CW. В этом отношении гомотопическая категория снимает большую часть сложности с категорией топологических пространств.

Пример: пусть Икс - множество натуральных чисел {0, 1, 2, ...} и пусть Y - множество {0} ∪ {1, 1/2, 1/3, ...}, оба с топология подпространства от реальная линия. Определить ж: Икс → Y отображая 0 в 0 и п к 1 /п для положительных целых чисел п. потом ж непрерывна и фактически является слабой гомотопической эквивалентностью, но не является гомотопической эквивалентностью. Таким образом, наивная гомотопическая категория различает такие пространства, как Икс и Y, тогда как они становятся изоморфными в гомотопической категории.

Для топологических пространств Икс и Y, обозначение [Икс,Y] может использоваться для множества морфизмов из Икс к Y либо в наивной гомотопической категории, либо в истинной гомотопической категории, в зависимости от контекста.

Пространства Эйленберга – Маклейна

Одна из причин появления этих категорий состоит в том, что многие инварианты топологических пространств определены на наивной гомотопической категории или даже на истинной гомотопической категории. Например, для слабой гомотопической эквивалентности топологических пространств ж: Икс → Y, ассоциированный гомоморфизм ж*: ЧАСя(Икс,Z) → ЧАСя(Y,Z) из особые гомологии группы является изоморфизмом для всех натуральных чисел я.[5] Отсюда следует, что для каждого натурального числа я, особые гомологии ЧАСя можно рассматривать как функтор из гомотопической категории в категорию абелевых групп. В частности, два гомотопических отображения из Икс к Y вызвать такой же гомоморфизм на особых группах гомологий.

Сингулярные когомологии обладает еще лучшим свойством: это представимый функтор о гомотопической категории. То есть для каждого абелева группа А и натуральное число я, есть комплекс CW K(А,я) назвал Пространство Эйленберга – Маклейна и класс когомологий ты в ЧАСя(K(А,я),А) такая, что полученная функция

(давая, потянув ты вернуться к Икс) биективен для всех топологических пространств Икс.[6] Здесь [Икс,Y] следует понимать как набор отображений в истинной гомотопической категории, если нужно, чтобы это утверждение выполнялось для всех топологических пространств. Икс. Это верно в наивной гомотопической категории, если Икс представляет собой комплекс CW.

Остроконечная версия

Один из полезных вариантов - это гомотопическая категория заостренные места. Заостренное пространство означает пару (Икс,Икс) с участием Икс топологическое пространство и Икс точка в Икс, называемая базовой точкой. Категория верхний* заостренных пространств имеет объекты заостренные пространства, а морфизм ж: Икс → Y это непрерывная карта, которая берет базовую точку Икс к базовой точке Y. Наивная гомотопическая категория точечных пространств имеет те же объекты, а морфизмы - это гомотопические классы точечных отображений (что означает, что базовая точка остается фиксированной на протяжении всей гомотопии). Наконец, «истинная» гомотопическая категория отмеченных пространств получается из категории верхний* обращением отмеченных отображений, которые являются слабыми гомотопическими эквивалентностями.

Для заостренных пространств Икс и Y, [Икс,Y] может обозначать множество морфизмов из Икс к Y в любой версии гомотопической категории точечных пространств, в зависимости от контекста.

Несколько основных конструкций в теории гомотопий естественно определяются на категории отмеченных пространств (или на связанной гомотопической категории), а не на категории пространств. Например, подвеска ΣИкс и пространство петли ΩИкс определены для точечного пространства Икс и создайте еще одно заостренное пространство. Так же разбить продукт Икс ∧ Y является важным функтором отмеченных пространств Икс и Y. Например, приостановка может быть определена как

Функторы подвеса и пространства петель образуют присоединенная пара функторов, в том смысле, что существует естественный изоморфизм

для всех пространств Икс и Ю.

Бетонные категории

В то время как объекты гомотопической категории являются множествами (с дополнительной структурой), морфизмы - это не фактические функции между ними, а скорее классы функций (в категории наивных гомотопий) или «зигзаги» функций (в категории гомотопий). Действительно, Фрейд показали, что ни наивная гомотопическая категория точечных пространств, ни гомотопическая категория точечных пространств не являются конкретная категория. То есть нет верный функтор из этих категорий в категория наборов.[7]

Категории моделей

Основная статья: Категория модели

Есть более общее понятие: гомотопическая категория модельной категории. Категория модели - это категория C с тремя выделенными типами морфизмов, называемыми расслоения, кофибрации и слабые эквиваленты, удовлетворяющий нескольким аксиомам. Соответствующая гомотопическая категория определяется путем локализации C относительно слабых эквивалентностей.

Эта конструкция, примененная к модельной категории топологических пространств с ее стандартной модельной структурой (иногда называемой модельной структурой Квиллена), дает гомотопическую категорию, определенную выше. Многие другие модельные структуры были рассмотрены в категории топологических пространств в зависимости от того, насколько нужно упростить категорию. Например, в структуре модели Гуревича на топологических пространствах ассоциированной гомотопической категорией является наивная гомотопическая категория, определенная выше.[8]

Одна и та же гомотопическая категория может возникнуть из множества различных категорий моделей. Важным примером является структура стандартной модели на симплициальные множества: ассоциированная гомотопическая категория эквивалент в гомотопическую категорию топологических пространств, хотя симплициальные множества - это комбинаторно определенные объекты, лишенные какой-либо топологии. Некоторые топологи предпочитают вместо этого работать с компактно генерируемый слабые хаусдорфовы пространства; опять же, со стандартной структурой модели, соответствующая гомотопическая категория эквивалентна гомотопической категории всех топологических пространств.[9]

Для более алгебраического примера категории модели, пусть А быть Абелева категория Гротендика, например, категория модули через кольцо или категория снопы абелевых групп на топологическом пространстве. Тогда есть модельная структура по категории цепные комплексы объектов в А, где слабые эквивалентности квазиизоморфизмы.[10] Полученная гомотопическая категория называется производная категория D(А).

Наконец, стабильная гомотопическая категория определяется как гомотопическая категория, связанная с модельной структурой на категории спектры. Были рассмотрены различные категории спектров, но все принятые определения дают одну и ту же гомотопическую категорию.

Примечания

  1. ^ Мэй и Понто (2012), стр. 395.
  2. ^ Хэтчер (2002), стр. 3.
  3. ^ Мэй и Понто (2012), стр. Xxi – xxii.
  4. ^ Хэтчер (2002), теорема 4.5 и предложение 4.13.
  5. ^ Хэтчер (2002), предложение 4.21.
  6. ^ Хэтчер (2002), теорема 4.57.
  7. ^ Фрейд (1970).
  8. ^ May & Ponto (2012), раздел 17.1.
  9. ^ Хови (1999), теоремы 2.4.23 и 2.4.25.
  10. ^ Беке (2000), предложение 3.13.

использованная литература