Слабая эквивалентность (теория гомотопии) - Википедия - Weak equivalence (homotopy theory)

В математика, а слабая эквивалентность это понятие от теория гомотопии это в некотором смысле идентифицирует объекты, имеющие одинаковую «форму». Это понятие формализовано в аксиоматический определение категория модели.

Категория модели - это категория с классами морфизмы называемые слабыми эквивалентностями, расслоения, и кофибрации, удовлетворяющий нескольким аксиомам. Связанный гомотопическая категория модельной категории имеет те же объекты, но морфизмы изменены, чтобы сделать слабые эквивалентности в изоморфизмы. Полезное наблюдение, что ассоциированная гомотопическая категория зависит только от слабых эквивалентностей, а не от расслоений и корасслоений.

Топологические пространства

Категории моделей были определены Quillen как аксиоматизация теории гомотопии, которая применяется к топологические пространства, но также и во многие другие категории в алгебра и геометрия. Примером, с которого началась тема, является категория топологических пространств с Расслоения Серра как расслоения и слабые гомотопические эквивалентности как слабые эквивалентности (кофибрации для этой модельной структуры можно описать как убирает относительных клеточных комплексов Икс ⊆ Y^[1]). По определению непрерывное отображение ж: Икс → Y пространств называется слабой гомотопической эквивалентностью, если индуцированная функция на множествах компоненты пути

{ displaystyle f _ {*} двоеточие pi _ {0} (X) to pi _ {0} (Y)}

является биективный, и для каждой точки Икс в Икс и каждый п ≥ 1 индуцированная гомоморфизм

{ displaystyle f _ {*} двоеточие pi _ {n} (X, x) to pi _ {n} (Y, f (x))}

на гомотопические группы биективен. (За Икс и Y соединенный путём, первое условие автоматическое, а второе условие достаточно сформулировать для одной точки Икс в Икс.)

За односвязный топологические пространства Икс и Y, карта ж: Икс → Y является слабой гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда индуцированный гомоморфизм ж_*: ЧАС_п(Икс,Z) → ЧАС_п(Y,Z) на особые гомологии группы биективны для всех п.^[2] Аналогичным образом для односвязных пространств Икс и Y, карта ж: Икс → Y является слабой гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда гомоморфизм обратного образа ж*: ЧАС^п(Y,Z) → ЧАС^п(Икс,Z) на особые когомологии биективен для всех п.^[3]

Пример: пусть Икс - множество натуральных чисел {0, 1, 2, ...} и пусть Y - множество {0} ∪ {1, 1/2, 1/3, ...}, оба с топология подпространства от реальная линия. Определять ж: Икс → Y отображая 0 в 0 и п к 1 /п для положительных целых чисел п. потом ж непрерывна и фактически является слабой гомотопической эквивалентностью, но не является гомотопическая эквивалентность.

Гомотопическая категория топологических пространств (полученная путем обращения слабых гомотопических эквивалентностей) значительно упрощает категорию топологических пространств. Действительно, эта гомотопическая категория эквивалент в категорию Комплексы CW с морфизмами гомотопические классы непрерывных отображений.

Также были рассмотрены многие другие модельные структуры в категории топологических пространств. Например, в структуре модели Стрёма на топологических пространствах расслоения являются Расслоения Гуревича а слабые эквивалентности - это гомотопические эквивалентности.^[4]

Цепные комплексы

Некоторые другие важные категории моделей включают цепные комплексы. Позволять А быть Абелева категория Гротендика, например, категория модули через звенеть или категория снопы из абелевы группы на топологическом пространстве. Определите категорию C(А) с объектами комплексы Икс объектов в А,

{ displaystyle cdots to X_ {1} to X_ {0} to X _ {- 1} to cdots,}

и морфизирует цепные карты. (Это равносильно рассмотрению «коцепных комплексов» объектов А, где нумерация записывается как

{ Displaystyle cdots к X ^ {- 1} к X ^ {0} к X ^ {1} к cdots,}

просто определяя Икс^я = Икс_−я.)

Категория C(А) имеет модельную структуру, в которой кофибрации являются мономорфизмы а слабые эквиваленты - это квазиизоморфизмы.^[5] По определению цепное отображение ж: Икс → Y является квазиизоморфизмом, если индуцированный гомоморфизм

{ displaystyle f _ {*} двоеточие H_ {n} (X) to H_ {n} (Y)}

на гомология является изоморфизмом для всех целых чисел п. (Здесь ЧАС_п(Икс) является объектом А определяется как ядро из Икс_п → Икс_п−1 по модулю изображение из Икс_п+1 → Икс_п.) Полученная гомотопическая категория называется производная категория D(А).

Тривиальные расслоения и тривиальные корасслоения

В любой модельной категории расслоение, которое также является слабой эквивалентностью, называется расслоением. банальный (или же ациклический) расслоение. Кослоение, которое также является слабой эквивалентностью, называется банальный (или же ациклический) кофибрация.

Примечания

^ Хови (1999), определение 2.4.3.
^ Хэтчер (2002), теорема 4.32.
^ Существует ли теорема Уайтхеда для теории когомологий?
^ Стрём (1972).
^ Беке (2000), предложение 3.13.

Слабая эквивалентность (теория гомотопии) - Википедия - Weak equivalence (homotopy theory)

Содержание

Топологические пространства

Цепные комплексы

Тривиальные расслоения и тривиальные корасслоения

Примечания

Рекомендации