Конгломерат (математика) - Википедия - Conglomerate (mathematics)

В математика, в рамках единой Вселенной для теория категорий,^[1][2] период, термин "конгломерат" применяется к произвольным множествам как противопоставление выделенным множествам, которые являются элементами Вселенная Гротендика.^{[3][4][5][6][7][8]}

Определение

Самые популярные аксиоматические теории множеств, Теория множеств Цермело – Френкеля (ZFC), теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя (NBG) и Теория множеств Морса – Келли (МК), признайся неконсервативные расширения возникающие после добавления дополнительной аксиомы существования Вселенная Гротендика ${ displaystyle U}$. Примером такого расширения является Теория множеств Тарского – Гротендика, где постулируется бесконечная иерархия вселенных Гротендика.

Концепция конгломерата была создана для борьбы с "коллекции" из классы, что желательно в теории категорий, чтобы каждый класс можно было рассматривать как элемент «более общей коллекции», конгломерата. Технически это организовано изменениями в терминологии: когда Вселенная Гротендика ${ displaystyle U}$ добавляется к выбранной аксиоматической теории множеств (ZFC /NBG /МК ) считается удобным^[9][10]

• применять термин «набор» только к элементам ${ displaystyle U}$,
• применять термин "класс" только к подмножествам ${ displaystyle U}$,
• применять термин «конгломерат» ко всем наборам (не обязательным элементам или подмножествам ${ displaystyle U}$).

В результате в этой терминологии каждый набор - это класс, а каждый класс - это конгломерат.

Следствия

Формально эта конструкция описывает модель исходной аксиоматической теории множеств (ZFC /NBG /МК ) в расширении этой теории ("ZFC / NBG / MK +Вселенная Гротендика ") с ${ displaystyle U}$ как вселенная.^{[1]:195[2]:23}

Если исходная аксиоматическая теория множеств допускает идею правильный класс (т.е. объект, который не может быть элементом какого-либо другого объекта, например, класс ${ displaystyle Set}$ всех множеств в NBG и MK), то эти объекты (собственные классы) исключаются из рассмотрения в новой теории («NBG / MK + вселенная Гротендика»). Однако (не считая возможных проблем, вызванных дополнительной аксиомой существования ${ displaystyle U}$) это в некотором смысле не приводит к потере информации об объектах старой теории (NBG или MK), поскольку ее представление в качестве модели в новой теории («NBG / MK + вселенная Гротендика») означает, что то, что может быть доказано в NBG / MK о его обычных объектах, называемых классами (включая собственные классы), можно также доказать в "NBG / MK + Grothendieck Universe" о его классах (т.е. о подмножествах ${ displaystyle U}$, включая подмножества, не являющиеся элементами ${ displaystyle U}$, являющиеся аналогами собственных классов из NBG / MK). В то же время новая теория не эквивалентна исходной, поскольку некоторые дополнительные утверждения о классах могут быть доказаны в «вселенной NBG / MK + Grothendieck», но не в NBG / MK.

Терминология

Изменение терминологии иногда называют «соглашением конгломерата».^[7]:6Первый шаг, сделанный Мак Лейном,^{[1]:195[2]:23} применять термин «класс» только к подмножествам ${ displaystyle U.}$ Мак Лейн не переопределяет существующие теоретико-множественные термины; скорее, он работает в теории множеств без классов (ZFC, а не NBG / MK), называет членов ${ displaystyle U}$ «малые множества» и утверждает, что малые множества и классы удовлетворяют аксиомам NBG. Ему не нужны «конгломераты», поскольку множества не обязательно должны быть маленькими.

Термин «конгломерат» таится в обзорах 1970-х и 1980-х годов. Математические обзоры^[11] без определения, объяснения или ссылки, а иногда и в документах.^[12]

Пока соглашение о конгломерате действует, его следует использовать исключительно во избежание двусмысленности; то есть конгломераты не следует называть «наборами» в обычном смысле ZFC.^[7]:6

Рекомендации