Локализация Боусфилда - Bousfield localization

В теория категорий, раздел математики, a (слева) Локализация Боусфилда из категория модели заменяет модельную структуру другой модельной структурой с такими же кофибрациями, но с более слабыми эквивалентностями.

Локализация Bousfield названа в честь Олдридж Боусфилд, которые впервые применили эту технику в контексте локализации топологические пространства и спектры.^[1]^[2]

Структура категорий модели локализации Боусфилда

Учитывая учебный класс C морфизмов в категория модели M Левая локализация Боусфилда - это новая структура модели в той же категории, что и раньше. Его эквиваленты, кофибрации и расслоения соответственно являются

то C-локальные эквиваленты
оригинальные кофибрации M

и (обязательно, поскольку кофибрации и слабые эквивалентности определяют расслоения)

карты, имеющие право подъема собственности относительно кофибраций в M которые также C-локальные эквиваленты.

В этом определении C-локальная эквивалентность - это карта ${ displaystyle f двоеточие от X до Y}$ что, грубо говоря, не имеет значения при отображении на C-локальный объект. Точнее, ${ displaystyle f ^ {*} двоеточие operatorname {map} (Y, W) to operatorname {map} (X, W)}$ требуется, чтобы была слабая эквивалентность ( симплициальные множества ) для любого C-локальный объект W. Объект W называется C-local, если волокнистый (в M) и

{ displaystyle s ^ {*} двоеточие operatorname {map} (B, W) to operatorname {map} (A, W)}

является слабой эквивалентностью для все карты ${ displaystyle f двоеточие от A до B}$ в C. Обозначение ${ displaystyle operatorname {map} (-, -)}$ для общей категории модели (не обязательно обогащенный над симплициальными множествами) некоторое симплициальное множество, множество компоненты пути согласуется с морфизмами в гомотопическая категория из M:

{ displaystyle pi _ {0} ( operatorname {map} (X, Y)) = operatorname {Hom} _ {Ho (M)} (X, Y).}

Если M является категорией симплициальной модели (такой как, скажем, симплициальные множества или топологические пространства), то "отображение" выше может быть принято как производное симплициальное пространство отображения M.

Это описание не делает никаких заявлений о существовании данной модельной структуры, о чем см. Ниже.

Кроме того, существует понятие правая локализация Боусфилда, определение которого получается заменой корасслоений расслоениями (и изменением направления всех стрелок на противоположное).

Существование

Левая структура модели локализации Боусфилда, как описано выше, как известно, существует в различных ситуациях при условии, что C это набор:

M собственно слева (т.е. выталкивание слабой эквивалентности вдоль корасслоения снова является слабой эквивалентностью) и комбинаторно
M остается собственно и сотовый.

Комбинаторность и клеточность модельной категории гарантируют, в частности, жесткий контроль над кофибрациями M.

Аналогично, правая локализация Боусфилда существует, если M правильно собственно, клеточно или комбинаторно, а C - множество.

Универсальная собственность

В локализация ${ displaystyle C [W ^ {- 1}]}$ категории (обыкновенной) C по отношению к классу W морфизмов удовлетворяет следующему универсальному свойству:

Существует функтор ${ displaystyle C to C [W ^ {- 1}]}$ который отправляет все морфизмы в W к изоморфизмам.
Любой функтор ${ displaystyle C to D}$ что посылает W к изоморфизмам в D множители однозначно по сравнению с ранее упомянутым функтором.

Локализация Боусфилда является подходящим аналогичным понятием для модельных категорий, имея в виду, что изоморфизмы в обычной теории категорий заменяются слабыми эквивалентностями. То есть (слева) локализация Боусфилда ${ displaystyle L_ {C} M}$ таково, что

Существует покинул Квиллен функтор ${ displaystyle M to L_ {C} M}$ чей левый производный функтор посылает все морфизмы в C до слабых эквивалентностей.
Любой левый функтор Квиллена ${ displaystyle M to N}$ чей левый производный функтор посылает C к факторам слабой эквивалентности однозначно через ${ displaystyle M to L_ {C} M}$ .

Примеры

Локализация и пополнение спектра

Локализация и пополнение спектра по простому числу п оба являются примерами локализации Боусфилда, в результате местный спектр. Например, локализация сферический спектр S в п, получаем местная сфера ${ displaystyle S _ {(p)}}$ .

Устойчивая модельная структура на спектрах

В стабильная гомотопическая категория - гомотопическая категория (в смысле модельных категорий) спектров, наделенная устойчивой модельной структурой. Устойчивая модельная структура получается как левая Боусфилдская локализация уровневой (или проективной) модельной структуры на спектрах, слабые эквивалентности (расслоения) которых - это те отображения, которые являются слабыми эквивалентностями (расслоениями соответственно) на всех уровнях.^[3]

Структура модели Морита по категориям dg

Структура модели Мориты на категории малых категорий dg - это локализация Боусфилда стандартной структуры модели (той, для которой слабые эквиваленты - квазиэквивалентности).

Смотрите также

Локализация топологического пространства

внешняя ссылка

Локализация Bousfield в nlab.
Дж. Лурье, Лекция 20 в теории хроматической гомотопии (252x).

[1] Олдридж Боусфилд, Локализация спектров по гомологиям, Топология том 18 (1979)

[2] Олдридж Боусфилд, Локализация пространств по гомологиям, Топология т. 14 (1975)

[3] Хови, Марк (2001). «Спектры и симметричные спектры в общих модельных категориях». Журнал чистой и прикладной алгебры. Раздел 3. 165 (1): 63–127. arXiv:математика / 0004051. Дои:10.1016 / s0022-4049 (00) 00172-9. МИСТЕР 1860878.CS1 maint: location (связь)

[1]

[2]

[3]