Кан-расслоение - Википедия - Kan fibration

В математике Кан комплексы и Расслоения Кана являются частью теории симплициальные множества. Расслоения Кана - это расслоения стандартного категория модели структуры на симплициальных множествах и поэтому имеют фундаментальное значение. Комплексы Кан - это волокнистые объекты в этой категории моделей. Название в честь Даниэль Кан.

Определения

Определение стандартного n-симплекса

Полосатый синий симплекс в области должен существовать, чтобы это отображение было расслоением Кана.

Для каждого п ≥ 0, напомним, что стандарт ${ displaystyle n}$-суплекс, ${ displaystyle Delta ^ {n}}$, - представимое симплициальное множество

${ displaystyle Delta ^ {n} (i) = mathrm {Hom} _ { mathbf { Delta}} ([i], [n])}$

Применяя геометрическая реализация функтор этого симплициального множества дает пространство, гомеоморфное топологический стандарт ${ displaystyle n}$-суплекс: выпуклое подпространство в ℝ^{п + 1} состоящий из всех точек ${ Displaystyle (т_ {0}, точки, т_ {п})}$ такие, что координаты неотрицательны и в сумме равны 1.

Определение рога

Для каждого k ≤ п, это подкомплекс ${ displaystyle Lambda _ {k} ^ {n}}$, то kрожок внутри ${ displaystyle Delta ^ {n}}$, соответствующий границе п-простой, с k-я грань удалена. Формально это можно определить по-разному, например, объединение изображений п карты ${ Displaystyle Delta ^ {n-1} rightarrow Delta ^ {n}}$ соответствует всем остальным граням ${ displaystyle Delta ^ {n}}$.^[1] Рога формы ${ displaystyle Lambda _ {k} ^ {2}}$ сидя внутри ${ displaystyle Delta ^ {2}}$ выглядит как черная буква V в верхней части соседнего изображения. Если ${ displaystyle X}$ является симплициальным множеством, то отображает

${ displaystyle s: Lambda _ {k} ^ {n} to X}$

соответствуют коллекциям ${ displaystyle n}$ ${ Displaystyle (п-1)}$-симплексы, удовлетворяющие условию совместимости, по одному на каждый ${ Displaystyle 0 Leq К Leq N-1}$. В явном виде это условие можно записать следующим образом. Написать ${ Displaystyle (п-1)}$-симплексы в виде списка ${ displaystyle (s_ {0}, dots, s_ {k-1}, s_ {k + 1}, dots, s_ {n})}$ и требовать, чтобы

${ Displaystyle d_ {я} s_ {j} = d_ {j-1} s_ {i} ,}$ для всех ${ displaystyle i$ с ${ displaystyle i, j neq k}$.^[2]

Эти условия выполняются для ${ Displaystyle (п-1)}$-просты ${ displaystyle Lambda _ {k} ^ {n}}$ сидя внутри ${ displaystyle Delta ^ {n}}$.

Определение расслоения Кана

Диаграмма подъема расслоения Кана

Карта симплициальных множеств ${ displaystyle f: X rightarrow Y}$ это Расслоение Кана если для любого ${ Displaystyle п geq 1}$ и ${ Displaystyle 0 Leq К Leq N}$, и для любых карт ${ displaystyle s: Lambda _ {k} ^ {n} rightarrow X}$ и ${ displaystyle y: Delta ^ {n} rightarrow Y ,}$ такой, что ${ Displaystyle f circ s = y circ i}$ (где ${ displaystyle i}$ это включение ${ displaystyle Lambda _ {k} ^ {n}}$ в ${ displaystyle Delta ^ {n}}$) существует отображение ${ displaystyle x: Delta ^ {n} rightarrow X}$ такой, что ${ displaystyle s = x circ i}$ и ${ displaystyle y = f circ x}$. Сформулированное таким образом определение: очень похожий к тому из расслоения в топология (смотрите также свойство гомотопического подъема ), отсюда и название «расслоение».

Технические примечания

Используя соответствие между ${ displaystyle n}$-симплексы симплициального множества ${ displaystyle X}$ и морфизмы ${ displaystyle Delta ^ {n} to X}$ (следствие Лемма Йонеды ), это определение можно записать в терминах симплексов. Изображение карты ${ displaystyle fs: Lambda _ {k} ^ {n} to Y}$ можно рассматривать как рог, как описано выше. Спрашивая, что ${ displaystyle fs}$ факторы через ${ displaystyle yi}$ соответствует требованию наличия ${ displaystyle n}$-симплекс в ${ displaystyle Y}$ чьи лица составляют рог из ${ displaystyle fs}$ (вместе с еще одним лицом). Тогда требуемая карта ${ displaystyle x: Delta ^ {n} to X}$ соответствует симплексу в ${ displaystyle X}$ чьи лица включают рог из ${ displaystyle s}$. На диаграмме справа показан пример в двух измерениях. Поскольку черная буква V на нижней диаграмме заполнена синим ${ displaystyle 2}$-просто, если черный V наверху соответствует ему, то полосатый синий ${ displaystyle 2}$-симплекс должен существовать вместе с пунктирно-синим ${ displaystyle 1}$-просто, отображение очевидным образом.^[3]

Комплексы Кана, определенные из расслоений Кана

Симплициальный набор ${ displaystyle X}$ называется Кан комплекс если карта из ${ Displaystyle X к {* }}$, одноточечное симплициальное множество, является расслоением Кана. в категория модели для симплициальных множеств, ${ Displaystyle {* }}$ является конечным объектом, поэтому комплекс Кана в точности совпадает с волокнистый объект. Эквивалентно это можно было бы сформулировать так: если бы каждая карта ${ displaystyle alpha: Lambda _ {k} ^ {n} to X}$ из рожка имеет продолжение на ${ displaystyle Delta ^ {n}}$, то есть есть лифт ${ displaystyle { tilde { alpha}}: Delta ^ {n} to X}$ такой, что

${ Displaystyle альфа = { тильда { альфа}} circ iota}$

для карты включения ${ displaystyle iota: Lambda _ {k} ^ {n} hookrightarrow Delta ^ {n}}$, тогда ${ displaystyle X}$ является комплексом Кана. И наоборот, каждый комплекс Кана обладает этим свойством, следовательно, он дает простое техническое условие для комплекса Кана.

Примеры

Симплициальные множества из особых гомологий

Важный пример - построение особые симплексы используется для определения особые гомологии, называется сингулярный функтор^[4]стр.7

${ displaystyle S: { text {Top}} to s { text {Sets}}}$.

Учитывая пространство ${ displaystyle X}$, определим особую ${ displaystyle n}$-симплекс X быть непрерывным отображением из стандартной топологической ${ displaystyle n}$-симплекс (как описано выше) к ${ displaystyle X}$,

${ displaystyle f: Delta _ {n} to X}$

Взяв набор этих отображений для всех неотрицательных ${ displaystyle n}$ дает оценочный набор,

${ Displaystyle S (X) = coprod _ {n} S_ {n} (X)}$.

Чтобы превратить это в симплициальный набор, определите карты лиц ${ displaystyle d_ {i}: S_ {n} (X) to S_ {n-1} (X)}$ к

${ displaystyle (d_ {i} f) (t_ {0}, dots, t_ {n-1}) = f (t_ {0}, dots, t_ {i-1}, 0, t_ {i} , точки, t_ {n-1}) ,}$

и карты вырождения ${ displaystyle s_ {i}: S_ {n} (X) to S_ {n + 1} (X)}$ к

${ displaystyle (s_ {i} f) (t_ {0}, dots, t_ {n + 1}) = f (t_ {0}, dots, t_ {i-1}, t_ {i} + t_ {i + 1}, t_ {i + 2}, dots, t_ {n + 1}) ,}$.

Поскольку объединение любых ${ displaystyle n + 1}$ лица ${ displaystyle Delta _ {n + 1}}$ сильный деформационный отвод из ${ displaystyle Delta _ {n + 1}}$, любую непрерывную функцию, заданную на этих гранях, можно продолжить до ${ displaystyle Delta _ {n + 1}}$, что показывает, что ${ Displaystyle S (X)}$ является комплексом Кана.^[5]

Связь с геометрической реализацией

Стоит отметить, что сингулярный функтор правый смежный к Функтор геометрической реализации

${ displaystyle | cdot |: s { text {Sets}} to { text {Top}}}$

давая изоморфизм

${ displaystyle { text {Hom}} _ { text {Top}} (| X |, Y) cong { text {Hom}} _ {s { text {Sets}}} (X, S ( Y))}$

Симплициальные множества, лежащие в основе симплициальных групп

Можно показать, что симплициальное множество, лежащее в основе симплициальная группа всегда волокит^[4]стр.12. В частности, для симплициальная абелева группа, его геометрическая реализация гомотопически эквивалентна произведению пространств Эйленберга-Маклейна

${ Displaystyle prod _ {я in I} K (A_ {i}, n_ {i})}$

В частности, это включает классификация пространств. Итак, пространства ${ Displaystyle S ^ {1} simeq К ( mathbb {Z}, 1)}$, ${ Displaystyle mathbb {CP} ^ { infty} simeq К ( mathbb {Z}, 2)}$, и бесконечные линзовые пространства ${ Displaystyle L_ {q} ^ { infty} simeq К ( mathbb {Z} / q, 2)}$ соответствуют комплексам Кана некоторого симплициального множества. Фактически, это множество может быть явно построено с помощью Переписка Дольда – Кана цепного комплекса и взяв базовое симплициальное множество симплициальной абелевой группы.

Геометрические реализации малых группоидов

Другим важным источником примеров являются симплициальные множества, связанные с небольшим группоидом. ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$. Это определяется как геометрическая реализация симплициального множества ${ displaystyle [ Delta ^ {op}, { mathcal {G}}]}$ и обычно обозначается ${ displaystyle B { mathcal {G}}}$. Мы могли бы также заменить ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$ с бесконечным группоидом. Предполагается, что гомотопическая категория геометрических реализаций бесконечных группоидов эквивалентна гомотопической категории гомотопических типов. Это называется гипотезой гомотопии.

Не пример: стандартный n-симплекс

Получается стандарт ${ displaystyle n}$-просто ${ displaystyle Delta ^ {n}}$ не комплекс Кана^[6]стр.38. Конструкцию контрпримера в целом можно найти, посмотрев на низкоразмерный пример, скажем ${ displaystyle Delta ^ {1}}$. Взяв карту ${ displaystyle Lambda _ {0} ^ {2} to Delta ^ {1}}$ отправка

${ displaystyle { begin {matrix} [0,2] mapsto [0,0] & [0,1] mapsto [0,1] end {matrix}}}$

дает встречный пример, так как его нельзя распространить на карту ${ Displaystyle Delta ^ {2} to Delta ^ {1}}$ потому что карты должны сохранять порядок. Если бы была карта, пришлось бы прислать

${ Displaystyle { begin {выровнено} 0 mapsto 0 1 mapsto 1 2 mapsto 0 end {align}}}$

но это не карта симплициальных множеств.

Категориальные свойства

Симплициальное обогащение и функциональные комплексы

Для симплициальных множеств ${ displaystyle X, Y}$ существует ассоциированное симплициальное множество, называемое функциональный комплекс ${ displaystyle { textbf {Hom}} (X, Y)}$, где симплексы определены как

${ displaystyle { textbf {Hom}} _ {n} (X, Y) = { text {Hom}} _ {s { text {Sets}}} (X times Delta ^ {n}, Y )}$

а для порядковой карты ${ displaystyle theta: [m] to [n]}$ есть индуцированное отображение

${ displaystyle theta ^ {*}: { textbf {Hom}} (X, Y) _ {n} to { textbf {Hom}} (X, Y) _ {m}}$

(поскольку первый фактор Hom противоположен), определяемый отправкой карты ${ displaystyle f: X times Delta ^ {n} to Y}$ к составу

${ displaystyle X times Delta ^ {m} xrightarrow {1 times theta} X times Delta _ {n} xrightarrow {f} Y}$

Экспоненциальный закон

Этот комплекс имеет следующий экспоненциальный закон симплициальных множеств

${ displaystyle { text {ev}} _ {*}: { text {Hom}} _ {s { text {Sets}}} (K, { textbf {Hom}} (X, Y)) в { text {Hom}} _ {s { text {Sets}}} (X times K, Y)}$

который отправляет карту ${ displaystyle f: K to { textbf {Hom}} (X, Y)}$ на составную карту

${ displaystyle X times K xrightarrow {1 times g} X times { textbf {Hom}} (X, Y) xrightarrow {ev} Y}$

куда ${ Displaystyle ev (х, е) = е (х, iota _ {n})}$ за ${ displaystyle iota _ {n} in { text {Hom}} _ { Delta} ([n], [n])}$ поднял на n-симплекс ${ displaystyle Delta ^ {n}}$.

Расслоения Кана и обратные вызовы

Учитывая (кан) расслоение ${ displaystyle p: X to Y}$ и включение симплициальных множеств ${ displaystyle i: K hookrightarrow L}$, существует расслоение^{[4] стр.21}

${ displaystyle { textbf {Hom}} (L, X) xrightarrow {(i ^ {*}, p _ {*})} { textbf {Hom}} (K, X) times _ {{ textbf {Hom}} (K, Y)} { textbf {Hom}} (L, Y)}$

(где ${ displaystyle { textbf {Hom}}}$ находится в функциональном комплексе в категории симплициальных множеств), индуцированном коммутативной диаграммой

${ displaystyle { begin {matrix} { textbf {Hom}} (L, X) & xrightarrow {p _ {*}} & { textbf {Hom}} (L, Y) i ^ {*} downarrow && downarrow i ^ {*} { textbf {Hom}} (K, X) & xrightarrow {p _ {*}} & { textbf {Hom}} (K, Y) end {матрица }}}$

куда ${ Displaystyle я ^ {*}}$ это обратная карта, полученная с помощью предварительной композиции и ${ displaystyle p _ {*}}$ это карта продвижения вперед, заданная пост-композицией. В частности, из предыдущего расслоения следует ${ displaystyle p _ {*}: { textbf {Hom}} (L, X) to { textbf {Hom}} (L, Y)}$ и ${ displaystyle i ^ {*}: { textbf {Hom}} (L, Y) to { textbf {Hom}} (K, Y)}$ расслоения.

Приложения

Гомотопические группы комплексов Кана

В гомотопические группы фибрантного симплициального множества можно определить комбинаторно, используя рога, способом, который согласуется с гомотопическими группами топологического пространства, которое его реализует. Для комплекса Кана ${ displaystyle X}$ и вершина ${ displaystyle x: Delta ^ {0} to X}$, как набор ${ Displaystyle pi _ {п} (Х, х)}$ определяется как набор карт ${ displaystyle alpha: Delta ^ {n} to X}$ симплициальных множеств, укладывающихся в некоторую коммутативную диаграмму:

${ displaystyle pi _ {n} (X, x) = left { alpha: Delta ^ {n} to X: { begin {matrix} Delta ^ {n} & { overset { alpha} { to}} & X uparrow && uparrow x partial Delta ^ {n} & to & Delta ^ {0} end {matrix}} right }}$

Обратите внимание на факт ${ displaystyle partial Delta ^ {n}}$ отображается в точку эквивалентно определению сферы ${ Displaystyle S ^ {п}}$ как частное ${ displaystyle B ^ {n} / partial B ^ {n}}$ для стандартного шара

${ displaystyle B ^ {n} = {x in mathbb {R} ^ {n}: || x || _ {eu} leq 1 }}$

Для определения структуры группы потребуется немного больше работы. По сути, учитывая две карты ${ displaystyle alpha, beta: Delta ^ {n} to X}$ есть связанный ${ Displaystyle (п + 1)}$-просто ${ displaystyle omega: Delta ^ {n + 1} to X}$ такой, что ${ displaystyle d_ {n} omega: Delta ^ {n} to X}$ дает их дополнение. Это отображение четко определено с точностью до симплициальных гомотопических классов отображений, задающих групповую структуру. Более того, группы ${ Displaystyle pi _ {п} (Х, х)}$ абелевы для ${ Displaystyle п geq 2}$. За ${ displaystyle pi _ {0} (X)}$, он определяется как гомотопические классы ${ Displaystyle [х]}$ карт вершин ${ displaystyle x: Delta ^ {0} to X}$.

Гомотопические группы симплициальных множеств

Используя категории моделей, любой симплициальный набор ${ displaystyle X}$ имеет фибрантную замену ${ displaystyle { hat {X}}}$ что гомотопически эквивалентно ${ displaystyle X}$ в гомотопической категории симплициальных множеств. Тогда гомотопические группы ${ displaystyle X}$ можно определить как

${ displaystyle pi _ {n} (X, x): = pi _ {n} ({ hat {X}}, { hat {x}})}$

куда ${ displaystyle { hat {x}}}$ это лифт ${ displaystyle x: Delta ^ {0} to X}$ к ${ displaystyle { hat {X}}}$. Эти фибрантные замены можно рассматривать как топологический аналог разрешения цепного комплекса (например, проективное разрешение или плоское разрешение ).

Смотрите также

• Категория модели
• Симплициальная теория гомотопий
• Симплициально обогащенная категория
• Слабый комплекс Кан (также называемая квазикатегорией, ∞-категорией)
• ∞-группоид

Рекомендации

• Элементарное иллюстрированное введение в симплициальные множества

Библиография

• Goerss, Paul G .; Джардин, Джон Ф. (1999). Симплициальная теория гомотопий. Базель: Birkhäuser Basel. Дои:10.1007/978-3-0348-8707-6. ISBN  978-3-0348-9737-2. МИСТЕР  1711612.
• Мэй, Дж. Питер (1992) [1967]. Симплициальные объекты в алгебраической топологии. Чикагские лекции по математике. Чикаго, Иллинойс: Издательство Чикагского университета. ISBN  0-226-51180-4. МИСТЕР  1206474.