Переписка Дольда – Кана - Википедия - Dold–Kan correspondence

В математике, точнее, в теории симплициальные множества, то Переписка Дольда – Кана (названный в честь Альбрехт Долд и Даниэль Кан ) состояния^[1] что существует эквивалентность категории (неотрицательно оцененных) цепные комплексы и категория симплициальные абелевы группы. Более того, при эквивалентности ${ displaystyle n}$ -й группой гомологий цепного комплекса является ${ displaystyle n}$ -й гомотопической группы соответствующей симплициальной абелевой группы, а цепная гомотопия соответствует симплициальная гомотопия. (На самом деле соответствие сохраняет соответствующий стандарт модельные конструкции.)

Пример: Позволять C - цепной комплекс, имеющий абелеву группу А в степени п и ноль в других градусах. Тогда соответствующая симплициальная группа - это Пространство Эйленберга – Маклейна ${ Displaystyle К (А, п)}$ .

Также есть ∞-категория -версия соответствия Дольда – Кана.^[2]

В цитируемой ниже книге «Неабелева алгебраическая топология» есть раздел 14.8 по кубический версии теоремы Дольда – Кана, и связывает их с предыдущей эквивалентностью категорий между кубическими омега-группоидами и скрещенными комплексами, что является фундаментальным для работы этой книги.

Детальная конструкция

Соответствие Дольда-Кана между симплициальными абелевыми группами и цепными комплексами можно построить явно через присоединение функторы^[1]^стр.149. Первый функтор - это нормализованный цепной комплексный функтор

${ displaystyle N: s { textbf {Ab}} to { text {Ch}} _ { geq 0} ({ textbf {Ab}})}$

а второй функтор - это функтор "симплициализации"

${ displaystyle Gamma: { text {Ch}} _ { geq 0} ({ textbf {Ab}}) to s { textbf {Ab}}}$

построение симплициальной абелевой группы из цепного комплекса.

Нормализованный цепной комплекс

Для симплициальной абелевой группы ${ displaystyle A _ { bullet} in { text {Ob}} ({ text {s}} { textbf {Ab}})}$ есть цепной комплекс ${ displaystyle NA _ { bullet}}$ называется нормализованный цепной комплекс с условиями

${ displaystyle NA_ {n} = bigcap _ {i = 0} ^ {n-1} ker (d_ {i}) subset A_ {n}}$

и дифференциалы, заданные

${ displaystyle NA_ {n} xrightarrow {(-1) ^ {n} d_ {n}} NA_ {n-1}}$

Эти дифференциалы хорошо определены из-за симплициальная идентичность

${ displaystyle d_ {i} circ d_ {n} = d_ {n-1} circ d_ {i}: от A_ {n} до A_ {n-2}}$

показывая изображение ${ displaystyle d_ {n}: NA_ {n} to A_ {n-1}}$ находится в ядре каждого ${ displaystyle d_ {i}: NA_ {n-1} to NA_ {n-2}}$ . Это потому, что определение ${ displaystyle NA_ {n}}$ дает ${ displaystyle d_ {i} (NA_ {n}) = 0}$ Теперь составление этих дифференциалов дает коммутативную диаграмму

${ displaystyle NA_ {n} xrightarrow {(-1) ^ {n} d_ {n}} NA_ {n-1} xrightarrow {(-1) ^ {n-1} d_ {n-1}} NA_ {n-2}}$

и составная карта ${ displaystyle (-1) ^ {n} (- 1) ^ {n-1} d_ {n-1} circ d_ {n}}$ . Эта композиция является нулевой картой из-за симплициальная идентичность

${ displaystyle d_ {n-1} circ d_ {n} = d_ {n-1} circ d_ {n-1}}$

и включение ${ displaystyle { text {Im}} (d_ {n}) subset NA_ {n-1}}$ , следовательно, нормированный цепной комплекс является цепным комплексом в ${ displaystyle { text {Ch}} _ { geq 0} ({ textbf {Ab}})}$ . Поскольку симплициальная абелева группа является функтором

${ displaystyle A _ { bullet}: { text {Ord}} to { textbf {Ab}}}$

и морфизмы ${ displaystyle A _ { bullet} to B _ { bullet}}$ задаются естественными преобразованиями, то есть отображения симплициальных тождеств остаются в силе, построение нормированного цепного комплекса является функториальным.