Полиномиальный функтор - Википедия - Polynomial functor

В алгебре полиномиальный функтор является эндофунктор на категория ${ Displaystyle { mathcal {V}}}$ конечномерных векторных пространств который полиномиально зависит от векторных пространств. Например, симметричные степени ${ Displaystyle V mapsto operatorname {Sym} ^ {n} (V)}$ и внешние силы ${ Displaystyle V mapsto клин ^ {п} (V)}$ являются полиномиальными функторами из ${ Displaystyle { mathcal {V}}}$ к ${ Displaystyle { mathcal {V}}}$; эти двое также Функторы Шура.

Это понятие появляется в теория представлений а также теория категорий (в исчисление функторов ). В частности, категория однородных полиномиальных функторов степени п эквивалентен категория конечномерных представлений из симметричная группа ${ displaystyle S_ {n}}$ над полем характеристики нуль.^[1]

Определение

Позволять k быть поле из характеристика ноль и ${ Displaystyle { mathcal {V}}}$ в категория конечномерных k-векторные пространства и k-линейные карты. Затем эндофунктор ${ Displaystyle F двоеточие { mathcal {V}} to { mathcal {V}}}$ это полиномиальный функтор если выполняются следующие эквивалентные условия:

• Для каждой пары векторных пространств Икс, Y в ${ Displaystyle { mathcal {V}}}$, карта ${ Displaystyle F двоеточие OperatorName {Hom} (X, Y) to operatorname {Hom} (F (X), F (Y))}$ это полиномиальное отображение (т.е. вектор-многочлен в линейных формах).
• Данные линейные карты ${ displaystyle f_ {i}: от X к Y, , 1 leq i leq r}$ в ${ Displaystyle { mathcal {V}}}$, функция ${ displaystyle ( lambda _ {1}, dots, lambda _ {r}) mapsto F ( lambda _ {1} f_ {1} + cdots + lambda _ {r} f_ {r}) }$ определено на ${ Displaystyle к ^ {г}}$ является полиномиальной функцией с коэффициенты в ${ Displaystyle OperatorName {Hom} (F (X), F (Y))}$.

Полиномиальный функтор называется однородный степени п если для любых линейных карт ${ displaystyle f_ {1}, dots, f_ {r}}$ в ${ Displaystyle { mathcal {V}}}$ с общими областями определения и области значений векторнозначный многочлен ${ Displaystyle F ( lambda _ {1} f_ {1} + cdots + lambda _ {r} f_ {r})}$ однороден по степени п.

Варианты

Если «конечные векторные пространства» заменить на «конечные множества», получится понятие комбинаторные виды (точнее, полиномиального характера).

Рекомендации

• Макдональд, Ян Г. Симметричные функции и многочлены Холла. Второе издание. Оксфордские математические монографии. Оксфордские научные публикации. The Clarendon Press, Oxford University Press, Нью-Йорк, 1995. x + 475 стр.ISBN  0-19-853489-2 МИСТЕР1354144

Этот теория категорий -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.