Полиномиальное сокращение - Polynomial-time reduction

В теория сложности вычислений, а редукция за полиномиальное время это метод решения одной проблемы с помощью другой. Один показывает, что если гипотетический подпрограмма решение второй проблемы существует, то первая проблема может быть решена преобразованием или сокращение это входы для второй задачи и вызов подпрограммы один или несколько раз. Если и время, необходимое для преобразования первой проблемы во вторую, и количество вызовов подпрограммы полиномиально, то первая задача полиномиально сводится ко второй.[1]

Редукция за полиномиальное время доказывает, что первая задача не сложнее второй, потому что всякий раз, когда эффективная алгоритм существует для второй проблемы, существует и для первой проблемы. И наоборот, если не существует эффективного алгоритма для первой проблемы, не существует и для второй.[1] Редукции за полиномиальное время часто используются в теории сложности для определения как классы сложности и полные проблемы для этих классов.

Виды скидок

Три наиболее распространенных типа редукции за полиномиальное время, от наиболее до наименее ограничивающей, - это редукции по многим единицам за полиномиальное время, редукции по таблице истинности и редукции по Тьюрингу. Наиболее часто используемыми из них являются сокращения "многие-один", и в некоторых случаях фраза "сокращение за полиномиальное время" может использоваться для обозначения сокращения "многие-один" за полиномиальное время.[2] Наиболее общие редукции - это редукции по Тьюрингу, а самые строгие - редукции по принципу «много-один» с редукциями по таблице истинности, занимающими промежуточное пространство.[3]

Скидки на несколько единиц

Полиномиальное время много-одно сокращение от проблемы А к проблеме B (оба из которых обычно должны быть проблемы решения ) представляет собой полиномиальный алгоритм преобразования входных данных в задачу А во входы в проблему B, так что преобразованная задача имеет тот же результат, что и исходная задача. Экземпляр Икс проблемы А можно решить, применив это преобразование для создания экземпляра у проблемы B, давая у как вход в алгоритм решения проблемы B, и возвращая его вывод. Полиномиальное сокращение много-один также может быть известно как полиномиальные преобразования или Редукции Карпа, названный в честь Ричард Карп. Редукция такого типа обозначается или .[4][1]

Сокращения таблицы истинности

Полиномиальное время редукция таблицы истинности от проблемы А к проблеме B (обе задачи решения) - это алгоритм с полиномиальным временем преобразования входных данных в задачу А в фиксированное количество входов в задачу B, так что выход исходной задачи может быть выражен как функция выходов для B. Функция, отображающая выходные данные для B в выход для А должен быть одинаковым для всех входных данных, чтобы его можно было выразить таблица истинности. Редукцию этого типа можно обозначить выражением .[5]

Редукции Тьюринга

Полиномиальное время Редукция Тьюринга от проблемы А к проблеме B является алгоритм это решает проблему А использование полиномиального количества вызовов подпрограммы для задачи B, и полиномиальное время вне этих вызовов подпрограмм. Редукции Тьюринга за полиномиальное время также известны как Скидки на приготовление еды, названный в честь Стивен Кук. Редукцию этого типа можно обозначить выражением .[4] Редукции "много-один" можно рассматривать как ограниченные варианты редукций Тьюринга, в которых количество вызовов подпрограммы для задачи B равно единице, и значение, возвращаемое сокращением, такое же, как и значение, возвращаемое подпрограммой.

Полнота

А полная проблема для заданного класса сложности C и сокращение ≤ является проблемой п это принадлежит C, так что каждая проблема А в C имеет сокращение А ≤ пНапример, проблема НП-полный если это принадлежит НП и все проблемы в НП имеют многочленные редукции к нему за полиномиальное время. Проблема, которая принадлежит НП может быть доказано НП-завершить, найдя единственное полиномиальное сокращение много-единицы от известного НП-полная проблема.[6] Полиномиальное сокращение много-единицы использовалось для определения полных задач для других классов сложности, включая PSPACE-полный языки и EXPTIME-полный языков.[7]

Каждая проблема решения в п (класс задач принятия решений за полиномиальное время) может быть сведен к любой другой нетривиальной задаче решения (где нетривиальность означает, что не каждый вход имеет одинаковый выход) путем полиномиального сокращения многих единиц. Чтобы преобразовать экземпляр проблемы А к B, решить А за полиномиальное время, а затем используйте решение, чтобы выбрать один из двух экземпляров проблемы B с разными ответами, поэтому для классов сложности внутри п такие как L, NL, NC, и п саму редукцию за полиномиальное время нельзя использовать для определения полных языков: если бы они использовались таким образом, каждая нетривиальная задача в п будет полным. Вместо этого более слабые сокращения, такие как сокращение пространства журнала или NC сокращения используются для определения классов полных задач для этих классов, таких как п-полный проблемы.[8]

Определение классов сложности

Определения классов сложности НП, PSPACE, и EXPTIME не предполагают редукций: редукции входят в их изучение только при определении полных языков для этих классов. Однако в некоторых случаях класс сложности может быть определен сокращениями. Если C есть ли проблема решения, то можно определить класс сложности C состоящий из языков А для которого . В таком случае, C будет автоматически завершен для C, но C могут быть и другие полные проблемы.

Примером этого является класс сложности определяется из экзистенциальная теория реальности, вычислительная задача, известная как НП-жесткий И в PSPACE, но, как известно, не является полным для НП, PSPACE, или любой язык в полиномиальная иерархия. представляет собой набор задач, имеющих полиномиальное время много-однозначной редукции к экзистенциальной теории вещественных чисел; у него есть несколько других полных проблем, таких как определение номер прямолинейного перехода из неориентированный граф. Каждая проблема в наследует собственность, принадлежащую PSPACE, и каждый -полная проблема НП-жесткий.[9]

Аналогично класс сложности GI состоит из проблем, которые можно свести к проблема изоморфизма графов. Поскольку изоморфизм графов, как известно, принадлежит как НП и со-AM, то же самое верно для всех задач этого класса. Проблема в том GI-полный, если он завершен для данного класса; сама проблема изоморфизма графов GI-полный, как и несколько других связанных проблем.[10]

Смотрите также

внешние ссылки

использованная литература

  1. ^ а б c Клейнберг, Джон; Тардос, Ива Тардос (2006). Разработка алгоритма. Pearson Education. С. 452–453. ISBN  978-0-321-37291-8.
  2. ^ Вегенер, Инго (2005), Теория сложности: изучение границ эффективных алгоритмов, Springer, стр. 60, ISBN  9783540274773.
  3. ^ Мандал, Дебасис; Паван, А .; Венугопалан, Раджешвари (2014). Отделение полноты Кука от полноты Карпа-Левина в соответствии с гипотезой жесткости наихудшего случая. 34-я Международная конференция по основам программных технологий и теоретической информатики. ISBN  978-3-939897-77-4.
  4. ^ а б Гольдрайх, Одед (2008), Вычислительная сложность: концептуальная перспектива, Cambridge University Press, стр. 59–60, ISBN  9781139472746
  5. ^ Басс, С.; Хэй, Л. (1988), "О сводимости таблицы истинности к SAT и иерархии разностей над NP", Труды третьей ежегодной конференции по теории сложности, стр. 224–233, CiteSeerX  10.1.1.5.2387, Дои:10.1109 / SCT.1988.5282, ISBN  978-0-8186-0866-7.
  6. ^ Гарей, Майкл Р.; Джонсон, Д.С. (1979), Компьютеры и непреодолимость: руководство по теории NP-полноты, У. Х. Фриман.
  7. ^ Ахо, А.В. (2011), «Теория сложности», в Blum, E.K .; Ахо, А. В. (ред.), Компьютерные науки: оборудование, программное обеспечение и его суть, стр. 241–267, Дои:10.1007/978-1-4614-1168-0_12, ISBN  978-1-4614-1167-3. См., В частности, стр. 255.
  8. ^ Гринлоу, Раймонд; Гувер, Джеймс; Руццо, Уолтер (1995), Ограничения до параллельных вычислений; Теория П-полноты, ISBN  978-0-19-508591-4. В частности, аргумент о том, что каждая нетривиальная задача в P имеет полиномиальное преобразование многих единиц к любой другой нетривиальной задаче, см. На стр. 48.
  9. ^ Шефер, Маркус (2010), «Сложность некоторых геометрических и топологических задач» (PDF), Графический рисунок, 17-й Международный симпозиум, GS 2009, Чикаго, Иллинойс, США, сентябрь 2009 г., Исправленные статьи, Конспект лекций по информатике, 5849, Springer-Verlag, стр. 334–344, Дои:10.1007/978-3-642-11805-0_32, ISBN  978-3-642-11804-3.
  10. ^ Кёблер, Йоханнес; Шёнинг, Уве; Торан, Якобо (1993), Проблема изоморфизма графов: ее структурная сложность, Биркхойзер, ISBN  978-0-8176-3680-7, OCLC  246882287.