Локальная ограниченность - Local boundedness

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Локальная ограниченность»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Ноябрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, а функция является локально ограниченный если это ограниченный вокруг каждой точки. А семья функций локально ограниченный если хоть какой-то момент в их домен все функции ограничены в этой точке одним и тем же числом.

Локально ограниченная функция

А ценный или же комплексный функция ж определено на некоторых топологическое пространство Икс называется локально ограниченный если для любого Икс₀ в Икс существует район А из Икс₀ такой, что ж(А) это ограниченное множество. То есть для некоторого числа M > 0 есть

${ Displaystyle | е (х) | Leq M}$

для всех Икс в А.

Другими словами, для каждого Икс можно найти константу в зависимости от Икс, что больше всех значений функции в окрестности Икс. Сравните это с ограниченная функция, для которого постоянная не зависит от Икс. Очевидно, что если функция ограничена, то она ограничена локально. Обратное в общем случае неверно (см. Ниже).

Это определение можно распространить на случай, когда ж принимает значения в некоторых метрическое пространство. Тогда указанное выше неравенство необходимо заменить на

${ Displaystyle д влево (е (х), а вправо) Leq M}$

для всех Икс в А, куда d - функция расстояния в метрическом пространстве, а а есть некоторая точка в метрическом пространстве. Выбор а не влияет на определение; выбор другого а в лучшем случае увеличит постоянную M для которых справедливо это неравенство.

Примеры

• Функция ж: р → р определяется

${ displaystyle f (x) = { frac {1} {x ^ {2} +1}}}$

ограничено, поскольку 0 ≤ ж(Икс) ≤ 1 для всех Икс. Следовательно, он также локально ограничен.

• Функция ж: р → р определяется

${ displaystyle f (x) = 2x + 3}$

является нет ограничен, так как становится сколь угодно большим. Однако это является локально ограничен, потому что для каждого а, |ж(Икс)| ≤ M по соседству (а − 1, а + 1), где M = 2|а| + 5.

• Функция ж: р → р определяется

${ displaystyle f (x) = { begin {case} { frac {1} {x}}, & { mbox {if}} x neq 0, 0, & { mbox {if}} x = 0 end {case}}}$

не ограничен ни локально ограниченный. В любой окрестности 0 эта функция принимает значения сколь угодно большой величины.

• Любая непрерывная функция локально ограничена. Вот доказательство для функций действительной переменной. Позволять ж: U → р быть непрерывным, где U ⊆ р, и мы покажем, что ж локально ограничен в а для всех а в U. Взяв в определении непрерывности ε = 1, найдется такое δ> 0, что |ж(Икс) − ж(а) | <1 для всех Икс в U с |Икс − а| <δ. Теперь по неравенство треугольника, |ж(Икс)| = |ж(Икс) − ж(а) + ж(а)| ≤ |ж(Икс) − ж(а)| + |ж(а)| < 1 + |ж(а) |, что означает, что ж локально ограничен в а (принимая M = 1 + |ж(а) | и окрестности (а - δ, а + δ)). Этот аргумент легко обобщается на случай, когда область значений ж - любое топологическое пространство.

• Однако обратное к приведенному выше результату неверно, т.е. разрывная функция может быть локально ограничена. Например, рассмотрим функцию ж: р → р данный ж(0) = 1 и ж(Икс) = 0 для всех Икс ≠ 0. Тогда ж прерывается в 0, но ж локально ограничен; она локально постоянна за исключением нуля, где мы можем взять M = 1 и окрестность (−1, 1), например.

Локально ограниченная семья

А набор (также называемый семья ) U действительных или комплексных функций, определенных на некотором топологическом пространстве Икс называется локально ограниченный если для любого Икс₀ в Икс существует район А из Икс₀ и положительное число M такой, что

${ Displaystyle | е (х) | Leq M}$

для всех Икс в А и ж в U. Другими словами, все функции в семействе должны быть локально ограничены, и вокруг каждой точки они должны быть ограничены одной и той же константой.

Это определение также можно распространить на случай, когда функции в семействе U принимать значения в некотором метрическом пространстве, снова заменяя абсолютное значение функцией расстояния.

Примеры

• Семейство функций ж_п: р → р

${ displaystyle f_ {n} (x) = { frac {x} {n}}}$

куда п = 1, 2, ... локально ограничено. Действительно, если Икс₀ - действительное число, можно выбрать окрестность А быть интервалом (Икс₀ − 1, Икс₀ + 1). Тогда для всех Икс в этом интервале и для всех п ≥ 1 имеет

${ Displaystyle | е_ {п} (х) | leq M}$

с M = |Икс₀| + 1. Кроме того, семья равномерно ограниченный, потому что ни соседство А ни постоянная M зависят от индекса п.

• Семейство функций ж_п: р → р

${ displaystyle f_ {n} (x) = { frac {1} {x ^ {2} + n ^ {2}}}}$

локально ограничен, если п больше нуля. Для любого Икс₀ можно выбрать район А быть р сам. Тогда у нас есть

${ Displaystyle | е_ {п} (х) | leq M}$

с M = 1. Обратите внимание, что значение M не зависит от выбора x₀ или его окрестности А. Тогда это семейство ограничено не только локально, но и равномерно.

• Семейство функций ж_п: р → р

${ Displaystyle f_ {п} (х) = х + п}$

является нет локально ограниченный. Ведь для любого Икс₀ ценности ж_п(Икс₀) не может быть ограничена как п стремится к бесконечности.

Топологические векторные пространства

Локальная ограниченность может также относиться к свойству топологические векторные пространства, или функций из топологического пространства в топологическое векторное пространство.

Локально ограниченные топологические векторные пространства

Позволять Икс - топологическое векторное пространство. Затем подмножество B ⊂ Икс является ограниченный если для каждого района U из 0 в Икс существует скаляр s > 0 такой, что

B ⊂ tU для всех т > s.

Топологическое векторное пространство называется локально ограниченный если Икс допускает ограниченную окрестность 0.

Локально ограниченные функции

Позволять Икс быть топологическим пространством, Y топологическое векторное пространство, и ж : Икс → Y функция. потом ж является локально ограниченный если каждая точка Икс есть район, чей изображение под ж ограничено.

Следующая теорема связывает локальную ограниченность функций с локальной ограниченностью топологических векторных пространств:

Теорема. Топологическое векторное пространство Икс локально ограничен тогда и только тогда, когда карта идентичности я бы_Икс: Икс → Икс локально ограничен.

внешняя ссылка

• Запись PlanetMath для локально ограниченного
• Запись nLab для категории с локальными ограничениями