Конверт каруби - Karoubi envelope

В математика то Конверт каруби (или же Завершение Коши или же идемпотентное завершение) из категория C классификация идемпотенты из C, с помощью вспомогательной категории. Взяв конверт Каруби с предаддитивная категория дает псевдоабелева категория, поэтому конструкцию иногда называют псевдоабелевым пополнением. Он назван в честь французского математика. Макс Каруби.

Учитывая категорию C, идемпотент C является эндоморфизм

{ displaystyle e: A rightarrow A}

с

{ displaystyle e circ e = e}

.

Идемпотент е: А → А говорят расколоть если есть объект B и морфизмы ж: А → B,грамм : B → А такой, что е = грамм ж и 1_B = ж грамм.

В Конверт каруби из C, иногда написано Сплит (C), - категория, объектами которой являются пары вида (А, е) куда А является объектом C и ${ displaystyle e: A rightarrow A}$ идемпотент C, и чья морфизмы тройки

{ displaystyle (е, f, e ^ { prime}) :( A, e) rightarrow (A ^ { prime}, e ^ { prime})}

куда ${ displaystyle f: A rightarrow A ^ { prime}}$ это морфизм C удовлетворение ${ Displaystyle е ^ { прайм} CIRC F = F = F CIRC E}$ (или эквивалентно ${ displaystyle f = e ' circ f circ e}$ ).

Состав в Сплит (C) как в C, но морфизм тождества на ${ Displaystyle (А, е)}$ в Сплит (C) является ${ Displaystyle (е, е, е)}$ , а не личность на ${ displaystyle A}$ .

Категория C полностью и верно встраивается в Сплит (C). В Сплит (C) каждый идемпотент расщепляется, и Сплит (C) является универсальной категорией с этим свойством. Оболочка Каруби категории C поэтому можно рассматривать как «завершение» C который разбивает идемпотенты.

Конверт Каруби категории C эквивалентно можно определить как полная подкатегория из ${ displaystyle { hat { mathbf {C}}}}$ (в предварительные пучки над C) об отзыве представимые функторы. Категория предпучков на C эквивалентна категории предпучков на Сплит (C).

Автоморфизмы в оболочке Каруби

An автоморфизм в Сплит (C) имеет форму ${ Displaystyle (е, е, е) :( А, е) rightarrow (А, е)}$ , с обратным ${ Displaystyle (е, г, е) :( А, е) rightarrow (А, е)}$ удовлетворение:

{ Displaystyle г сирк е = е = е сирк г}

{ displaystyle g circ f circ g = g}

{ Displaystyle f circ g circ f = f}

Если первое уравнение ослабить, чтобы просто иметь ${ displaystyle g circ f = f circ g}$ , тогда ж частичный автоморфизм (с обратным грамм). (Частичная) инволюция в Сплит (C) является самообратным (частичным) автоморфизмом.

Примеры

Если C есть продукты, а затем изоморфизм ${ displaystyle f: A rightarrow B}$ отображение ${ displaystyle f times f ^ {- 1}: A times B rightarrow B times A}$ , составленный с канонической картой ${ displaystyle gamma: B times A rightarrow A times B}$ симметрии, является частичным инволюция.
Если C это триангулированная категория, конверт Каруби Расколоть(C) можно снабдить структурой триангулированной категории такой, что канонический функтор C → Расколоть(C) становится триангулированный функтор.^[1]
Конверт Каруби используется в строительстве нескольких категорий мотивы.
Конструкция конверта Каруби требует полусложений для дополнения.^[2] По этой причине конверт Каруби используется при исследовании моделей нетипизированное лямбда-исчисление. Оболочка Каруби экстенсиональной лямбда-модели (моноид, рассматриваемый как категория) декартово замкнута.^[3]^[4]
Категория проективные модули над любым кольцом есть оболочка Каруби своей полной подкатегории свободных модулей.
Категория векторные пучки над любым паракомпактным пространством есть оболочка Каруби своей полной подкатегории тривиальных расслоений. Фактически, это частный случай предыдущего примера. Теорема Серра-Свона и, наоборот, эту теорему можно доказать, предварительно доказав оба этих факта, наблюдение, что глобальные разделы функтор является эквивалентностью тривиальных векторных расслоений над ${ displaystyle X}$ и бесплатные модули более ${ Displaystyle C (X)}$ а затем с использованием универсального свойства конверта Каруби.

Конверт каруби - Karoubi envelope

Автоморфизмы в оболочке Каруби

Примеры

Рекомендации