Псевдоабелева категория - Pseudo-abelian category

В математика особенно в теория категорий, а псевдоабелева категория это категория это предаддитив и такова, что каждый идемпотент имеет ядро.^[1] Напомним, что идемпотентный морфизм ${ displaystyle p}$ является эндоморфизмом объекта со свойством, что ${ displaystyle p circ p = p}$. Элементарные соображения показывают, что тогда каждый идемпотент имеет коядро.^[2] Псевдоабелево условие сильнее преаддитивности, но слабее, чем требование, чтобы у каждого морфизма было ядро ​​и коядро, как это верно для абелевы категории.

В литературе синонимы псевдоабелева включают: псевдоабелевский и Карубян.

Примеры

Любые абелева категория, в частности, категория Ab из абелевы группы, псевдоабелева. Действительно, в абелевой категории каждый морфизм имеет ядро.

Категория ассоциативных rngs (не кольца!) вместе с мультипликативными морфизмами псевдоабелева.

Более сложный пример - категория Чау-мотивы. При построении мотивов Чоу используется описанное ниже псевдоабелево завершение.

Псевдоабелево завершение

В Конверт каруби конструкция ассоциируется с произвольной категорией ${ displaystyle C}$ категория ${ displaystyle kar (C)}$ вместе с функтором

${ displaystyle s: C rightarrow kar (C)}$

так что изображение ${ displaystyle s (p)}$ каждого идемпотента ${ displaystyle p}$ в ${ displaystyle C}$ распадается на ${ displaystyle kar (C)}$.При применении к предаддитивная категория ${ displaystyle C}$, конструкция оболочки Каруби дает псевдоабелеву категорию ${ displaystyle kar (C)}$называется псевдоабелевым завершением ${ displaystyle C}$. Более того, функтор

${ Displaystyle C rightarrow kar (C)}$

на самом деле аддитивный морфизм.

Если быть точным, учитывая предаддитивную категорию ${ displaystyle C}$ мы строим псевдоабелеву категорию ${ displaystyle kar (C)}$ следующим образом. Объекты ${ displaystyle kar (C)}$ пары ${ displaystyle (X, p)}$ где ${ displaystyle X}$ является объектом ${ displaystyle C}$ и ${ displaystyle p}$ идемпотент ${ displaystyle X}$. Морфизмы

${ displaystyle f: (X, p) rightarrow (Y, q)}$

в ${ displaystyle kar (C)}$ эти морфизмы

${ displaystyle f: X rightarrow Y}$

такой, что ${ Displaystyle F = Q CIRC F = F CIRC P}$ в ${ displaystyle C}$.Функтор

${ Displaystyle C rightarrow kar (C)}$

дается взятием ${ displaystyle X}$ к ${ displaystyle (X, id_ {X})}$.

Цитаты

использованная литература

• Артин, Майкл (1972). Александр Гротендик; Жан-Луи Вердье (ред.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 (Конспекты лекций по математике 269) (На французском). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag. XIX + 525.