Лемма Винерса - Википедия - Wieners lemma

Эта статья не цитировать любой источники. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удаленный. Найдите источники: "Лемма Винера"  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Октябрь 2018 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математике Лемма Винера - известное тождество, связывающее асимптотическое поведение коэффициентов Фурье Мера Бореля на круг его атомарной части. Этот результат допускает аналогичное утверждение для мер на реальная линия. Впервые он был обнаружен Норберт Винер.^[1][2]

Заявление

• Для действительной или комплексной меры Бореля ${ displaystyle mu}$ на единичный круг ${ displaystyle mathbb {T}}$, позволять ${ displaystyle mu _ {a} = sum _ {j} c_ {j} delta _ {z_ {j}}}$ быть его атомарной частью (то есть ${ Displaystyle му ( {z_ {j} }) = c_ {j} neq 0}$ и ${ Displaystyle му ( {г }) = 0}$ за ${ displaystyle z not in {z_ {j} }}$. потом

${ displaystyle lim _ {N to infty} { frac {1} {2N + 1}} sum _ {n = -N} ^ {N} | { widehat { mu}} (п) | ^ {2} = сумма _ {j} | c_ {j} | ^ {2},}$

куда ${ Displaystyle { widehat { mu}} (п) = int _ { mathbb {T}} z ^ {- n} , d mu (z)}$ это ${ displaystyle n}$-й коэффициент Фурье ${ displaystyle mu}$.

• Аналогично, для действительной или комплексной борелевской меры ${ displaystyle mu}$ на реальная линия ${ Displaystyle mathbb {R}}$ и позвонил ${ displaystyle mu _ {a} = sum _ {j} c_ {j} delta _ {x_ {j}}}$ его атомная часть, мы имеем

${ displaystyle lim _ {R to infty} { frac {1} {2R}} int _ {- R} ^ {R} | { widehat { mu}} ( xi) | ^ { 2} , d xi = сумма _ {j} | c_ {j} | ^ {2},}$

куда ${ Displaystyle { widehat { mu}} ( xi) = int _ { mathbb {R}} e ^ {- 2 pi i xi x} , d mu (x)}$ это преобразование Фурье из ${ displaystyle mu}$.

Доказательство

• Прежде всего заметим, что если ${ displaystyle nu}$ комплексная мера на окружности, то

${ displaystyle { frac {1} {2N + 1}} sum _ {n = -N} ^ {N} { widehat { nu}} (n) = int _ { mathbb {T}} f_ {N} (z) , d nu (z),}$

с ${ displaystyle f_ {N} (z) = { frac {1} {2N + 1}} sum _ {n = -N} ^ {N} z ^ {- n}}$. Функция ${ displaystyle f_ {N}}$ ограничен ${ displaystyle 1}$ по абсолютной величине и имеет ${ displaystyle f_ {N} (1) = 1}$, пока ${ displaystyle f_ {N} (z) = { frac {z ^ {N + 1} -z ^ {- N}} {(2N + 1) (z-1)}}}$ за ${ Displaystyle г в mathbb {T} setminus {1 }}$, который сходится к ${ displaystyle 0}$ в качестве ${ displaystyle N to infty}$. Следовательно, по теорема о доминируемой сходимости,

${ displaystyle lim _ {N to infty} { frac {1} {2N + 1}} sum _ {n = -N} ^ {N} { widehat { nu}} (n) = int _ { mathbb {T}} 1 _ { {1 }} (z) , d nu (z) = nu ( {1 }).}$

Теперь возьмем ${ displaystyle mu '}$ быть продвигать из ${ displaystyle { overline { mu}}}$ под обратной картой на ${ displaystyle mathbb {T}}$, а именно ${ displaystyle mu '(B) = { overline { mu (B ^ {- 1})}}}$ для любого набора Бореля ${ Displaystyle B substeq mathbb {T}}$. Эта комплексная мера имеет коэффициенты Фурье ${ Displaystyle { widehat { mu '}} (п) = { overline {{ widehat { mu}} (п)}}}$. Мы собираемся применить вышеизложенное к свертка между ${ displaystyle mu}$ и ${ displaystyle mu '}$, а именно выбираем ${ displaystyle nu = mu * mu '}$, означающий, что ${ displaystyle nu}$ это продвигать меры ${ displaystyle mu times mu '}$ (на ${ Displaystyle mathbb {T} times mathbb {T}}$) под картой продукта ${ Displaystyle cdot: mathbb {T} times mathbb {T} to mathbb {T}}$. К Теорема Фубини

${ displaystyle { widehat { nu}} (n) = int _ { mathbb {T} times mathbb {T}} (zw) ^ {- n} , d ( mu times mu ') (z, w) = int _ { mathbb {T}} int _ { mathbb {T}} z ^ {- n} w ^ {- n} , d mu' (w) , d mu (z) = { widehat { mu}} (n) { widehat { mu '}} (n) = | { widehat { mu}} (n) | ^ {2}. }$

Итак, по тождеству, полученному ранее,${ displaystyle lim _ {N to infty} { frac {1} {2N + 1}} sum _ {n = -N} ^ {N} | { widehat { mu}} (п) | ^ {2} = nu ( {1 }) = int _ { mathbb {T} times mathbb {T}} 1 _ { {zw = 1 }} , d ( mu раз mu ') (z, w).}$К Теорема Фубини снова правая часть равна

${ Displaystyle int _ { mathbb {T}} mu '( {z ^ {- 1} }) , d mu (z) = int _ { mathbb {T}} { overline { mu ( {z })}} , d mu (z) = sum _ {j} | mu ( {z_ {j} }) | ^ {2} = sum _ { j} | c_ {j} | ^ {2}.}$

• Доказательство аналогичного утверждения для реальной линии идентично, за исключением того, что мы используем тождество

${ Displaystyle { frac {1} {2R}} int _ {- R} ^ {R} { widehat { nu}} ( xi) , d xi = int _ { mathbb {R }} f_ {R} (x) , d nu (x)}$

(что следует из Теорема Фубини ), куда ${ displaystyle f_ {R} (x) = { frac {1} {2R}} int _ {- R} ^ {R} e ^ {- 2 pi i xi x} , d xi}$.Заметим, что ${ displaystyle | f_ {R} | leq 1}$, ${ displaystyle f_ {R} (0) = 1}$ и ${ displaystyle f_ {R} (x) = { frac {e ^ {2 pi iRx} -e ^ {- 2 pi iRx}} {4 pi iRx}}}$ за ${ Displaystyle х neq 0}$, который сходится к ${ displaystyle 0}$ в качестве ${ displaystyle R to infty}$. Итак, по преобладающая конвергенция, имеем аналогичное тождество

${ displaystyle lim _ {R to infty} { frac {1} {2R}} int _ {- R} ^ {R} { widehat { nu}} ( xi) , d xi = nu ( {0 }).}$

Последствия

• Действительная или комплексная мера Бореля ${ displaystyle mu}$ на круге диффузная (т.е. ${ displaystyle mu _ {a} = 0}$) если и только если ${ displaystyle lim _ {N to infty} { frac {1} {2N + 1}} sum _ {n = -N} ^ {N} | { widehat { mu}} (п) | ^ {2} = 0}$.
• А вероятностная мера ${ displaystyle mu}$ на окружности является массой Дирака тогда и только тогда, когда ${ displaystyle lim _ {N to infty} { frac {1} {2N + 1}} sum _ {n = -N} ^ {N} | { widehat { mu}} (п) | ^ {2} = 1}$. (Здесь нетривиальная импликация следует из того, что веса ${ displaystyle c_ {j}}$ положительны и удовлетворяют ${ Displaystyle 1 = сумма _ {j} c_ {j} ^ {2} leq sum _ {j} c_ {j} leq 1}$, что заставляет ${ displaystyle c_ {j} ^ {2} = c_ {j}}$ и поэтому ${ displaystyle c_ {j} = 1}$, так что должен быть единственный атом с массой ${ displaystyle 1}$.)

Рекомендации