Операционное исчисление - Википедия - Operational calculus

Оперативный расчет, также известный как оперативный анализ, это метод, с помощью которого проблемы в анализ, особенно дифференциальные уравнения, превращаются в алгебраические задачи, обычно в задачу решения полиномиальное уравнение.

История

Идея представления процессов исчисления, дифференцирования и интегрирования в виде операторов имеет долгую историю, восходящую к Готфрид Вильгельм Лейбниц. Математик Луи Франсуа Антуан Арбогаст был одним из первых, кто манипулировал этими символами независимо от функции, к которой они были применены.^[1]

Этот подход получил дальнейшее развитие Франсуа-Жозеф Сервуа кто разработал удобные обозначения.^[2] За Сервуа последовала школа британских и ирландских математиков, в том числе Чарльз Джеймс Харгрив, Джордж Буль, Боунин, Кармайкл, Дукин, Грейвз, Мерфи, Уильям Споттисвуд и Сильвестр.

Трактаты, описывающие применение операторных методов к обыкновенным уравнениям и уравнениям в частных производных, были написаны Робертом Беллом Кармайклом в 1855 году.^[3] и Булем в 1859 г.^[4]

Этот метод был полностью разработан физиком. Оливер Хевисайд в 1893 г., в связи с его работой в телеграфия.

В значительной степени руководствуясь интуицией и своими обширными познаниями в области физики, лежащими в основе его исследований схем, [Хевисайд] разработал операционное исчисление, которое теперь приписывается его имени.^[5]

В то время методы Хевисайда не были строгими, и его работа не получила дальнейшего развития математиками. Операционное исчисление впервые нашло применение в электротехника задач, для расчета переходных процессов в линейные цепи после 1910 г., под влиянием Эрнст Юлиус Берг, Джон Реншоу Карсон и Ванневар Буш.

Строгое математическое обоснование операционных методов Хевисайда пришло только после работ Бромвич что связанное операционное исчисление с Преобразование Лапласа методы (подробное изложение см. в книгах Джеффриса, Карслоу или Маклахлана). Другие способы оправдания операционных методов Хевисайда были введены в середине 1920-х годов с использованием интегральное уравнение техники (как это сделал Карсон) или Преобразование Фурье (как сделано Норберт Винер ).

Другой подход к операционному исчислению был разработан в 1930-х годах польским математиком Ян Микусиньски, используя алгебраические рассуждения.

Норберт Винер заложил основы теория операторов в своем обзоре экзистенциального статуса операционного исчисления в 1926 году:^[6]

Блестящая работа Хевисайда носит чисто эвристический характер, лишенный даже претензии на математическую строгость. Его операторы применяются к электрическим напряжениям и токам, которые могут быть прерывистыми и, конечно, не обязательно должны быть аналитическими. Например, любимый корпус гнусный на котором он пробует своих операторов, функция которая равна нулю слева от начала координат и равна 1 справа. Это исключает прямое применение методов Пинчерле…

Хотя разработки Хевисайда не были оправданы нынешним состоянием чисто математической теории операторов, существует много того, что мы можем назвать экспериментальным доказательством их достоверности, и они очень ценны для ученых. инженеры-электрики. Однако есть случаи, когда они приводят к неоднозначным или противоречивым результатам.

Принцип

Ключевым элементом операционного исчисления является учет дифференциация как оператор p = d/dт действующий на функции. Затем линейные дифференциальные уравнения можно преобразовать в форму «функций» $F (п)$ оператора p, действующего на неизвестную функцию, равную известной функции. Здесь, $F$ определяет что-то, что принимает оператор p и возвращает другой оператор $F (п)$ . Затем решения получаются обращением оператора, обратного к $F$ действовать по известной функции. Операционное исчисление обычно обозначается двумя символами: оператором p и функция единицы 1. Используемый оператор, вероятно, больше математический, чем физический, а функция единицы - более физическая, чем математическая. Оператор p в исчислении Хевисайда изначально должен представлять дифференциатор времени d/dт. Далее, желательно, чтобы этот оператор имел обратную связь, такую, что p⁻¹ обозначает операцию интегрирования.^[5]

В теории электрических цепей пытаются определить реакцию электрическая цепь к импульсу. В силу линейности достаточно рассмотреть единичный шаг:

Ступенчатая функция Хевисайда:

ЧАС (т)

такой, что ЧАС(т) = 0, если т <0 и ЧАС(т) = 1, если т > 0.

Простейший пример применения операционного исчисления - решение: $п у = ЧАС (т)$ , который дает

{ displaystyle y = operatorname {p} ^ {- 1} H = int _ {0} ^ {t} H (u) operatorname {d} u = t H (t)}

.

Из этого примера видно, что ${ displaystyle operatorname {p} ^ {- 1}}$ представляет интеграция. более того $п$ повторные интеграции представлены ${ displaystyle operatorname {p} ^ {- n},}$ так что

{ displaystyle operatorname {p} ^ {- n} H (t) = { frac {t ^ {n}} {n!}} H (t).}

Продолжая рассматривать p как переменную,

{ displaystyle { frac { operatorname {p}} { operatorname {p} -a }} H (t) = { frac {1} { 1 - { frac {a} { operatorname { p}}} }} H (t),}

который можно переписать, используя геометрическая серия расширение,

{ displaystyle { frac {1} {1 - { frac {a} { operatorname {p}}}}} H (t) = sum _ {n = 0} ^ { infty} a ^ {n } operatorname {p} ^ {- n} H (t) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {a ^ {n} t ^ {n}} {n!}} H (t) = e ^ {at} H (t)}

.

С помощью частичная дробь декомпозиции, можно определить любую дробь в операторе p и вычислить ее действие на $ЧАС (т)$ . Более того, если функция 1 /F(p) имеет разложение в ряд вида

{ displaystyle { frac {1} { F ( operatorname {p}) }} = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} operatorname {p} ^ {- n} }

,

легко найти

{ displaystyle { frac {1} { F ( operatorname {p}) }} H (t) = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} { frac {t ^ {n}} {n!}} H (t)}

.

Применяя это правило, решение любого линейного дифференциального уравнения сводится к чисто алгебраической задаче.

Хевисайд пошел дальше и определил дробную степень p, тем самым установив связь между операционным исчислением и дробное исчисление.

С использованием Расширение Тейлора, можно также проверить булевость Лагранжа формула перевода, $е а п ж (т) = ж (т + а)$ , поэтому операционное исчисление применимо и к конечным разностные уравнения и к проблемам электротехники с задержанными сигналами.

внешняя ссылка

И. В. Линделл ПРАВИЛА ЭКСПЛУАТАЦИИ ДЛЯ ТЯЖЕЛЫХ РАБОТ, ПРИМЕНИМЫЕ К ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ЗАДАЧАМ
Рон Дёрфлер Исчисление Хевисайда
Эссе Джека Креншоу, показывающее использование операторов Подробнее о Розеттском камне

[1] Луи Арбогаст (1800) Du Calcul des Derivations, ссылка из Google Книги

[2] Франсуа-Жозеф Сервуа (1814) Анализируйте Transcendante. Essai sur unNouveu Mode d'Exposition des Principes der Calcul Differential, Annales de Gergonne 5: 93–140

[3] Роберт Белл Кармайкл (1855) Трактат по исчислению операций, Longman, ссылка из Google Книг

[4] Джордж Буль (1859) Трактат о дифференциальных уравнениях, главы 16 и 17: Символические методы, ссылка на HathiTrust

[Rob35-5] а ^б Б. Л. Робертсон (1935) Оперативный метод анализа схем, Труды Американского института инженеров-электриков 54 (10): 1035–45, ссылка с IEEE Исследовать

[6] Норберт Винер (1926) Оперативный расчет, Mathematische Annalen 95: 557, ссылка из Göttingen Digitalisierungszentrum

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Операционное исчисление - Википедия - Operational calculus

Содержание

История

Принцип

Рекомендации

внешняя ссылка