Обычная мера - Regular measure

В математика, а обычная мера на топологическое пространство это мера для чего каждый измеримый набор аппроксимируются сверху открытыми измеримыми множествами, а снизу - компактными измеримыми множествами.

Определение

Позволять (Икс, Т) - топологическое пространство и Σ - σ-алгебра на Икс. Позволять μ быть мерой на (Икс, Σ). Измеримое подмножество А из Икс как говорят внутренний регулярный если

{ displaystyle mu (A) = sup { mu (F) mid F substeq A, F { text {компактный и измеримый}} }}

и сказал, чтобы быть внешний регулярный если

{ displaystyle mu (A) = inf { mu (G) mid G supseteq A, G { text {открытое и измеримое}} }}

Мера называется внутренней регулярной, если каждое измеримое множество является внутренним регулярным. Некоторые авторы используют другое определение: мера называется внутренней регулярной, если каждый открыто измеримое множество внутренне регулярное.
Мера называется внешней регулярной, если каждое измеримое множество внешне регулярно.
Мера называется регулярной, если она является внешней регулярной и внутренней регулярной.

Примеры

Регулярные меры

Мера Лебега на реальная линия это обычная мера: см. теорема регулярности для меры Лебега.
Any Baire вероятностная мера на любом локально компактном σ-компактном хаусдорфовом пространстве является регулярной мерой.
Любая борелевская вероятностная мера на локально компактном хаусдорфовом пространстве со счетной базой для его топологии, или компактное метрическое пространство, или Радоновое пространство, регулярно.

Внутренние регулярные меры, которые не являются внешними регулярными

Примером меры на вещественной прямой с ее обычной топологией, не являющейся внешней регулярной, является мера μ куда ${ Displaystyle му ( emptyset) = 0}$ , ${ Displaystyle му влево ( {1 } право) = 0 , ,}$ , и ${ Displaystyle му (А) = infty , ,}$ для любого другого набора ${ displaystyle A}$ .
Борелевская мера на плоскости, которая сопоставляет любому борелевскому множеству сумму (одномерных) мер его горизонтальных сечений, является внутренней регулярной, но не внешней регулярной, так как каждое непустое открытое множество имеет бесконечную меру. Разновидностью этого примера является несвязное объединение несчетного числа копий вещественной прямой с мерой Лебега.
Примером борелевской меры μ на локально компактном хаусдорфовом пространстве, которое является внутренним регулярным, σ-конечным и локально конечным, но не внешним регулярным, является Бурбаки (2004 г., Упражнение 5 раздела 1) следующим образом. Топологическое пространство Икс имеет в качестве основного множества подмножество реальной плоскости, заданное у-оси точек (0,у) вместе с точками (1 /п,м/п²) с м,п положительные целые числа. Топология выглядит следующим образом. Единичные точки (1 /п,м/п²) все открытые множества. База окрестностей точки (0,у) задается клиньями, состоящими из всех точек в Икс формы (ты,v) с |v − у| ≤ |ты| ≤ 1/п для положительного целого числа п. Это пространство Икс локально компактно. Мера μ задается положением у-оси имеют меру 0 и позволяют точке (1 /п,м/п²) имеют меру 1 /п³. Эта мера является внутренней регулярной и локально конечной, но не является внешней регулярной, как любое открытое множество, содержащее у-ось имеет меру бесконечности.

Внешние регулярные меры, которые не являются внутренними регулярными

Если μ - внутренняя регулярная мера в предыдущем примере, а M это мера, заданная M(S) = inf_U⊇S μ(U), где inf берется по всем открытым множествам, содержащим борелевское множество S, тогда M является внешней регулярной локально конечной борелевской мерой на локально компактном хаусдорфовом пространстве, которая не является внутренней регулярной в сильном смысле, хотя все открытые множества являются внутренними регулярными, поэтому они внутренне регулярны в слабом смысле. Меры M и μ совпадают на всех открытых множествах, всех компактах и всех множествах, на которых M имеет конечную меру. В у-ось бесконечна M-меры, хотя все ее компактные подмножества имеют меру 0.
А измеримый кардинал с дискретной топологией имеет такую борелевскую вероятностную меру, что каждое компактное подмножество имеет меру 0, поэтому эта мера является внешней регулярной, но не внутренней регулярной. Существование измеримых кардиналов не может быть доказано в теории множеств ZF, но (по состоянию на 2013 год) считается совместимым с ней.

Меры, которые не являются ни внутренними, ни внешними регулярными

Пространство всех ординалов, не более чем равное первому несчетному ординалу Ω, с топологией, порожденной открытыми интервалами, является компактным хаусдорфовым пространством. Мера, которая присваивает меру 1 борелевским множествам, содержащим неограниченное замкнутое подмножество счетных ординалов, и присваивает 0 другим борелевским множествам, является вероятностной мерой Бореля, которая не является ни внутренней, ни внешней регулярной.