Теория Басса – Серра - Википедия - Bass–Serre theory

Теория Басса – Серра является частью математический предмет чего-либо теория групп который занимается анализом алгебраической структуры группы игра актеров автоморфизмами на симплициальном деревья. Теория связывает групповые действия на деревьях с разлагающимися группами как итерационные приложения операций бесплатный продукт с амальгамированием и Расширение HNN, через понятие фундаментальная группа граф групп. Теорию Басса – Серра можно рассматривать как одномерную версию теории теория орбифолда.

История

Теория Басса – Серра была разработана Жан-Пьер Серр в 1970-х годах и формализована в Деревья, Монография Серра 1977 г. (разработана в сотрудничестве с Хайман Басс ) на предмет.^[1][2] Первоначальной мотивацией Серра было понять структуру определенных алгебраические группы чей Здания Брюа – Титса деревья. Однако теория быстро стала стандартным инструментом геометрическая теория групп и геометрическая топология, особенно изучение 3-х коллектор. Последующая работа Баса^[3] внес существенный вклад в формализацию и развитие основных инструментов теории, и в настоящее время термин «теория Басса – Серра» широко используется для описания предмета.

Математически теория Басса – Серра основана на использовании и обобщении свойств двух более старых теоретико-групповых конструкций: бесплатный продукт с амальгамированием и Расширение HNN. Однако, в отличие от традиционного алгебраического изучения этих двух конструкций, теория Басса – Серра использует геометрический язык теория покрытия и фундаментальные группы. Графики групп, которые являются основными объектами теории Басса – Серра, можно рассматривать как одномерные версии орбифолды.

Помимо книги Серра,^[2] базовая трактовка теории Басса – Серра доступна в статье Басса,^[3] статья Г. Питер Скотт и К. Т. К. Уолл^[4] и книги Аллен Хэтчер,^[5] Гилберт Баумслаг,^[6] Уоррен Дикс и Мартин Данвуди^[7] и Дэниел Э. Коэн.^[8]

Базовая установка

Графы в смысле Серра

Формализм Серра графики немного отличается от стандартного формализма от теория графов. Здесь график А состоит из набор вершин V, набор кромок E, разворот края карта ${ displaystyle E to E, e mapsto { overline {e}}}$ такой, что е ≠ е и ${ displaystyle { overline { overline {e}}} = e}$ для каждого е в E, и начальная карта вершин ${ displaystyle o двоеточие E to V}$. Таким образом, в А каждый край е оснащен своим формальный обратный е. Вершина о(е) называется источник или начальная вершина из е и вершина о(е) называется конечная остановка из е и обозначается т(е). Оба края петли (то есть края е такой, что о(е) = т(е)) и несколько краев разрешены. An ориентация на А это раздел E в объединение двух непересекающихся подмножеств E⁺ и E⁻ так что для каждого края е ровно одно из ребер пары е, е принадлежит E⁺ а другой принадлежит E⁻.

Графики групп

А граф групп А состоит из следующих данных:

• Связный граф А;
• Назначение группа вершин А_v в каждую вершину v из А.
• Присвоение крайняя группа А_е до каждого края е из А так что у нас есть ${ displaystyle A_ {e} = A _ { overline {e}}}$ для каждого е ∈ E.
• Граничные мономорфизмы ${ displaystyle alpha _ {e}: от A_ {e} до A_ {o (e)}}$ для всех краев е из А, так что каждое α_е является инъективный групповой гомоморфизм.

Для каждого ${ displaystyle e in E}$ карта ${ displaystyle alpha _ { overline {e}} двоеточие A_ {e} to A_ {t (e)}}$ также обозначается ${ displaystyle omega _ {e}}$.

Фундаментальная группа графа групп

Есть два эквивалентных определения понятия фундаментальной группы графа групп: первое - прямое алгебраическое определение через явное групповая презентация (как некое повторное применение объединенные бесплатные продукты и Расширения HNN ), а второй - на языке группоиды.

Алгебраическое определение легче сформулировать:

Сначала выберите остовное дерево Т в А. Основная группа А относительно Т, обозначается π₁(А, Т), определяется как отношение бесплатный продукт

${ Displaystyle ( ast _ {v in V} A_ {v}) ast F (E)}$

куда F(E) это свободная группа на бесплатной основе E, при соблюдении следующих соотношений:

• ${ displaystyle { overline {e}} alpha _ {e} (g) e = alpha _ { overline {e}} (g)}$ для каждого е в E и каждый ${ displaystyle g in A_ {e}}$. (Так называемой Отношение Басса-Серра.)
• ее = 1 для каждого е в E.
• е = 1 для каждого ребра е остовного дерева Т.

Есть также понятие фундаментальной группы А относительно базовой вершины v в V, обозначается π₁(А, v), который определяется с помощью формализма группоиды. Оказывается, что при любом выборе базовой вершины v и каждое остовное дерево Т в А группы π₁(А, Т) и π₁(А, v) естественно изоморфный.

Фундаментальная группа графа групп также имеет естественную топологическую интерпретацию: это фундаментальная группа графа групп. граф пространств чьи пространства вершин и пространства ребер имеют фундаментальные группы групп вершин и группы ребер, соответственно, и чьи карты склейки индуцируют гомоморфизмы групп ребер в группы вершин. Таким образом, можно принять это как третье определение фундаментальной группы графа групп.

Фундаментальные группы графов групп как итерации объединенных произведений и HNN-расширений

Группа грамм = π₁(А, Т), определенный выше, допускает алгебраическое описание в терминах повторных объединенные бесплатные продукты и Расширения HNN. Сначала сформируйте группу B как частное от бесплатного продукта

${ Displaystyle ( ast _ {v in V} A_ {v}) * F (E ^ {+} T)}$

при условии отношений

• е⁻¹α_е(грамм)е = ω_е(грамм) для каждого е в E⁺Т и каждый ${ displaystyle g in A_ {e}}$.
• е = 1 для каждого е в E⁺Т.

Эту презентацию можно переписать как

${ Displaystyle B = ast _ {v in V} A_ {v} / { rm {ncl}} { alpha _ {e} (g) = omega _ {e} (g), { текст {где}} e in E ^ {+} T, g in G_ {e} }}$

что показывает, что B повторяется объединенный бесплатный продукт групп вершин А_v.

Тогда группа грамм = π₁(А, Т) имеет представление

${ displaystyle langle B, E ^ {+} (AT) | e ^ {- 1} alpha _ {e} (g) e = omega _ {e} (g) { text {где}} e in E ^ {+} (AT), g in G_ {e} rangle,}$

что показывает, что грамм = π₁(А, Т) является кратным Расширение HNN из B стабильными буквами ${ Displaystyle {е | е в Е ^ {+} (А-Т) }}$.

Расщепления

Изоморфизм между группой грамм а фундаментальная группа графа групп называется расщепление из грамм. Если группы ребер в расщеплении происходят из определенного класса групп (например, конечных, циклических, абелевых и т. Д.), То расщепление называется расщепление этот класс. Таким образом, расщепление, при котором все группы ребер конечны, называется расщеплением над конечными группами.

Алгебраически расщепление грамм с тривиальными группами ребер соответствует разложению свободного произведения

${ Displaystyle G = ( ast A_ {v}) ast F (X)}$

куда F(Икс) это свободная группа на бесплатной основе Икс = E⁺(А−Т), состоящий из всех положительно ориентированных ребер (относительно некоторой ориентации на А) в дополнении некоторого остовного дерева Т из А.

Теорема о нормальных формах

Позволять грамм быть элементом грамм = π₁(А, Т) представленный как продукт формы

${ displaystyle g = a_ {0} e_ {1} a_ {1} dots e_ {n} a_ {n},}$

куда е₁, ..., е_п является замкнутым реберным путем в А с вершинной последовательностью v₀, v₁, ..., v_п = v₀ (то есть v₀=о(е₁), v_п = т(е_п) и v_я = т(е_я) = о(е_я+1) для 0 < я < п) и где ${ displaystyle a_ {i} in A_ {v_ {i}}}$ за я = 0, ..., п.

Предположим, что грамм = 1 дюйм грамм. потом

• либо п = 0 и а₀ = 1 дюйм ${ displaystyle A_ {v_ {0}}}$,
• или же п > 0 и есть 0 < я < п такой, что е_я+1 = е_я и ${ displaystyle a_ {i} in omega _ {e_ {i}} (A_ {e_ {i}})}$.

Из теоремы о нормальных формах сразу следует, что канонические гомоморфизмы А_v → π₁(А, Т) инъективны, так что мы можем думать о группах вершин А_v как подгруппы грамм.

Хиггинс дал хорошую версию нормальной формы, используя фундаментальную группоид графа групп.^[9] Это позволяет избежать выбора базовой точки или дерева и было использовано Муром.^[10]

Басс-Серр, покрывающий деревья

Каждому графу групп А, с указанным выбором базовой вершины можно связать Покровное дерево Басс – Серра ${ Displaystyle { тильда { mathbf {A}}}}$, дерево с натуральным групповое действие фундаментальной группы π₁(А, v) без краевых инверсий. факторный граф ${ Displaystyle { тильда { mathbf {A}}} / pi _ {1} ( mathbf {A}, v)}$ изоморфен А.

Аналогично, если грамм группа, действующая на дереве Икс без инверсии ребер (то есть так, чтобы для каждого ребра е из Икс и каждый грамм в грамм у нас есть ge ≠ е), можно определить естественное понятие фактор-граф групп А. Базовый график А из А фактор-граф X / G. Группы вершин А изоморфны стабилизаторам вершин в грамм вершин Икс и группы ребер А изоморфны реберным стабилизаторам в грамм краев Икс.

Более того, если Икс было покрывающим деревом Басса – Серра графа групп А и если грамм = π₁(А, v), то фактор-граф групп по действию грамм на Икс можно выбрать естественно изоморфным А.

Основная теорема теории Басса – Серра

Позволять грамм быть группой, действующей на дереве Икс без переворотов. Позволять А быть частным граф групп и разреши v быть базовой вершиной в А. потом грамм изоморфна группе π₁(А, v) и существует эквивариантный изоморфизм между деревом Икс и покрывающее дерево Басса – Серра ${ displaystyle { tilde { mathbf {A}}}}$. Точнее, есть групповой изоморфизм σ: грамм → π₁(А, v) и изоморфизм графов ${ displaystyle j: X to { tilde { mathbf {A}}}}$ так что для каждого грамм в грамм, для каждой вершины Икс из Икс и для каждого края е из Икс у нас есть j(gx) = грамм j(Икс) и j(ge) = грамм j(е).

Одно из непосредственных последствий полученного выше результата - классический Теорема Куроша о подгруппах описывающий алгебраическое строение подгрупп бесплатные продукты.

Примеры

Амальгамированный бесплатный продукт

Рассмотрим граф групп А состоящий из одного непетлевого края е (вместе с формальным обратным е) с двумя различными концевыми вершинами ты = о(е) и v = т(е), группы вершин ЧАС = А_ты, K = А_v, группа ребер C = А_е и граничные мономорфизмы ${ displaystyle alpha = alpha _ {e}: C to H, omega = omega _ {e}: C to K}$. потом Т = А это остовное дерево в А и фундаментальная группа π₁(А, Т) изоморфна объединенный бесплатный продукт

${ displaystyle G = H ast _ {C} K = H ast K / { rm {ncl}} { alpha (c) = omega (c), c in C }.}$

В этом случае дерево Басса – Серра ${ Displaystyle X = { тильда { mathbf {A}}}}$ можно описать следующим образом. Множество вершин Икс это набор смежные классы

${ displaystyle VX = {gK: g in G } sqcup {gH: g in G }.}$

Две вершины gK и fH соседствуют в Икс всякий раз, когда существует k ∈ K такой, что fH = gkH (или, что то же самое, когда есть час ∈ ЧАС такой, что gK = fhK).

В грамм-стабилизатор каждой вершины Икс типа gK равно гкг⁻¹ и грамм-стабилизатор каждой вершины Икс типа gH равно gHg⁻¹. Для края [gH, ghK] из Икс это грамм-стабилизатор равен ghα (C)час⁻¹грамм⁻¹.

Для каждого c ∈ C и час ∈ 'k ∈ K ' края [gH, ghK] и [gH, ghα (c)K] равны, а степень вершины gH в Икс равно индекс [ЧАС: α (C)]. Аналогично, каждая вершина типа gK имеет степень [K: ω (C)] в Икс.

Расширение HNN

Позволять А - граф групп, состоящий из одной петли-ребра е (вместе с формальным обратным е), единственная вершина v = о(е) = т(е), группа вершин B = А_v, группа ребер C = А_е и граничные мономорфизмы ${ displaystyle alpha = alpha _ {e}: C to B, omega = omega _ {e}: C to B}$. потом Т = v это остовное дерево в А и фундаментальная группа π₁(А, Т) изоморфна Расширение HNN

${ displaystyle G = langle B, e | e ^ {- 1} alpha (c) e = omega (c), c in C rangle.}$

с базовой группой B, стабильное письмо е и связанные подгруппы ЧАС = α (C), K = ω (C) в B. Сочинение ${ displaystyle phi = omega circ alpha ^ {- 1}: от H к K}$ является изоморфизмом, и указанное выше HNN-расширение представление грамм можно переписать как

${ displaystyle G = langle B, e | e ^ {- 1} he = phi (h), h in H rangle. ,}$

В этом случае дерево Басса – Серра ${ Displaystyle X = { тильда { mathbf {A}}}}$ можно описать следующим образом. Множество вершин Икс это набор смежные классы VX = {ГБ : грамм ∈ грамм}.

Две вершины ГБ и fB соседствуют в Икс всякий раз, когда существует б в B так что либо fB = gbeB или же fB = gbe⁻¹B. В грамм-стабилизатор каждой вершины Икс сопряжен с B в грамм и стабилизатор каждого края Икс сопряжен с ЧАС в грамм. Каждая вершина Икс имеет степень, равную [B : ЧАС] + [B : K].

Граф с тривиальным графом структуры групп

Позволять А быть графом групп с нижележащим графом А такая, что все группы вершин и ребер в А тривиальны. Позволять v быть базовой вершиной в А. потом π₁(А,v) равно фундаментальная группа π₁(А,v) основного графа А в стандартном смысле алгебраической топологии и покрывающего дерева Басса – Серра ${ displaystyle { tilde { mathbf {A}}}}$ соответствует стандарту универсальное перекрытие ${ displaystyle { tilde {A}}}$ из А. Более того, действие π₁(А,v) на ${ displaystyle { tilde { mathbf {A}}}}$ это в точности стандартное действие π₁(А,v) на ${ displaystyle { tilde {A}}}$ к преобразования колоды.

Основные факты и свойства

• Если А это граф групп с остовным деревом Т и если грамм = π₁(А, Т), то для каждой вершины v из А канонический гомоморфизм из А_v к грамм инъективно.
• Если грамм ∈ грамм является элементом конечного порядка, то грамм сопряжен в грамм элементу конечного порядка в некоторой вершинной группе А_v.
• Если F ≤ грамм конечная подгруппа, то F сопряжен в грамм в подгруппу некоторой вершинной группы А_v.
• Если график А конечна и все вершинные группы А_v конечны, то группа грамм является практически бесплатно, то есть, грамм содержит свободную подгруппу конечного индекса.
• Если А конечна и все группы вершин А_v находятся конечно порожденный тогда грамм конечно порожден.
• Если А конечна и все группы вершин А_v находятся конечно представленный и все группы ребер А_е конечно порождены, то грамм конечно представлено.

Тривиальные и нетривиальные действия

График групп А называется банальный если А = Т уже есть дерево и есть вершина v из А такой, что А_v = π₁(А, А). Это эквивалентно условию, что А это дерево, и для каждого ребра е = [ты, z] из А (с о(е) = ты, т(е) = z) такие, что ты ближе к v чем z у нас есть [А_z : ω_е(А_е)] = 1, то есть А_z = ω_е(А_е).

Действие группы грамм на дереве Икс без краевых инверсий называется банальный если существует вершина Икс из Икс что фиксируется грамм, то есть так, что Gx = Икс. Известно, что действие грамм на Икс тривиально тогда и только тогда, когда факторный граф групп для этого действия тривиально.

Обычно в теории Басса – Серра изучаются только нетривиальные действия на деревьях, поскольку тривиальные графы групп не несут какой-либо интересной алгебраической информации, хотя тривиальные действия в указанном выше смысле (например, действия групп автоморфизмами на корневых деревьях) также могут быть интересны для другие математические причины.

Одним из классических и до сих пор важных результатов теории является теорема Столлингса о заканчивается групп. Теорема утверждает, что a конечно порожденная группа имеет более одного конца тогда и только тогда, когда эта группа допускает нетривиальное расщепление над конечными подгруппами, то есть тогда и только тогда, когда группа допускает нетривиальное действие без инверсий на дереве с конечными стабилизаторами ребер.^[11]

Важный общий результат теории гласит, что если грамм это группа с Имущество Каждан (Т) тогда грамм не допускает никакого нетривиального расщепления, т. е. любое действие грамм на дереве Икс без инверсии ребер имеет глобальную фиксированную вершину.^[12]

Функции гиперболической длины

Позволять грамм быть группой, действующей на дереве Икс без инверсии краев.

Для каждого грамм∈грамм положить

${ Displaystyle ell _ {X} (g) = min {d (x, gx) | x in VX }.}$

потом ℓ_Икс(грамм) называется длина перевода из грамм на Икс.

Функция

${ displaystyle ell _ {X}: G to mathbf {Z}, quad g in G mapsto ell _ {X} (g)}$

называется функция гиперболической длины или функция длины перевода за действие грамм на Икс.

Основные факты о функциях гиперболической длины

• За грамм ∈ грамм верно одно из следующих утверждений:

(а) ℓ_Икс(грамм) = 0 и грамм исправляет вершину грамм. В этом случае грамм называется эллиптический элемент грамм.

(б) ℓ_Икс(грамм)> 0 и существует единственная бибесконечная вложенная прямая в Икс, называется ось из грамм и обозначен L_грамм который грамм-инвариантный. В этом случае грамм действует на L_грамм переводом величины ℓ_Икс(грамм) и элемент грамм ∈ грамм называется гиперболический.

• Если ℓ_Икс(грамм) ≠ 0, то существует единственная минимальная грамм-инвариантное поддерево Икс_грамм из Икс. Более того, Икс_грамм равна объединению осей гиперболических элементов грамм.

Функция длины ℓ_Икс : грамм → Z как говорят абелевский если это групповой гомоморфизм из грамм к Z и неабелев иначе. Точно так же действие грамм на Икс как говорят абелевский если ассоциированная гиперболическая функция длины абелева и называется неабелев иначе.

В общем, действие грамм на дереве Икс без краевых инверсий называется минимальный если нет надлежащего грамм-инвариантные поддеревья в Икс.

Важный факт теории гласит, что действия минимальных неабелевых деревьев однозначно определяются их функциями гиперболической длины:^[13]

Теорема единственности

Позволять грамм - группа с двумя неабелевыми минимальными действиями без краевых инверсий на деревьях Икс и Y. Предположим, что функции гиперболической длины ℓ_Икс и ℓ_Y на грамм равны, то есть ℓ_Икс(грамм) = ℓ_Y(грамм) для каждого грамм ∈ грамм. Тогда действия грамм на Икс и Y равны в том смысле, что существует изоморфизм графов ж : Икс → Y который грамм-эквивариантно, то есть ж(gx) = грамм ж(Икс) для каждого грамм ∈ грамм и каждый Икс ∈ VX.

Важные достижения в теории Басса – Серра

Важные достижения в теории Басса – Серра за последние 30 лет включают:

• Разные результаты доступности за конечно представленные группы которые ограничивают сложность (то есть количество ребер) в графе группового разложения конечно определенной группы, где накладываются некоторые алгебраические или геометрические ограничения на типы рассматриваемых групп. Эти результаты включают:
  • Данвуди теорема о доступность из конечно представленные группы^[14] заявляя, что для любого конечно представленная группа грамм существует ограничение на сложность разбиения грамм над конечными подгруппами (разделения необходимы для удовлетворения технического предположения о "редуцировании");
  • Бествина – Файн общая доступность теорема^[15] утверждая, что для любой конечно представленной группы грамм есть ограничение на сложность приведенных разбиений грамм над маленький подгруппы (в класс малых групп входят, в частности, все группы, не содержащие неабелевых свободных подгрупп);
  • Ацилиндрическая доступность результаты для конечно представленных (Sela,^[16] Delzant^[17]) и конечно порожденные (Weidmann^[18]) группы, ограничивающие сложность так называемых цилиндрический расщепления, то есть расщепления, в которых для их покрывающих деревьев Басса – Серра диаметры фиксированных подмножеств нетривиальных элементов G равномерно ограничены.
• Теория JSJ-разложения для конечно представленных групп. Эта теория была основана на классическом понятии Разложение JSJ в Топология 3-многообразия и был инициирован в контексте словесно-гиперболические группы, по работе Sela. Разложения JSJ - это разбиения конечно определенных групп над некоторыми классами маленький подгруппы (циклические, абелевы, нётеровы и т. д., в зависимости от версии теории), которые обеспечивают каноническое описание в терминах некоторых стандартных ходов всех расщеплений группы над подгруппами класса. Существует несколько версий теорий JSJ-декомпозиции:
  • Начальная версия Sela для циклических расщеплений без кручения словесно-гиперболические группы.^[19]
  • Bowditch's версия теории JSJ для словесно-гиперболических групп (с возможным кручением), кодирующая их разбиения по виртуально циклическим подгруппам.^[20]
  • Версия Рипса и Села JSJ-разложений без кручения конечно представленные группы кодирование их разбиений на свободные абелевы подгруппы.^[21]
  • Версия Данвуди и Сагеева JSJ-разложений конечно представленные группы над нётеровыми подгруппами.^[22]
  • Версия Фудзивары и Папасоглу, а также JSJ-разложения конечно представленные группы над нётеровы подгруппы.^[23]
  • Версия теории разложения JSJ для конечно представленные группы разработан Скоттом и Сварупом.^[24]

• Теория решеток в группах автоморфизмов деревьев. Теория решетки из дерева был разработан Bass, Kulkarni и Любоцкий^[25][26] по аналогии с теорией решетки в Группы Ли (то есть дискретные подгруппы Группы Ли конечного совместного объема). Для дискретной подгруппы грамм группы автоморфизмов локально конечного дерева Икс можно определить естественное понятие объем для факторный граф групп А в качестве

${ displaystyle vol ( mathbf {A}) = sum _ {v in V} { frac {1} {| A_ {v} |}}.}$

Группа грамм называется Х-решетка если vol (А) <∞. Теория решеток деревьев оказывается полезной при изучении дискретных подгрупп алгебраические группы над неархимедовы локальные поля и в изучении Группы Каца – Муди.

• Разработка сверток и методов Нильсена для аппроксимации групповых действий на деревьях и анализа их подгрупповой структуры.^{[15][18][27][28]}
• Теория концов и относительных концов групп, в частности различные обобщения теоремы Столлингса о группах с более чем одним концом.^[29][30][31]
• Результаты о квазиизометрической жесткости для групп, действующих на деревьях.^[32]

Обобщения

Было несколько обобщений теории Басса – Серра:

• Теория комплексы групп (см. Haefliger,^[33] Корсон^[34] Бридсон-Хефлигер^[35]) обеспечивает многомерное обобщение теории Басса – Серра. Понятие о граф групп заменяется на комплекс групп, где группы назначены каждой клетке симплициального комплекса вместе с мономорфизмами между этими группами, соответствующими включениям граней (эти мономорфизмы требуются для выполнения определенных условий совместимости). Затем можно определить аналог фундаментальной группы графа групп для комплекса групп. Однако для того, чтобы это понятие имело хорошие алгебраические свойства (например, встраиваемость в него групп вершин) и чтобы в этом контексте существовал хороший аналог понятия покрывающего дерева Басса – Серра, необходимо потребовать своего рода условие «неположительной кривизны» для рассматриваемого комплекса групп (см., например, ^[36][37]).
• Теория действий изометрических групп на настоящие деревья (или же р-деревья), которые метрические пространства обобщая теоретико-графическое понятие дерево (теория графов). Теория была разработана в основном в 1990-х годах, когда Разрывает машину из Элияху Рипс по теории строения стабильный групповые действия на р-деревья сыграли ключевую роль (см. Bestvina-Feighn^[38]). Эта структурная теория сопоставляет стабильное изометрическое действие конечно порожденной группы грамм определенное приближение "нормальной формы" этого действия устойчивым действием грамм на симплициальном дереве и, следовательно, расщепление грамм в смысле теории Басса – Серра. Групповые действия на настоящие деревья возникают естественно в нескольких контекстах в геометрическая топология: например, как граничные точки Пространство Тейхмюллера^[39] (Каждая точка на границе Терстона пространства Тейхмюллера представлена ​​измеренным геодезическим слоем на поверхности; эта слоистость поднимается до универсального покрытия поверхности, и естественно двойственный объект к этому лифту является р-дерево, наделенное изометрическим действием фундаментальной группы поверхности), как Пределы Громова-Хаусдорфа из, с соответствующим изменением масштаба, Клейнианская группа действия,^[40][41] и так далее. Использование р-деревья обеспечивают существенные сокращения в современных доказательствах Теорема Терстона о гиперболизации за 3-многообразия Хакена.^[41][42] По аналогии, р-деревья играют ключевую роль в изучении Каллер -Фогтманн космическое пространство^[43][44] а также в других областях геометрическая теория групп; Например, асимптотические конусы групп часто имеют древовидную структуру и приводят к групповым действиям на настоящие деревья.^[45][46] Использование р-деревья вместе с теорией Басса – Серра являются ключевым инструментом в работе Селы по решению проблемы изоморфизма для (без кручения) словесно-гиперболические группы, Версия Селы теории JSJ-разложения и работа Селы по гипотезе Тарского для свободных групп и теории ограничить группы.^[47][48]
• Теория групповых действий на Λ-деревья, куда Λ заказанный абелева группа (Такие как р или же Z) обеспечивает дальнейшее обобщение как теории Басса – Серра, так и теории групповых действий на р-деревья (см. Морган,^[49] Альперин-Басс,^[13] Chiswell^[50]).

Смотрите также

• Геометрическая теория групп

Рекомендации