Полициклическая группа - Википедия - Polycyclic group

В математика, а полициклическая группа это разрешимая группа который удовлетворяет условию максимума на подгруппы (то есть каждая подгруппа конечно порожденный ). Полициклические группы конечно представленный, что делает их интересными с вычислительной точки зрения.

Терминология

Эквивалентно группа грамм полицикличен тогда и только тогда, когда он допускает субнормальный ряд с циклическими факторами, то есть конечный набор подгрупп, скажем грамм₀, ..., грамм_п такой, что

грамм₀ совпадает с грамм
грамм_п тривиальная подгруппа
грамм_я+1 нормальная подгруппа грамм_я (для каждого я от 0 до п - 1)
и фактор-группа грамм_я / грамм_я+1 это циклическая группа (для каждого я от 0 до п - 1)

А метациклическая группа полициклическая группа с п ≤ 2, или другими словами расширение циклической группы на циклическую группу.

Примеры

Примеры полициклических групп включают конечно порожденные абелевы группы, конечно порожденные нильпотентный группы и конечные разрешимые группы. Анатолий Мальцев доказал, что разрешимые подгруппы целого общая линейная группа полициклические; и позже Луи Ауслендер (1967) и Суон доказали обратное, что любая полициклическая группа с точностью до изоморфизма является группой целочисленных матриц.^[1] В голоморф полициклической группы также является такой группой целочисленных матриц.^[2]

Сильно полициклические группы

Группа грамм как говорят сильно полициклический, если он полициклический, с дополнительным условием, что каждый грамм_я / грамм_я+1 является бесконечно циклический. Ясно, что сильно полициклическая группа полициклическая. Кроме того, любая подгруппа сильно полициклической группы является сильно полициклической.

Почти полициклические группы

А практически полициклическая группа группа, имеющая полициклическую подгруппу конечного индекс, пример виртуальный свойство. Такая группа обязательно имеет нормальный полициклическая подгруппа конечного индекса, поэтому такие группы также называются почти полициклические группы. Хотя конечные полициклические группы не обязательно должны быть разрешимыми, они все же обладают многими свойствами конечности полициклических групп; например, они удовлетворяют условию максимума, они конечно представимы и финитно аппроксимируемая.

В учебнике (Скотт 1964, Гл 7.1) и некоторые документы, М-группа относится к тому, что сейчас называется полициклическимк -конечная группа, которая по теореме Хирша также может быть выражена как группа, имеющая субнормальный ряд конечной длины, каждый фактор которого является конечной группой или бесконечным циклическая группа.

Эти группы особенно интересны, потому что они - единственные известные примеры Нётерян групповые кольца (Иванов 1989 ) или групповые кольца конечной инъективной размерности.^{[нужна цитата ]}

Длина Хирша

В Длина Хирша или же Число Хирша полициклической группы грамм - количество бесконечных сомножителей в его субнормальном ряду.

Если грамм является почти полициклической группой, то длина Хирша группы грамм - длина Хирша полициклического нормальная подгруппа ЧАС из грамм, куда ЧАС имеет конечный индекс в грамм. Это не зависит от выбора подгруппы, так как все такие подгруппы будут иметь одинаковую длину Хирша.

Смотрите также

Примечания

^ Дмитрий Алексеевич Супруненко, К. А. Хирш, Матричные группы (1976), стр. 174–5; Google Книги.
^ «Полициклическая группа», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Дмитрий Алексеевич Супруненко, К. А. Хирш, Матричные группы (1976), стр. 174–5; Google Книги.

[2] «Полициклическая группа», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

[1]

[2]