Полный набор коммутирующих наблюдаемых - Complete set of commuting observables

В квантовая механика, а полный набор коммутирующих наблюдаемых (CSCO) представляет собой набор поездка на работу операторы чья собственные значения полностью указать штат системы.^[1]

Поскольку каждая пара наблюдаемых в наборе коммутирует, все наблюдаемые совместимы, так что измерение одной наблюдаемой не влияет на результат измерения другой наблюдаемой в наборе. Поэтому это не необходимо указать порядок, в котором измеряются различные наблюдаемые. Измерение полного набора наблюдаемых представляет собой полное измерение в том смысле, что оно проецирует квантовое состояние системы на единственный известный вектор в базисе, определяемом набором операторов. То есть, чтобы подготовить полностью заданное состояние, мы должны взять любое состояние произвольно, а затем выполнить последовательность измерений, соответствующих всем наблюдаемым в наборе, пока оно не станет однозначно заданным вектором в Гильбертово пространство.

Теорема совместимости

Давайте иметь две наблюдаемые, ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$, представлена ${ displaystyle { hat {A}}}$ и ${ displaystyle { hat {B}}}$. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1. ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ являются совместимыми наблюдаемыми.
2. ${ displaystyle { hat {A}}}$ и ${ displaystyle { hat {B}}}$ имеют общую собственную основу.
3. Операторы ${ displaystyle { hat {A}}}$ и ${ displaystyle { hat {B}}}$ находятся поездка на работу, это, ${ displaystyle [{ hat {A}}, { hat {B}}] = 0}$.

Доказательства

Доказательство коммутации совместимых наблюдаемых.

Позволять ${ displaystyle {| psi _ {n} rangle }}$ быть полным набором общих собственных наборов двух совместимых наблюдаемых ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$, соответствующие множествам ${ Displaystyle {а_ {п} }}$ и ${ displaystyle {b_ {n} }}$ соответственно. Тогда мы можем написать ${ displaystyle AB | psi _ {n} rangle = Ab_ {n} | psi _ {n} rangle = a_ {n} b_ {n} | psi _ {n} rangle = b_ {n} a_ {n} | psi _ {n} rangle = BA | psi _ {n} rangle}$ Теперь мы можем раскрыть любое произвольное состояние ket ${ displaystyle | Psi rangle}$ в комплекте ${ displaystyle {| psi _ {n} rangle }}$ так как ${ Displaystyle | Psi rangle = sum _ {n} c_ {n} | psi _ {n} rangle}$ Итак, используя результат выше, мы видим, что ${ Displaystyle (AB-BA) | Psi rangle = sum _ {n} c_ {n} (AB-BA) | psi _ {n} rangle = 0}$ Из этого следует ${ displaystyle [A, B] = 0}$, что означает, что два оператора коммутируют.

Доказательство того, что коммутирующие наблюдаемые обладают полным набором общих собственных функций.

Когда ${ displaystyle A}$ имеет невырожденный собственные значения: Позволять ${ displaystyle {| psi _ {n} rangle }}$ быть полным набором собственных наборов ${ displaystyle A}$ соответствующий набору собственных значений ${ Displaystyle {а_ {п} }}$.Если операторы ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ ездить на работу, мы можем написать ${ Displaystyle A (B | psi _ {n} rangle) = BA | psi _ {n} rangle = a_ {n} (B | psi _ {n} rangle)}$ Итак, можно сказать, что ${ displaystyle B | psi _ {n} rangle}$ является собственным набором ${ displaystyle A}$ соответствующему собственному значению ${ displaystyle a_ {n}}$. Поскольку оба ${ displaystyle B | psi _ {n} rangle}$ и ${ displaystyle | psi _ {n} rangle}$ - собственные наборы, связанные с одним и тем же невырожденным собственным значением ${ displaystyle a_ {n}}$, они могут отличаться максимум на мультипликативную константу. Мы называем эту константу ${ displaystyle b_ {n}}$. Так, ${ Displaystyle B | psi _ {n} rangle = b_ {n} | psi _ {n} rangle}$ , что значит ${ displaystyle | psi _ {n} rangle}$ является собственным набором ${ displaystyle B}$, и, следовательно, ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ одновременно. Когда ${ displaystyle A}$ имеет выродиться собственные значения: Мы полагаем ${ displaystyle a_ {n}}$ является ${ displaystyle g}$ -кратно вырожденные. Пусть соответствующие линейно независимый собственные сети ${ displaystyle | psi _ {nr} rangle, (r = 1,2, ... g)}$поскольку ${ displaystyle [A, B] = 0}$, мы рассуждаем, как указано выше, чтобы найти ${ displaystyle B | psi _ {nr} rangle}$ является собственным набором ${ displaystyle A}$ соответствующий выродиться собственное значение ${ displaystyle a_ {n}}$. Итак, мы можем расширить ${ displaystyle B | psi _ {nr} rangle}$ в базисе вырожденных собственных наборов ${ displaystyle a_ {n}}$: ${ Displaystyle B | psi _ {nr} rangle = sum _ {s = 1} ^ {g} c_ {rs} | psi _ {ns} rangle}$ В ${ displaystyle c_ {rs}}$ - коэффициенты разложения. просуммируем по всем ${ displaystyle r}$ с участием ${ displaystyle g}$ константы ${ displaystyle d_ {r}}$. Так, ${ displaystyle B sum _ {r = 1} ^ {g} d_ {r} | psi _ {nr} rangle = sum _ {r = 1} ^ {g} sum _ {s = 1} ^ {g} d_ {r} c_ {rs} | psi _ {ns} rangle}$ Так, ${ displaystyle sum _ {r = 1} ^ {g} d_ {r} | psi _ {nr} rangle}$ будет собственным набором ${ displaystyle B}$ с собственным значением ${ displaystyle b_ {n}}$ если у нас есть ${ displaystyle sum _ {r = 1} ^ {g} d_ {r} c_ {rs} = b_ {n} d_ {s}, s = 1,2, ... g}$ Это составляет систему ${ displaystyle g}$ линейные уравнения для констант ${ displaystyle d_ {r}}$. Нетривиальное решение существует, если ${ displaystyle det [c_ {rs} -b_ {n} delta _ {rs}] = 0}$ Это уравнение порядка ${ displaystyle g}$ в ${ displaystyle b_ {n}}$, и имеет ${ displaystyle g}$ корни. Для каждого корня ${ displaystyle b_ {n} = b_ {n} ^ {(k)}, k = 1,2, ... g}$ у нас есть ценность ${ displaystyle d_ {r}}$, сказать, ${ displaystyle d_ {r} ^ {(k)}}$. Теперь кет ${ displaystyle | phi _ {n} ^ {(k)} rangle = sum _ {r = 1} ^ {g} d_ {r} ^ {(k)} | psi _ {nr} rangle }$ одновременно является собственным набором ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ с собственными значениями ${ displaystyle a_ {n}}$ и ${ displaystyle b_ {n} ^ {(k)}}$ соответственно.

Обсуждение

Мы рассматриваем две указанные выше наблюдаемые ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$. Предположим, что существует полный набор кетов ${ displaystyle {| psi _ {n} rangle }}$ каждый элемент которого одновременно является собственным набором ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$. Затем мы говорим, что ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ находятся совместимый. Если обозначить собственные значения ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ соответствующий ${ displaystyle | psi _ {n} rangle}$ соответственно ${ displaystyle a_ {n}}$ и ${ displaystyle b_ {n}}$, мы можем написать

${ Displaystyle A | psi _ {n} rangle = a_ {n} | psi _ {n} rangle}$

${ Displaystyle B | psi _ {n} rangle = b_ {n} | psi _ {n} rangle}$

Если система находится в одном из собственных состояний, скажем, ${ displaystyle | psi _ {n} rangle}$, то оба ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ может быть одновременно измеряется с любым произвольным уровнем точности, и мы получим результат ${ displaystyle a_ {n}}$ и ${ displaystyle b_ {n}}$ соответственно. Эту идею можно распространить на более чем две наблюдаемые.

Примеры совместимых наблюдаемых

Декартовы компоненты оператора позиции ${ displaystyle mathbf {r}}$ находятся ${ displaystyle x}$, ${ displaystyle y}$ и ${ displaystyle z}$. Все эти компоненты совместимы. Аналогично декартовы компоненты оператора импульса ${ displaystyle mathbf {p}}$, это ${ displaystyle p_ {x}}$, ${ displaystyle p_ {y}}$ и ${ displaystyle p_ {z}}$ также совместимы.

Формальное определение

Набор наблюдаемых ${ displaystyle A, B, C ...}$ называется CSCO, если:

1. Все наблюдаемые коммутируют попарно.
2. Если мы укажем собственные значения всех операторов в CSCO, мы идентифицируем уникальный собственный вектор в гильбертовом пространстве системы.

Если нам дан CSCO, мы можем выбрать базис для пространства состояний, состоящего из общих собственных векторов соответствующих операторов. Мы можем однозначно идентифицировать каждый собственный вектор по набору собственных значений, которым он соответствует.

Обсуждение

У нас есть оператор ${ displaystyle { hat {A}}}$ наблюдаемого ${ displaystyle A}$, в котором есть все невырожденный собственные значения ${ Displaystyle {а_ {п} }}$. В результате каждому собственному значению соответствует одно уникальное собственное состояние, что позволяет нам помечать их соответствующими собственными значениями. Например, собственное состояние ${ displaystyle { hat {A}}}$ соответствующему собственному значению ${ displaystyle a_ {n}}$ можно обозначить как ${ displaystyle | a_ {n} rangle}$. Такая наблюдаемая сама по себе является самодостаточным CSCO.

Однако если некоторые из собственных значений ${ displaystyle a_ {n}}$ находятся выродиться (например, наличие вырожденные уровни энергии ), то приведенный выше результат перестает быть верным. В таком случае нам нужно различать собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению. Для этого вводится вторая наблюдаемая (назовем ее ${ displaystyle B}$), который совместим с ${ displaystyle A}$. Теорема совместимости говорит нам, что общий базис собственных функций ${ displaystyle { hat {A}}}$ и ${ displaystyle { hat {B}}}$ может быть найден. Теперь, если каждая пара собственных значений ${ displaystyle (a_ {n}, b_ {n})}$ однозначно определяет вектор состояния этого базиса, мы утверждаем, что сформировали CSCO: набор ${ Displaystyle {А, В }}$. Вырождение в ${ displaystyle { hat {A}}}$ полностью удален.

Тем не менее может случиться так, что вырождение полностью не снято. То есть существует хотя бы одна пара ${ displaystyle (a_ {n}, b_ {n})}$ который не идентифицирует однозначно один собственный вектор. В этом случае мы повторяем описанный выше процесс, добавляя еще одну наблюдаемую ${ displaystyle C}$, который совместим с обоими ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$. Если на основе общих собственных функций ${ displaystyle { hat {A}}}$, ${ displaystyle { hat {B}}}$ и ${ displaystyle { hat {C}}}$ уникально, то есть однозначно задается набором собственных значений ${ displaystyle (a_ {n}, b_ {n}, c_ {n})}$, то мы сформировали CSCO: ${ Displaystyle {А, В, С }}$. Если нет, мы добавляем еще одну совместимую наблюдаемую и продолжаем процесс до получения CSCO.

Одно и то же векторное пространство может иметь разные полные наборы коммутирующих операторов.

Предположим, нам дан конечный CSCO ${ Displaystyle {А, В, С, ..., }}$. Тогда мы можем разложить любое общее состояние в гильбертовом пространстве как

${ displaystyle | psi rangle = sum _ {i, j, k, ...} { mathcal {C}} _ ​​{i, j, k, ...} | a_ {i}, b_ { j}, c_ {k}, ... rangle}$

где ${ displaystyle | a_ {i}, b_ {j}, c_ {k}, ... rangle}$ - собственные наборы операторов ${ displaystyle { hat {A}}, { hat {B}}, { hat {C}}}$, и образуют базисное пространство. Это,

${ displaystyle { hat {A}} | a_ {i}, b_ {j}, c_ {k}, ... rangle = a_ {i} | a_ {i}, b_ {j}, c_ {k }, ... rangle}$, так далее

Если мы измеряем ${ displaystyle A, B, C, ...}$ в состоянии ${ displaystyle | psi rangle}$ то вероятность того, что мы одновременно измеряем ${ displaystyle a_ {i}, b_ {j}, c_ {k}, ...}$ дан кем-то ${ displaystyle | { mathcal {C}} _ ​​{я, j, k, ...} | ^ {2}}$.

Для полного набора коммутирующих операторов мы можем найти уникальное унитарное преобразование, которое будет одновременно диагонализировать все они. Если таких унитарных преобразований несколько, то можно сказать, что набор еще не завершен.

Примеры

Атом водорода

Две компоненты оператора углового момента ${ displaystyle mathbf {L}}$ не коммутируют, но удовлетворяют коммутационным соотношениям:

${ displaystyle [L_ {i}, L_ {j}] = i hbar epsilon _ {ijk} L_ {k}}$

Таким образом, любой CSCO не может включать более одного компонента ${ displaystyle mathbf {L}}$. Можно показать, что квадрат оператора углового момента ${ displaystyle L ^ {2}}$, ездит с ${ displaystyle mathbf {L}}$.

${ displaystyle [L_ {x}, L ^ {2}] = 0, [L_ {y}, L ^ {2}] = 0, [L_ {z}, L ^ {2}] = 0}$

Так же Гамильтониан ${ displaystyle { hat {H}} = - { frac { hbar ^ {2}} {2 mu}} nabla ^ {2} - { frac {Ze ^ {2}} {r}} }$ является функцией ${ displaystyle r}$ только и имеет вращательную инвариантность, где ${ displaystyle mu}$ приведенная масса системы. Поскольку компоненты ${ displaystyle mathbf {L}}$ являются генераторами вращения, можно показать, что

${ displaystyle [ mathbf {L}, H] = 0, [L ^ {2}, H] = 0}$

Следовательно, коммутирующее множество состоит из ${ displaystyle L ^ {2}}$, один компонент ${ displaystyle mathbf {L}}$ (который считается ${ displaystyle L_ {z}}$) и ${ displaystyle H}$. Решение проблемы говорит нам, что без учета спина электронов множество ${ displaystyle {H, L ^ {2}, L_ {z} }}$ образует CSCO. Позволять ${ displaystyle | E_ {n}, l, m rangle}$ - любое базисное состояние в гильбертовом пространстве водородного атома. потом

${ Displaystyle H | E_ {n}, l, m rangle = E_ {n} | E_ {n}, l, m rangle}$

${ Displaystyle L ^ {2} | E_ {n}, l, m rangle = l (l + 1) hbar ^ {2} | E_ {n}, l, m rangle}$

${ displaystyle L_ {z} | E_ {n}, l, m rangle = m hbar | E_ {n}, l, m rangle}$

То есть набор собственных значений ${ displaystyle {E_ {n}, l, m }}$ или проще, ${ Displaystyle {п, л, м }}$ полностью определяет уникальное собственное состояние атома водорода.

Свободная частица

Для свободная частица, гамильтониан ${ displaystyle H = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2}}$ инвариантен относительно переводов. Перевод коммутирует с гамильтонианом: ${ displaystyle [H, mathbf { hat {T}}] = 0}$. Однако, если мы выразим гамильтониан в базисе оператора сдвига, мы обнаружим, что ${ displaystyle H}$ имеет дважды вырожденные собственные значения. Можно показать, что для создания CSCO в этом случае нам нужен другой оператор, называемый паритет оператор ${ displaystyle Pi}$, так что ${ displaystyle [H, Pi] = 0}$.${ displaystyle {H, Pi }}$ образует CSCO.

Опять же, пусть ${ displaystyle | к rangle}$ и ${ displaystyle | -k rangle}$ быть выродиться собственные состояния ${ displaystyle H}$соответствующее собственное значение ${ displaystyle H_ {k} = { frac {{ hbar ^ {2}} {k ^ {2}}} {2m}}}$, т.е.

${ displaystyle H | k rangle = { frac {{ hbar ^ {2}} {k ^ {2}}} {2m}} | k rangle}$

${ displaystyle H | -k rangle = { frac {{ hbar ^ {2}} {k ^ {2}}} {2m}} | -k rangle}$

Вырождение в ${ displaystyle H}$ удаляется оператором импульса ${ displaystyle mathbf { hat {p}}}$.

${ displaystyle mathbf { hat {p}} | k rangle = k | k rangle}$

${ displaystyle mathbf { hat {p}} | -k rangle = -k | -k rangle}$

Так, ${ displaystyle { mathbf { hat {p}}, H }}$ образует CSCO.

Сложение угловых моментов

Мы рассматриваем случай двух систем 1 и 2 с соответствующими операторами углового момента ${ displaystyle mathbf {J_ {1}}}$ и ${ displaystyle mathbf {J_ {2}}}$. Мы можем записать собственные состояния ${ displaystyle J_ {1} ^ {2}}$ и ${ displaystyle J_ {1z}}$ так как ${ displaystyle | j_ {1} m_ {1} rangle}$ и из ${ displaystyle J_ {2} ^ {2}}$ и ${ displaystyle J_ {2z}}$ так как ${ displaystyle | j_ {2} m_ {2} rangle}$.

${ displaystyle J_ {1} ^ {2} | j_ {1} m_ {1} rangle = j_ {1} (j_ {1} +1) hbar ^ {2} | j_ {1} m_ {1} rangle}$

${ Displaystyle J_ {1z} | j_ {1} m_ {1} rangle = m_ {1} hbar | j_ {1} m_ {1} rangle}$

${ displaystyle J_ {2} ^ {2} | j_ {2} m_ {2} rangle = j_ {2} (j_ {2} +1) hbar ^ {2} | j_ {2} m_ {2} rangle}$

${ Displaystyle J_ {2z} | j_ {2} m_ {2} rangle = m_ {2} hbar | j_ {2} m_ {2} rangle}$

Тогда базисные состояния полной системы равны ${ displaystyle | j_ {1} m_ {1}; j_ {2} m_ {2} rangle}$ данный

${ displaystyle | j_ {1} m_ {1}; j_ {2} m_ {2} rangle = | j_ {1} m_ {1} rangle otimes | j_ {2} m_ {2} rangle}$

Следовательно, для полной системы набор собственных значений ${ Displaystyle {j_ {1}, m_ {1}, j_ {2}, m_ {2} }}$ полностью определяет уникальное базовое состояние, и ${ displaystyle {J_ {1} ^ {2}, J_ {1z}, J_ {2} ^ {2}, J_ {2z} }}$ образует CSCO. Эквивалентно существует другой набор базисных состояний для системы в терминах оператора полного углового момента ${ Displaystyle mathbf {J} = mathbf {J_ {1}} + mathbf {J_ {2}}}$. Собственные значения ${ displaystyle J ^ {2}}$ находятся ${ Displaystyle J (J + 1) HBAR ^ {2}}$ где ${ displaystyle j}$ принимает ценности ${ displaystyle j_ {1} + j_ {2}, j_ {1} + j_ {2} -1, ..., | j_ {1} -j_ {2} |}$, и те из ${ displaystyle J_ {z}}$ находятся ${ displaystyle m}$ где ${ Displaystyle м = -j, -j + 1, ... j-1, j}$. Базовые состояния операторов ${ displaystyle J ^ {2}}$ и ${ displaystyle J_ {z}}$ находятся ${ displaystyle | j_ {1} j_ {2}; jm rangle}$. Таким образом, мы также можем указать уникальное базисное состояние в гильбертовом пространстве полной системы с помощью набора собственных значений ${ Displaystyle {j_ {1}, j_ {2}, j, m }}$, а соответствующий CSCO - ${ Displaystyle {J_ {1} ^ {2}, J_ {2} ^ {2}, J ^ {2}, J_ {z} }}$.

Смотрите также

• Квантовое число
  • Хорошее квантовое число
• Вырожденные уровни энергии
• Математическая структура квантовой механики
• Операторы в квантовой механике
• Каноническое коммутационное отношение
• Измерение в квантовой механике
• Коллапс волновой функции
• Угловой момент (квантовая механика)

использованная литература

• Гасиорович, Стивен (1974), Квантовая физика, Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, ISBN  978-0-471-29281-4.
• Таннуджи, Клод; Диу, Бернард; Лалоэ, Франк (1977). Квантовая механика. 1. Нью-Йорк: Вили. ISBN  978-0-471-16433-3. OCLC  2089460.
• Таннуджи, Клод; Диу, Бернард; Лалоэ, Франк (1977). Квантовая механика. 2. Нью-Йорк: Вили. ISBN  978-0-471-16435-7. OCLC  45727993.
• Дирак, П.А. (1958). Принципы квантовой механики. Оксфорд: Clarendon Press. ISBN  978-0-19-851208-0. OCLC  534829.
• Р. П. Фейнман, Р. Б. Лейтон и М. Сэндс: Лекции Фейнмана по физике, Эддисон-Уэсли, 1965 г.
• Р. Шанкар, Принципы квантовой механики, Второе издание, Springer (1994).
• Джей Джей Сакураи, Современная квантовая механика, Пересмотренное издание, Пирсон (1994).
• Б. Х. Брансден и К. Дж. Иоахейн, Квантовая механика, Второе издание, Pearson Education Limited, 2000.
• Для обсуждения теоремы совместимости, лекции Школа физики и астрономии Эдинбургского университета. http://www2.ph.ed.ac.uk/~ldeldebb/docs/QM/lect2.pdf.
• Слайд о CSCO в лекциях профессора С. Гупты, Институт фундаментальных исследований Тата, Мумбаи. http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand3.pdf
• Раздел о свободных частицах в лекциях профессора С. Гупты, Институт фундаментальных исследований Тата, Мумбаи. http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand6.pdf