Хорошее квантовое число - Good quantum number

В квантовая механика с учетом конкретного Гамильтониан ${ displaystyle H}$ и оператор ${ displaystyle O}$ с соответствующими собственные значения и собственные векторы данный ${ displaystyle O | q_ {j} rangle = q_ {j} | q_ {j} rangle}$ , то числа (или собственные значения) ${ displaystyle q_ {j}}$ как говорят хорошие квантовые числа если каждый собственный вектор ${ displaystyle | q_ {j} rangle}$ остается собственным вектором ${ displaystyle O}$ с тем же собственным значением со временем.

Следовательно, если: ${ Displaystyle O | q_ {j} rangle = O sum _ {k} c_ {k, j} (0) | e_ {k} rangle = q_ {j} | q_ {j} rangle}$

тогда мы требуем

{ displaystyle O sum _ {k} c_ {k, j} (0) exp (-ie_ {k} t / hbar) , | e_ {k} rangle = q_ {j} sum _ { k} c_ {k, j} (0) exp (-ie_ {k} t / hbar) , | e_ {k} rangle}

для всех собственных векторов ${ displaystyle | q_ {j} rangle}$ чтобы позвонить ${ displaystyle q}$ хорошее квантовое число (где ${ displaystyle | e_ {k} rangle}$ песок ${ displaystyle e_ {k}}$ s представляют собой собственные векторы и собственные значения гамильтониана соответственно).

Другими словами, собственные значения ${ displaystyle q_ {j}}$ являются хорошими квантовыми числами, если соответствующий оператор ${ displaystyle O}$ - постоянная движения (коммутирует с эволюцией во времени). Хорошие квантовые числа часто используются для обозначения начального и конечного состояний в экспериментах. Например, в коллайдерах частиц:

1. Первоначально частицы готовятся в приближенных собственных состояниях импульса; импульс частицы является хорошим квантовым числом для невзаимодействующих частиц.

2. Частицы вынуждены сталкиваться. В этот момент импульс каждой частицы претерпевает изменение, и, следовательно, импульсы частиц не являются хорошим квантовым числом для взаимодействующих частиц во время столкновения.

3. Через значительное время после столкновения частицы измеряются в собственных состояниях импульса. Импульс каждой частицы стабилизировался и снова является хорошим квантовым числом спустя долгое время после столкновения.

Теорема: Необходимое и достаточное условие для ${ displaystyle q}$ (которое является собственным значением оператора O) быть хорошим, если ${ displaystyle O}$ коммутирует с гамильтонианом ${ displaystyle H}$ .

Доказательство:Предполагать ${ Displaystyle [О, , Н] = 0}$ .

Если

{ displaystyle | psi _ {0} rangle}

является собственным вектором

{ displaystyle O}

, то имеем (по определению), что

{ displaystyle O | psi _ {0} rangle = q_ {j} | psi _ {0} rangle}

, и так :

{ Displaystyle O | psi _ {t} rangle = O , T (t) , | psi _ {0} rangle}

{ displaystyle = Oe ^ {- itH / hbar} | psi _ {0} rangle}

{ displaystyle = O sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {n!}} (- iHt / hbar) ^ {n} | psi _ {0} rangle}

{ displaystyle = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {n!}} (- iHt / hbar) ^ {n} O | psi _ {0} rangle}

{ displaystyle = q_ {j} | psi _ {t} rangle. quad square}

Теорема Эренфеста и хорошие квантовые числа

В Теорема Эренфеста^[1] дает скорость изменения ожидаемое значение операторов. Он гласит:

{ displaystyle { frac {d} {dt}} langle A (t) rangle = left langle { frac { partial A (t)} { partial t}} right rangle + { гидроразрыв {1} {i hbar}} langle [A (t), H] rangle}

Часто встречающиеся операторы не зависят явно от времени. Если такие операторы коммутируют с Гамильтониан, то их математическое ожидание остается постоянным со временем. Теперь, если система находится в одном из общих собственные состояния оператора ${ displaystyle A}$ (и ${ displaystyle H}$ тоже), то система остается в этом собственном состоянии с течением времени. Любое измерение количества ${ displaystyle A}$ даст нам собственное значение (или хорошее квантовое число), связанное с собственными состояниями, в которых находится частица. Это на самом деле заявление о сохранении в квантовой механике, и более подробно будет рассмотрено ниже.

Сохранение в квантовой механике

Случай I: более сильное заявление о сохранении: когда система находится в одном из общих собственных состояний ${ displaystyle H}$ и ${ displaystyle A}$

Позволять ${ displaystyle A}$ быть оператор который ездит на работу с Гамильтониан ${ displaystyle H}$ . Это означает, что у нас могут быть общие собственные состояния ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle H}$ .^[2] Предположим, что наша система находится в одном из этих общих собственных состояний. Если измерить ${ displaystyle A}$ , это определенно даст собственное значение ${ displaystyle A}$ (хорошее квантовое число). Кроме того, это хорошо известный результат, что собственное состояние гамильтониана есть стационарное состояние,^[3] это означает, что даже если системе дать развиваться в течение некоторого времени до проведения измерения, она все равно будет давать то же собственное значение.^[4] Следовательно, если наша система находится в общем собственном состоянии, ее собственные значения A (хорошие квантовые числа) не изменятся со временем.

Вывод: Если ${ textstyle [A, H] = 0}$ и система находится в общем собственном состоянии ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle H}$ , собственные значения ${ displaystyle A}$ (хорошие квантовые числа) не меняются со временем.

Случай II: более слабое заявление о сохранении: когда система не находится ни в одном из общих собственных состояний ${ displaystyle H}$ и ${ displaystyle A}$

Как предполагается в случае I, ${ textstyle [A, H] = 0}$ . Но теперь система не находится ни в одном из общих собственных состояний ${ displaystyle H}$ и ${ displaystyle A}$ . Так что система должна быть в каком-то линейная комбинация базиса, образованного общими собственными состояниями ${ displaystyle H}$ и ${ displaystyle A}$ . Когда измерение ${ displaystyle A}$ сделано, он может дать любое из собственных значений ${ displaystyle A}$ . И тогда, если любое количество последующих измерений ${ displaystyle A}$ сделаны, они обязательно принесут тот же результат. В этом случае справедливо (более слабое) утверждение о сохранении: Теорема Эренфеста, ${ textstyle [A, H] = 0}$ явно не зависит от времени:

${ displaystyle { frac {d} {dt}} langle A rangle = left langle { frac { partial A} { partial t}} right rangle + { frac {1} {i hbar}} langle [A, H] rangle = 0}$
Это говорит о том, что ожидаемое значение из ${ displaystyle A}$ остается неизменным во времени.^[5] Когда измерение снова и снова выполняется в идентичных системах, оно обычно дает разные значения, но ожидаемое значение остается постоянным. Это более слабое условие сохранения, чем в случае, когда наша система была общим собственным состоянием ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle H}$ : Собственные значения ${ displaystyle A}$ не гарантируется, что остается постоянным, только его ожидаемое значение.

Вывод: Если ${ textstyle [A, H] = 0}$ , ${ displaystyle A}$ не зависит явно от времени, и система не находится в общем собственном состоянии ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle H}$ , математическое ожидание ${ displaystyle A}$ сохраняется, но сохранение собственных значений ${ displaystyle A}$ не обеспечивается.

Аналогия с классической механикой

В классическая механика, Общая производная по времени физического количества ${ displaystyle A}$ дается как:^[6]

{ displaystyle { frac {dA} {dt}} = { frac { partial A} { partial t}} + {A, H }}

где фигурные скобки относятся к Скобка Пуассона из ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle H}$ . Это имеет поразительное сходство с Теорема Эренфеста. Это означает, что физическая величина ${ displaystyle A}$ сохраняется, если его Скобка Пуассона с Гамильтониан обращается в нуль и величина явно не зависит от времени. Это состояние в классическая механика аналогично условию в квантовая механика для сохранения наблюдаемый (как подразумевается Теорема Эренфеста: Скобка Пуассона заменяется на коммутатор )

Системы, которые можно обозначить хорошими квантовыми числами

Системы, которые можно обозначить хорошими квантовыми числами, на самом деле собственные состояния из Гамильтониан. Их еще называют стационарные состояния.^[7] Они называются так потому, что система остается в том же состоянии, что и время, всеми наблюдаемыми способами. Состояния изменяются математически, поскольку комплексный фазовый фактор прикрепленный к нему постоянно меняется со временем, но его нельзя наблюдать.

Такое состояние удовлетворяет:

{ displaystyle { hat {H}} | Psi rangle = E _ { Psi} | Psi rangle}

,

куда

${ displaystyle | пси rangle}$ это квантовое состояние, которое является стационарным состоянием;
${ displaystyle { hat {H}}}$ это Гамильтонов оператор;
${ displaystyle E _ { Psi}}$ это собственное значение энергии государства ${ displaystyle | пси rangle}$ .

Развитие государственной кет-функции регулируется Уравнение Шредингера:

{ displaystyle i hbar { frac { partial} { partial t}} | Psi rangle = E _ { Psi} | Psi rangle}

Он дает временную эволюцию состояния системы как:

{ Displaystyle | Psi (t) rangle = e ^ {- iE _ { Psi} t / hbar} | Psi (0) rangle}

Примеры

Атом водорода

В нерелятивистском лечении ${ displaystyle l}$ и ${ displaystyle s}$ являются хорошими квантовыми числами, но в релятивистской квантовой механике они больше не являются хорошими квантовыми числами, поскольку ${ displaystyle L}$ и ${ displaystyle S}$ не ездить с ${ displaystyle H}$ (в теории Дирака). ${ Displaystyle J = L + S}$ хорошее квантовое число в релятивистской квантовой механике, поскольку ${ displaystyle J}$ ездит с ${ displaystyle H}$ .

Атом водорода: нет спин-орбитальной связи

В случае атом водорода (в предположении, что нет спин-орбитальная связь ), наблюдаемые, коммутирующие с Гамильтониан являются орбитальный угловой момент, спиновый угловой момент, сумма спинового углового момента и орбитальный угловой момент, а ${ displaystyle z}$ компоненты вышеуказанных угловых моментов. Таким образом, хорошие квантовые числа в этом случае (которые являются собственные значения этих наблюдаемых) являются ${ displaystyle l, j, m _ { text {l}}, m_ {s}, m_ {j}}$ .^[8] Мы пропустили ${ displaystyle s}$ , поскольку он всегда постоянен для электрона и не имеет значения для маркировки состояний.

Хорошие квантовые числа и CSCO

Однако все хорошие квантовые числа в приведенном выше случае атом водорода (с незначительным спин-орбитальная связь ), а именно ${ displaystyle l, j, m _ { text {l}}, m_ {s}, m_ {j}}$ не могут использоваться одновременно для указания состояния. Вот когда CSCO (Полный набор коммутирующих наблюдаемых) вступает в игру. Вот несколько общих результатов, имеющих общую значимость:

1. Определенное количество хороших квантовых чисел можно использовать для однозначного определения определенного квантовое состояние только когда наблюдаемые соответствующие хорошим квантовым числам образуют CSCO.

2. Если наблюдаемые коммутируют, но не образуют CSCO, тогда их хорошие квантовые числа относятся к набору состояний. В этом случае они не относятся к состоянию однозначно.

3. Если наблюдаемые не коммутируют, они даже не могут использоваться для ссылки на какой-либо набор состояний, не говоря уже о любом уникальном состоянии.

В случае атома водорода ${ displaystyle L ^ {2}, J ^ {2}, L_ {z}, J_ {z}}$ не образуют коммутирующий набор. Но ${ displaystyle n, l, m _ { text {l}}, m_ {s}}$ - квантовые числа CSCO. Итак, в данном случае они образуют набор хороших квантовых чисел. По аналогии, ${ displaystyle n, l, j, m _ { text {j}}}$ тоже образуют набор хороших квантовых чисел.

Атом водорода: спин-орбитальное взаимодействие включено

Если учесть спин-орбитальное взаимодействие, мы должны добавить дополнительный член в Гамильтониан который представляет собой магнитный диполь энергия взаимодействия.^[9]

{ displaystyle Delta H _ { text {SO}} = - { boldsymbol { mu}} cdot { boldsymbol {B}}.}

Теперь новый гамильтониан с этим новым ${ displaystyle Delta H _ { text {SO}}}$ срок не ездить с ${ displaystyle { boldsymbol {L}}}$ и ${ displaystyle { boldsymbol {S}}}$ ; но он ездит с L², S² и ${ displaystyle { boldsymbol {J}}}$ , какой полный угловой момент. Другими словами, ${ displaystyle l, j, m _ { text {l}}, m_ {s}}$ больше не являются хорошими квантовыми числами, но ${ displaystyle l, j, m _ { text {j}}}$ находятся.

А поскольку хорошие квантовые числа используются для обозначения собственные состояния, через них выражаются соответствующие интересующие формулы. Например, энергия спин-орбитального взаимодействия определяется выражением^[10]

{ displaystyle Delta H _ { text {SO}} = { beta over 2} (j (j + 1) -l (l + 1) -s (s + 1))}