Перевод осей - Translation of axes

В математика, а перевод осей в двух измерениях это отображение из ху-Декартова система координат для x'y '-Декартова система координат, в которой Икс' ось параллельно к Икс ось и k единиц прочь, и y ' ось параллельна у ось и час единиц прочь. Это означает, что источник О ' новой системы координат имеет координаты (час, k) в исходной системе. Положительный Икс' и y ' направления считаются такими же, как и положительные Икс и у направления. Точка п имеет координаты (Икс, у) относительно исходной системы и координат (Икс', y ') по отношению к новой системе, где

{ Displaystyle х = х '+ ч}

и

{ Displaystyle у = у '+ к}

(1)

или эквивалентно

{ displaystyle x '= x-h}

и

{ Displaystyle у '= у-к.}

^[1]^[2]

(2)

В новой системе координат точка п будет казаться переведенным в обратном направлении. Например, если ху-система переведена на расстояние час вправо и на расстоянии k вверх, затем п будет казаться переведенным на расстояние час налево и на расстоянии k вниз в x'y '-система . Аналогичным образом определяется перемещение осей более чем в двух измерениях.^[3] Перевод осей - это жесткая трансформация, но не линейная карта. (Видеть Аффинное преобразование.)

Мотивация

Системы координат необходимы для изучения уравнений кривые используя методы аналитическая геометрия. Для использования метода координатной геометрии оси располагаются в удобном месте по отношению к рассматриваемой кривой. Например, чтобы изучить уравнения эллипсы и гиперболы, то фокусы обычно расположены на одной из осей и расположены симметрично относительно начала координат. Если кривая (гипербола, парабола, эллипс и т. д.) нет Расположенная удобно по отношению к осям, необходимо изменить систему координат, чтобы расположить кривую в удобном и знакомом месте и ориентации. Процесс внесения этого изменения называется преобразование координат.^[4]

Решения многих проблем можно упростить, переместив оси координат для получения новых осей, параллельных исходным.^[5]

Перевод конических сечений

Изменяя координаты, уравнение конического сечения можно записать в виде стандартная форма, с которым обычно легче работать. Для самого общего уравнения второй степени всегда можно выполнить вращение осей таким образом, что в новой системе уравнение принимает вид

{ displaystyle Ax ^ {2} + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0}

(

{ displaystyle A}

и

{ displaystyle C}

не оба нулевые);

(3)

то есть нет ху срок.^[6] Далее, перенос осей может уменьшить уравнение вида (3) к уравнению того же вида, но с новыми переменными (Икс', y ') как координаты, а с D и E оба равны нулю (за некоторыми исключениями - например, параболы). Главный инструмент в этом процессе - «завершение квадрата».^[7] В следующих примерах предполагается, что вращение осей уже выполнено.

Пример 1

Учитывая уравнение

{ displaystyle 9x ^ {2} + 25y ^ {2} + 18x-100y-116 = 0,}

используя перенос осей, определите, локус уравнения представляет собой параболу, эллипс или гиперболу. Определите фокусы (или фокус), вершины (или вершина), и эксцентриситет.

Решение: Завершить квадрат в Икс и узапишем уравнение в виде

{ displaystyle 9 (x ^ {2} + 2x qquad) +25 (y ^ {2} -4y qquad) = 116.}

Заполните квадраты и получите

{ displaystyle 9 (x ^ {2} + 2x + 1) +25 (y ^ {2} -4y + 4) = 116 + 9 + 100}

{ displaystyle Leftrightarrow 9 (x + 1) ^ {2} +25 (y-2) ^ {2} = 225.}

Определять

{ Displaystyle х '= х + 1}

и

{ displaystyle y '= y-2.}

То есть перевод в уравнениях (2) сделано с ${ displaystyle h = -1, k = 2.}$ Уравнение в новой системе координат:

{ displaystyle 9x '^ {2} + 25y' ^ {2} = 225.}

(4)

Разделить уравнение (4) на 225, чтобы получить

{ displaystyle { frac {x '^ {2}} {25}} + { frac {y' ^ {2}} {9}} = 1,}

который узнаваем как эллипс с ${ displaystyle a = 5, b = 3, c ^ {2} = a ^ {2} -b ^ {2} = 16, c = 4, e = { tfrac {4} {5}}.}$ в x'y '-система, имеем: центр ${ displaystyle (0,0)}$ ; вершины ${ displaystyle ( pm 5,0)}$ ; фокусы ${ displaystyle ( pm 4,0).}$

в ху-система, используйте отношения ${ displaystyle x = x'-1, y = y '+ 2}$ получить: центр ${ displaystyle (-1,2)}$ ; вершины ${ Displaystyle (4,2), (- 6,2)}$ ; фокусы ${ Displaystyle (3,2), (- 5,2)}$ ; эксцентриситет ${ displaystyle { tfrac {4} {5}}.}$ ^[8]

Обобщение на несколько измерений

Для xyz-Декартова система координат в трех измерениях, предположим, что введена вторая декартова система координат с осями Икс', y ' и z ' так расположен, что Икс' ось параллельна Икс ось и час единиц из него, y ' ось параллельна у ось и k единиц от него, а z ' ось параллельна z ось и л единиц от него. Точка п в космосе будут иметь координаты в обеих системах. Если его координаты (Икс, у, z) в исходной системе и (Икс', y ', z ') во второй системе уравнения

{ displaystyle x '= x-h, qquad y' = y-k, qquad z '= z-l}

(5)

держать.^[9] Уравнения (5) определяют перемещение осей в трех измерениях, где (час, k, л) являются xyz-координаты нового начала.^[10] Аналогично определяется перемещение осей в любом конечном числе измерений.

Перевод квадратичных поверхностей

В трехмерном пространстве наиболее общее уравнение второй степени в Икс, у и z имеет форму

{ displaystyle Ax ^ {2} + By ^ {2} + Cz ^ {2} + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Kz + L = 0,}

(6)

где количества ${ displaystyle A, B, C, ldots, L}$ положительные или отрицательные числа или ноль. Все точки пространства, удовлетворяющие такому уравнению, лежат на поверхность. Любое уравнение второй степени, которое не сводится к цилиндру, плоскости, линии или точке, соответствует поверхности, которая называется квадрикой.^[11]

Как и в случае плоской аналитической геометрии, метод перемещения осей может использоваться для упрощения уравнений второй степени, тем самым делая очевидной природу некоторых квадратичных поверхностей. Главный инструмент в этом процессе - «завершение квадрата».^[12]