Метод Рунге – Кутта (SDE) - Runge–Kutta method (SDE)

В математика стохастических систем Метод Рунге – Кутты метод приблизительного численное решение из стохастическое дифференциальное уравнение. Это обобщение Метод Рунге – Кутты за обыкновенные дифференциальные уравнения к стохастическим дифференциальным уравнениям (СДУ). Важно отметить, что метод не требует знания производных от коэффициентных функций в SDE.

Самая основная схема

Рассмотрим It распространение ${displaystyle X}$ удовлетворяющее следующему стохастическому дифференциальному уравнению Ито

{displaystyle {{d} X_ {t}} = a (X_ {t}), {d} t + b (X_ {t}), {d} W_ {t},}

с начальное состояние ${displaystyle X_ {0} = x_ {0}}$ , куда ${displaystyle W_ {t}}$ стоит за Винеровский процесс, и предположим, что мы хотим решить эту СДУ на некотором интервале времени ${displaystyle [0, T]}$ . Тогда основные Приближение Рунге – Кутты к истинному решению ${displaystyle X}$ это Цепь Маркова ${displaystyle Y}$ определяется следующим образом:^[1]

разделить интервал ${displaystyle [0, T]}$ в ${displaystyle N}$ подынтервалы ширины ${displaystyle delta = T / N> 0}$ :

{displaystyle 0 = au _ {0}

набор ${displaystyle Y_ {0}: = x_ {0}}$ ;
рекурсивно вычислить ${displaystyle Y_ {n}}$ за ${displaystyle 1leq nleq N}$ к

{displaystyle Y_ {n + 1}: = Y_ {n} + a (Y_ {n}) delta + b (Y_ {n}) Delta W_ {n} + {frac {1} {2}} left (b ( {hat {Upsilon}} _ {n}) - b (Y_ {n}) ight) left ((Delta W_ {n}) ^ {2} -delta ight) delta ^ {- 1/2},}

куда ${displaystyle Delta W_ {n} = W_ {au _ {n + 1}} - W_ {au _ {n}}}$ и ${displaystyle {hat {Upsilon}} _ {n} = Y_ {n} + a (Y_ {n}) delta + b (Y_ {n}) delta ^ {1/2}.}$ В случайные переменные ${displaystyle Delta W_ {n}}$ находятся независимые и одинаково распределенные нормальные случайные величины с ожидаемое значение ноль и отклонение ${displaystyle delta}$ .

Эта схема имеет строгий порядок 1, что означает, что ошибка аппроксимации фактического решения в фиксированных масштабах времени с шагом по времени ${displaystyle delta}$ . Он также имеет слабый порядок 1, что означает, что ошибка в статистике решения масштабируется с шагом по времени. ${displaystyle delta}$ . См. Ссылки для получения полных и точных заявлений.

Функции ${displaystyle a}$ и ${displaystyle b}$ может изменяться во времени без каких-либо осложнений. Метод может быть обобщен на случай нескольких связанных уравнений; принцип тот же, но уравнения становятся длиннее.

Вариация улучшенного Эйлера гибка

Более новая схема Рунге-Кутты, также сильного порядка 1, напрямую сводится к улучшенной схеме Эйлера для детерминированных ОДУ.^[2] Рассмотрим векторный случайный процесс ${displaystyle {vec {X}} (t) в mathbb {R} ^ {n}}$ который удовлетворяет общей Ито SDE

{displaystyle d {vec {X}} = {vec {a}} (t, {vec {X}}), dt + {vec {b}} (t, {vec {X}}), dW,}

где дрейфовать ${displaystyle {vec {a}}}$ и волатильность ${displaystyle {vec {b}}}$ являются достаточно гладкими функциями своих аргументов. ${displaystyle h}$ , и учитывая значение ${displaystyle {vec {X}} (t_ {k}) = {vec {X}} _ {k}}$ , оценивать ${displaystyle {vec {X}} (t_ {k + 1})}$ к ${displaystyle {vec {X}} _ {k + 1}}$ На время ${displaystyle t_ {k + 1} = t_ {k} + h}$ через

{displaystyle {egin {array} {rl} & {vec {K}} _ {1} = h {vec {a}} (t_ {k}, {vec {X}} _ {k}) + (Delta W_ {k} -S_ {k} {sqrt {h}}) {vec {b}} (t_ {k}, {vec {X}} _ {k}), & {vec {K}} _ {2 } = h {vec {a}} (t_ {k + 1}, {vec {X}} _ {k} + {vec {K}} _ {1}) + (Delta W_ {k} + S_ {k } {sqrt {h}}) {vec {b}} (t_ {k + 1}, {vec {X}} _ {k} + {vec {K}} _ {1}), & {vec { X}} _ {k + 1} = {vec {X}} _ {k} + {frac {1} {2}} ({vec {K}} _ {1} + {vec {K}} _ { 2}), конец {массив}}}

куда ${displaystyle Delta W_ {k} = {sqrt {h}} Z_ {k}}$ для нормального случайного ${displaystyle Z_ {k} sim N (0,1)}$ ;
и где ${displaystyle S_ {k} = pm 1}$ , каждая альтернатива, выбранная с вероятностью ${displaystyle 1/2}$ .

Выше описан только один временной шаг. Повторите этот временной шаг. ${displaystyle (t_ {m} -t_ {0}) / h}$ раз, чтобы интегрировать SDE время от времени ${displaystyle t = t_ {0}}$ к ${displaystyle t = t_ {m}}$ .

Схема интегрирует СДУ Стратоновича в ${displaystyle O (h)}$ предоставил один комплект ${displaystyle S_ {k} = 0}$ повсюду (вместо того, чтобы выбирать ${displaystyle pm 1}$ ).

Схемы Рунге-Кутты высшего порядка

Схемы более высокого порядка также существуют, но становятся все более сложными. Рёсслер разработал множество схем для Ито СДУ,^[3]^[4]тогда как Комори разработал схемы ДЗО Стратоновича.^[5]^[6]^[7] Ракаукас расширил эти схемы, чтобы обеспечить возможность пошагового изменения времени с помощью отбраковки выборки с памятью (RSwM), что привело к увеличению эффективности практических биологических моделей на несколько порядков.^[8], наряду с оптимизацией коэффициентов для повышения стабильности^[9].

Рекомендации

^ П. Э. Клёден и Э. Платен. Численное решение стохастических дифференциальных уравнений, том 23 приложений математики. Спрингер - Верлаг, 1992.
^ А. Дж. Робертс. Измените улучшенную схему Эйлера, чтобы интегрировать стохастические дифференциальные уравнения. [1], Октябрь 2012 г.
^ Рёсслер, А. (2009). "Методы Рунге – Кутты второго порядка для стохастических дифференциальных уравнений Ито". Журнал SIAM по численному анализу. 47 (3): 1713–1738. Дои:10.1137/060673308.
^ Рёсслер, А. (2010). «Методы Рунге – Кутты для сильной аппроксимации решений стохастических дифференциальных уравнений». Журнал SIAM по численному анализу. 48 (3): 922–952. Дои:10.1137 / 09076636X.
^ Комори, Ю. (2007). «Анализ разноцветного корневого дерева условий слабого порядка стохастической семьи Рунге – Кутты». Прикладная вычислительная математика. 57 (2): 147–165. Дои:10.1016 / j.apnum.2006.02.002.
^ Комори, Ю. (2007). "Стохастические методы Рунге – Кутты слабого порядка для коммутативных стохастических дифференциальных уравнений". Журнал вычислительной и прикладной математики. 203: 57–79. Дои:10.1016 / j.cam.2006.03.010.
^ Комори, Ю. (2007). "Слабые стохастические методы Рунге – Кутты второго порядка для некоммутативных стохастических дифференциальных уравнений". Журнал вычислительной и прикладной математики. 206: 158–173. Дои:10.1016 / j.cam.2006.06.006.
^ Rackauckas, Christopher; Не, Цин (2017). «АДАПТИВНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ ЕСТЕСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ И ОТРАЖЕНИЯ ВЫБОРКИ С ПАМЯТЬЮ». Дискретные и непрерывные динамические системы - серия B. 22 (7): 2731–2761. Дои:10.3934 / dcdsb.2017133.
^ Rackauckas, Christopher; Не, Цин (2018). «Оптимизированные для устойчивости методы высокого порядка и определение жесткости для линейных жестких стохастических дифференциальных уравнений». arXiv:1804.04344.

[1] П. Э. Клёден и Э. Платен. Численное решение стохастических дифференциальных уравнений, том 23 приложений математики. Спрингер - Верлаг, 1992.

[2] А. Дж. Робертс. Измените улучшенную схему Эйлера, чтобы интегрировать стохастические дифференциальные уравнения. [1], Октябрь 2012 г.

[3] Рёсслер, А. (2009). "Методы Рунге – Кутты второго порядка для стохастических дифференциальных уравнений Ито". Журнал SIAM по численному анализу. 47 (3): 1713–1738. Дои:10.1137/060673308.

[4] Рёсслер, А. (2010). «Методы Рунге – Кутты для сильной аппроксимации решений стохастических дифференциальных уравнений». Журнал SIAM по численному анализу. 48 (3): 922–952. Дои:10.1137 / 09076636X.

[5] Комори, Ю. (2007). «Анализ разноцветного корневого дерева условий слабого порядка стохастической семьи Рунге – Кутты». Прикладная вычислительная математика. 57 (2): 147–165. Дои:10.1016 / j.apnum.2006.02.002.

[6] Комори, Ю. (2007). "Стохастические методы Рунге – Кутты слабого порядка для коммутативных стохастических дифференциальных уравнений". Журнал вычислительной и прикладной математики. 203: 57–79. Дои:10.1016 / j.cam.2006.03.010.

[7] Комори, Ю. (2007). "Слабые стохастические методы Рунге – Кутты второго порядка для некоммутативных стохастических дифференциальных уравнений". Журнал вычислительной и прикладной математики. 206: 158–173. Дои:10.1016 / j.cam.2006.06.006.

[8] Rackauckas, Christopher; Не, Цин (2017). «АДАПТИВНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ ЕСТЕСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ И ОТРАЖЕНИЯ ВЫБОРКИ С ПАМЯТЬЮ». Дискретные и непрерывные динамические системы - серия B. 22 (7): 2731–2761. Дои:10.3934 / dcdsb.2017133.

[9] Rackauckas, Christopher; Не, Цин (2018). «Оптимизированные для устойчивости методы высокого порядка и определение жесткости для линейных жестких стохастических дифференциальных уравнений». arXiv:1804.04344.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]