Ипотека с непрерывным погашением - Continuous-repayment mortgage

Тема этой статьи может не соответствовать Википедии общее руководство по известности. Пожалуйста, помогите установить известность, указав надежные вторичные источники которые независимый темы и обеспечить ее подробное освещение, помимо банального упоминания. Если известность не может быть установлена, статья, вероятно, будет слился, перенаправлен, или же удалено. Найдите источники: «Ипотека с непрерывным погашением»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Июнь 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Влияние получения 20% годовых на первоначальные инвестиции в размере 1000 долларов США при различной частоте начисления сложных процентов

Аналогично непрерывное компаундирование, непрерывная рента^[1][2] является обычная рента в котором интервал оплаты сужается на неопределенный срок. А (теоретический) ипотека с непрерывным погашением ипотечный кредит, выплачиваемый посредством непрерывной ренты.

Ипотечные кредиты (то есть ипотечные ссуды) обычно рассчитываются в течение нескольких лет посредством серии фиксированных регулярных платежей, обычно называемых рента. Каждый платеж накапливается сложные проценты с момента внесения депозита до окончания периода ипотеки, в этот момент сумма платежей с их накопленными процентами равна стоимости ссуды с процентами, начисленными за весь период времени. Выданный заем п₀, процентная ставка за период i, количество периодов п фиксированная посуточная оплата Икс, уравнение балансировки в конце срока:

${ displaystyle P_ {0} (1 + i) ^ {n} = sum _ {k = 1} ^ {n} x (1 + i) ^ {nk} = { frac {x [(1 + i ) ^ {n} -1]} {i}}}$

Суммирование может быть вычислено с использованием стандартной формулы суммирования геометрическая последовательность.

В (теоретической) ипотеке с непрерывным погашением интервал платежей сужается до бесконечности, пока процесс дискретных интервалов не станет непрерывным, а выплаты с фиксированными интервалами не станут, по сути, буквальным «потоком» наличности с фиксированной годовой ставкой. В этом случае ссуду п₀, Годовая процентная ставка р, срок кредита Т (лет) и годовая ставка M_а, то бесконечно малый элементы денежного потока M_аδt накапливать непрерывно начисляемые проценты от момента времени t до конца срока ссуды, в этот момент уравнение балансировки выглядит следующим образом:

${ displaystyle P_ {0} e ^ {rT} = int limits _ {0} ^ {T} M_ {a} e ^ {r (Tt)} , dt = { frac {M_ {a} ( e ^ {rT} -1)} {r}}.}$

Суммирование элементов денежного потока и накопленных процентов осуществляется путем интегрирования, как показано. Предполагается, что интервал начисления сложных процентов и интервал платежей равны, т. Е. Начисление процентов всегда происходит одновременно с удержанием платежа.^[3]

В течение срока ссуды функция непрерывного временного баланса ипотечного кредита подчиняется первому порядку. линейное дифференциальное уравнение (LDE)^[4] и его альтернативный вывод может быть получен путем решения LDE с использованием метода Преобразования Лапласа.

Применение уравнения дает ряд результатов, относящихся к финансовому процессу, который оно описывает. Хотя в этой статье основное внимание уделяется ипотеке, используемые методы применимы к любой ситуации, в которой оплата или сбережение осуществляется посредством регулярного потока платежей с фиксированным интервалом (аннуитет).

Вывод непрерывного во времени уравнения

Классическая формула для текущей стоимости ряда п фиксированная сумма ежемесячных платежей Икс вкладывается под ежемесячную процентную ставку я% является:

${ displaystyle P_ {v} (n) = { frac {x (1- (1 + i) ^ {- n})} {i}}}$

Формулу можно изменить для определения ежемесячного платежа. Икс по ссуде на сумму п₀ вывезен на срок п месяцев при ежемесячной процентной ставкея%:

${ displaystyle x = { frac {P_ {0} cdot i} {1- (1 + i) ^ {- n}}}}$

Начнем с небольшой корректировки формулы: заменим я с р/N куда р годовая процентная ставка и N - годовая частота периодов начисления сложных процентов (N = 12 для ежемесячных платежей). Также замените п с NT куда Т - общий срок кредита в годах. В этой более общей форме уравнения мы вычисляем Икс(N) как фиксированный платеж, соответствующий частоте N. Например, если N = 365, Икс соответствует ежедневной фиксированной оплате. В качестве N увеличивается, Икс(N) уменьшается, но произведение N·Икс(N) приближается к предельному значению, как будет показано ниже:

${ displaystyle x (N) = { frac {P_ {0} cdot r} {N (1- (1 + { frac {r} {N}}) ^ {- NT})}}}$

${ displaystyle N cdot x (N) = { frac {P_ {0} cdot r} {1- (1 + { frac {r} {N}}) ^ {- NT}}}}$

Обратите внимание, что N·Икс(N) - это просто сумма, выплачиваемая в год, то есть годовая ставка погашения M_а.

Хорошо известно, что:

${ displaystyle lim _ {N to infty} left (1 + { frac {r} {N}} right) ^ {Nt} = e ^ {rt}}$ ^[5][6]

Применяя тот же принцип к формуле годового погашения, мы можем определить предельное значение:

${ displaystyle M_ {a} = lim _ {N to infty} N cdot x (N) = lim _ {N to infty} { frac {P_ {0} cdot r} {1 - (1 + { frac {r} {N}}) ^ {- NT}}} = { frac {P_ {0} cdot r} {1-e ^ {- rT}}}.}.$ ^[7]

На данном этапе ортодоксальной формулы для приведенной стоимости последняя более правильно представлена ​​как функция годовой частоты начисления сложных процентов. N и времят:

${ Displaystyle P_ {v} (N, t) = { frac {N cdot x (N) (1- (1 + { frac {r} {N}}) ^ {- Nt})} {г }}}$

Применяя ограничивающее выражение, разработанное выше, мы можем записать приведенную стоимость как чисто зависящую от времени функцию:

${ Displaystyle P_ {v} (t) = lim _ {N to infty} P_ {v} (N, t) = { frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^ { -rt})}$^[8]

Рисунок 1

Отмечая, что остаток п(т) в кредит т лет после его создания - это просто приведенная стоимость взносов за оставшийся период (т.е. Т − т), определяем:

${ displaystyle P (t) = { frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^ {- r (Tt)}) = { frac {P_ {0} (1-e ^ {- r (Tt)})} {1-e ^ {- rT}}}}$ ^[9]

График (ы) на диаграмме представляет собой сравнение остатка задолженности по ипотеке (1 миллион за 20 лет @ р = 10%), рассчитанный, во-первых, в соответствии с указанной выше непрерывной моделью во времени, а во-вторых, с использованием функции Excel PV. Как можно видеть, кривые практически неразличимы - расчеты, выполненные с использованием модели, отличаются от расчетов, выполненных с использованием функции Excel PV, всего на 0,3% (макс.). Данные, на основе которых был построен график (ы), можно просмотреть Вот.

Сравнение с аналогичными физическими системами

Определите переменную "обратного времени" z = Т − т. (т = 0, z = Т и т = Т, z = 0). Потом:

На временной оси, нормированной на системную постоянную времени (τ = 1/р лет и τ = RC секунд соответственно) функция баланса ипотеки в CRM (зеленый) является зеркальным отображением кривой переходной характеристики для RC-цепи (синий). Вертикальная ось нормализована к системной асимптоте, то есть бессрочному значению M_а/ r для CRM и приложенного напряжения V₀ для RC-цепи.

${ displaystyle P (z) = { frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^ {- rz}).}$

Это можно рассматривать как решение дифференциального уравнения «обратного времени»:

${ displaystyle { frac {M_ {a}} {r}} = { frac {1} {r}} { frac {dP (z)} {dz}} + P (z).}$

Инженеры-электрики / электроники и физики знакомы с уравнением такого рода: это точный аналог типа дифференциального уравнения, который управляет (например) зарядкой конденсатора в RC-цепи.

${ displaystyle V_ {0} = RC { frac {dV (t)} {dt}} + V (t).}$

Ключевые характеристики таких уравнений подробно описаны на RC-схемы. Для владельцев домов с ипотекой важным параметром является постоянная времени уравнения, которое является просто обратной величиной годовой процентной ставкир. Так (например) постоянная времени, когда процентная ставка составляет 10%, составляет 10 лет, и период жилищного кредита должен быть определен - в пределах доступности - как минимум, кратный этому, если цель состоит в том, чтобы минимизировать процент, выплачиваемый на кредит.

Ипотечная разница и дифференциальное уравнение

Обычный разностное уравнение для ипотечной ссуды получить относительно просто - остаток к оплате в каждом последующем периоде равен предыдущему остатку плюс проценты за период минус фиксированный платеж за период.

Учитывая ежегодный процентная ставка р и заемщик с ежегодный возможность оплаты M_N (разделенных на N равных платежей, произведенных через промежутки времени Δт где Δт = 1/N лет), мы можем написать:

${ Displaystyle { begin {align} P_ {t + Delta t} & = P_ {t} + (rP_ {t} -M_ {N}) Delta t [12pt] { dfrac {P_ {t + Дельта t} -P_ {t}} { Delta t}} & = rP_ {t} -M_ {N} end {align}}}$

Если N неограниченно возрастает, так что Δт → 0, получаем дифференциальное уравнение с непрерывным временем:

${ displaystyle { operatorname {d} P (t) over operatorname {d} t} = rP (t) -M_ {a}}$ ^[10][11]

Обратите внимание, что для того, чтобы сальдо по ипотеке постоянно уменьшалось, должно выполняться следующее неравенство:

${ Displaystyle P_ {0} leqslant { frac {M_ {a}} {r}}}$^[12]

п₀ такой же как п(0) - первоначальная сумма кредита или остаток кредита на моментт = 0.

Решение разностного уравнения

Начнем с того, что переписываем разностное уравнение в рекурсивной форме:

${ Displaystyle P_ {t + Delta t} = P_ {t} (1 + r Delta t) -M_ {N} Delta t ;}$

Используя обозначения п_п указать остаток по ипотеке после п периодов, мы можем применять рекурсивное отношение итеративно для определения п₁ и п₂:

${ Displaystyle P_ {1} = P_ {0} (1 + r Delta t) -M_ {N} Delta t ;}$

${ displaystyle { begin {align} P_ {2} & = [P_ {0} (1 + r Delta t) -M_ {N} Delta t] (1 + r Delta t) -M_ {N} Delta t & = P_ {0} (1 + r Delta t) ^ {2} -M_ {N} Delta t (1 + r Delta t) -M_ {N} Delta t end { выровнено}}}$

Уже видно, что термины, содержащие M_N образуют геометрический ряд со знаменателем 1 +рΔт. Это позволяет нам написать общее выражение для п_п:

${ displaystyle { begin {align} P_ {n} & = P_ {0} (1 + r Delta t) ^ {n} - sum _ {k = 1} ^ {n} M_ {N} Delta t (1 + r Delta t) ^ {nk} & = P_ {0} (1 + r Delta t) ^ {n} - { dfrac {M_ {N} Delta t [(1 + r Delta t) ^ {n} -1]} {r Delta t}} end {align}}}$

Наконец отметив, что р Δт = я процентная ставка за период и ${ Displaystyle M_ {N} Delta t = x}$ для погашения за период выражение можно записать в общепринятом виде:

${ displaystyle P_ {n} = P_ {0} (1 + i) ^ {n} - { dfrac {x [(1 + i) ^ {n} -1]} {i}}}$

Если срок кредита составляет m периодов, то п_м = 0 и получаем стандартную формулу текущей стоимости:

${ displaystyle P_ {0} = { dfrac {x [1- (1 + i) ^ {- m}]} {i}}}$

Решение дифференциального уравнения

${ displaystyle { operatorname {d} P (t) over operatorname {d} t} = rP (t) -M_ {a}}$

Один из способов решения уравнения - получить Преобразование Лапласа п(s):

${ Displaystyle P (s) = { frac {M_ {a}} {s (rs)}} = { frac {M_ {a}} {r}} times { frac {(-r)} { s (sr)}}.}$

Используя таблица преобразований Лапласа и их эквиваленты во временной области, п(т) может быть определено:

${ displaystyle P (t) = { frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^ {rt}).}$

Чтобы приспособить это решение к конкретным начальным и конечным точкам ипотечной функции, нам необходимо ввести временной сдвиг на Т годы (Т = период ссуды), чтобы функция достигла нуля в конце периода ссуды:

${ displaystyle { begin {align} & P (t) = { frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^ {r (tT)}) [8pt] & P_ {0} = { frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^ {- rT}) Rightarrow { frac {M_ {a}} {r}} = { frac {P_ {0}} {1- e ^ {- rT}}} [8pt] Rightarrow & P (t) = { frac {P_ {0} (1-e ^ {- r (Tt)})} {1-e ^ {- rT }}} end {выровнены}}}$

Обратите внимание, что как исходное решение, так и версия со сдвигом во времени удовлетворяют исходному дифференциальному уравнению, из которого оба получены.

Подобно выражению, полученному выше для п_п в разностном уравнении выражение для п(т) можно записать в следующей алгебраически эквивалентной форме:

${ Displaystyle P (t) = P_ {0} e ^ {rt} - { frac {M_ {a}} {r}} (e ^ {rt} -1)}$

Расчет накопленных процентов и основной суммы

Переставляя исходное дифференциальное уравнение, получаем:

${ Displaystyle M_ {a} = rP (t) - { frac {dP (t)} {dt}}}$

Интегрирование обеих частей уравнения дает:

${ Displaystyle M_ {a} .t = int _ {0} ^ {t} rP (t) , dt , - int _ {0} ^ {t} { frac {dP (t)} { dt}} , dt ,}$

Первый интеграл с правой стороны определяет накопленные процентные платежи с момента начала до момента времени t, а второй определяет накопленные платежи по основной сумме за тот же период. Сумма этих выплат по процентам и основной сумме долга должна равняться совокупным фиксированным выплатам в определенный момент времени. т т.е. M_ат. Вычисляя первый интеграл справа, получаем выражение для я(т), выплаченные проценты:

${ displaystyle I (t) = M_ {a} t - { frac {M_ {a} (e ^ {rt} -1)} {re ^ {rT}}}}$

Неудивительно, что второй интеграл дает п₀ − п(т) и поэтому:

${ Displaystyle I (т) = М_ {а} т-Р_ {0} + Р (т) ,}$

Читатель может легко убедиться, что это выражение алгебраически идентично приведенному выше.

Фактор стоимости кредита

Стоимость ссуды - это просто годовая ставка, умноженная на срок ссуды:

${ displaystyle C = M_ {a} T = { frac {P_ {0} rT} {1-e ^ {- rT}}}}$

Позволять s = rT. Тогда мы можем определить коэффициент стоимости кредита C(s) такие, что C = п₀C(s) то есть: C(s) - стоимость единицы предоставленной валюты.

${ displaystyle C (s) = { frac {rT} {1-e ^ {- rT}}} = { frac {s} {1-e ^ {- s}}}}$

Функция C(s) характеризуется предельным значением 1, когда s близка к нулю, так как при малых значениях s, ехр (-s) ≈ 1 − s а знаменатель упрощается доs. Также когда s очень большое, exp (-s) маленький, поэтому C(s) ≈ s и, следовательно, стоимость кредита C ≈ п₀rT (rT >> 0).

В качестве примера рассмотрим ссуду в размере 1000000 с погашением 10% в течение 20 лет. потом s = 0.1 × 20 = 2.

${ displaystyle C = 1000000 times { frac {2} {1-e ^ {- 2}}} приблизительно 2,313 times 10 ^ {6}}$

Продукт rT - легко получаемый, но важный параметр при определении стоимости кредита в соответствии с уравнением C = P₀xC (s). Лучше всего это проиллюстрировать построением функции фактора стоимости для значений s в области [0; 5]. Линейное поведение функции для более высоких значений s чисто.

Эквивалентный фактор стоимости простых процентов

Для ссуды с фиксированным сроком t лет мы можем сравнить приведенный выше коэффициент стоимости ссуды с эквивалентным простым коэффициентом стоимости процентов. 1 + с_е куда s_е= г_ет и р_е эквивалентная простая процентная ставка:

${ displaystyle { frac {s} {1-e ^ {- s}}} = 1 + s_ {e}}$

Несложно определить s_е с точки зрения s. Разделив на период времени ссуды t, мы получим эквивалентную простую процентную ставку. Более сложным является обратное определение данного s_е.

В его книге Решение проблем с помощью True Basic,^[13] Д-р Б.Д. У Хана есть небольшой раздел о некоторых схемах «рассрочки», в которых проценты рассчитываются заранее в виде единовременной суммы, которая добавляется к сумме капитала, причем сумма делится поровну в течение периода выплаты. Однако покупатель часто думает, что проценты начисляются на уменьшающемся балансе.

Приведенный выше пример адаптирован из примера, приведенного в книге доктора Хана, в которой он использует алгоритм Ньютона-Рафсона для решения той же проблемы, хотя и для дискретного интервала (то есть ежемесячного) погашения кредита в течение того же периода времени (3 года). Как и во многих подобных примерах, проблема дискретных интервалов и ее решение близко аппроксимируются расчетами, основанными на модели непрерывного погашения - решение доктора Хана для процентной ставки составляет 40,8% по сравнению с 41,6%, рассчитанными выше.

Срок кредита

Если заемщик может позволить себе годовую ставку погашения M_а, то мы можем переставить формулу для вычисления M_а получить выражение для периода времени Т данной ссуды п₀:

${ displaystyle { begin {align} & M_ {a} = { frac {P_ {0} r} {1-e ^ {- rT}}} [8pt] Rightarrow & T = { frac {1} {r}} ln { frac {M_ {a}} {M_ {a} -P_ {0} r}} = - { frac {1} {r}} ln left (1 - { frac {P_ {0} r} {M_ {a}}} right) end {align}}}$

Минимальный коэффициент оплаты

Минимальный коэффициент платежа по ссуде - это отношение минимально возможной ставки платежа к фактической ставке платежа. Минимально возможная ставка выплат - это та, которая покрывает только проценты по кредиту - заемщик теоретически будет платить эту сумму навсегда, потому что ссудный капитал никогда не уменьшается. Мы будем использовать письмо k для обозначения минимального коэффициента оплаты:

${ displaystyle k = { frac {M _ { min}} {M_ {a}}} = { frac {P_ {0} r} {M_ {a}}}}$

Теперь мы можем рассмотреть небольшую перестановку уравнения для периода кредита.Т:

${ displaystyle T = - { frac {1} {r}} ln left (1 - { frac {P_ {0} r} {M_ {a}}} right)}$

${ Displaystyle рТ = s (к) = - пер (1-к) ;}$

Сюжет s(k) против k дает очень наглядную демонстрацию того, почему лучше сохранить k значение значительно ниже асимптоты при k = 1, так как вблизи него s(k) резко увеличивается, и, следовательно, увеличивается стоимость кредита, которая, в свою очередь, является возрастающей функцией параметра s (rT товар).

«Период полураспада» ссуды

Полезным параметром модели ипотеки является «период полураспада» ссуды, то есть время, необходимое для того, чтобы остаток по ссуде достиг половины своей первоначальной стоимости. Чтобы определить «период полураспада», мы можем написать:

${ displaystyle { frac {P (t)} {P_ {0}}} = { frac {1} {2}} = { frac {1-e ^ {- r (Tt)}} {1- e ^ {- rT}}}}$

Решение для т мы получаем:

${ displaystyle t _ { frac {1} {2}} = { frac {1} {r}} ln left ({ frac {1 + e ^ {rT}} {2}} right)}$ ^[14]

Например, применив формулу к некоторым тестовым данным (заем в размере 1 миллиона под 10% на 20 лет), мы получим период полураспада 14,34 года. Если на практике ссуда выплачивается ежемесячными платежами, десятичную часть можно преобразовать в месяцы и округлить, чтобы этот ответ равнялся 172 месяцам.

Расчет процентной ставки

В модели с дискретным временным интервалом расчет процентной ставки на основе ипотеки с учетом остальных параметров был невозможен с использованием аналитических методов. Такие реализации, как функция «процентной ставки» в Excel, используют численный метод «проб и улучшений» для определения процентной ставки. На первый взгляд может показаться, что это относится и к модели непрерывного погашения. Данный:

${ displaystyle P_ {0} = { frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^ {- rT})}$

мы можем написать:

${ displaystyle rP_ {0} = M_ {a} (1-e ^ {- rT}) ,}$

${ displaystyle Rightarrow rP_ {0} -M_ {a} + M_ {a} e ^ {- rT} = 0}$

Рисунок 1

Чтобы визуализировать вышесказанное как функцию р (для которых мы хотим определить нули), будет полезно выбрать числовые значения п₀, M_а и Т как 10000, 6000 и 3 соответственно и построить график, как показано справа. Функция имеет минимальное значение, которое можно определить дифференцированием:

${ Displaystyle F '(г) = 0 ,}$

${ displaystyle Rightarrow P_ {0} -M_ {a} Te ^ {- rT} = 0}$

${ displaystyle Rightarrow r = { frac {1} {T}} ln { frac {M_ {a} T} {P_ {0}}}}$

Поскольку функция приблизительно параболическая между корнями в точке р = 0 и искомое значение, искомый корень можно оценить как:

${ displaystyle r приблизительно { гидроразрыва {2} {T}} ln { frac {M_ {a} T} {P_ {0}}}}$

Используя это в качестве отправной точки, все более точные значения для корня могут быть определены повторными итерациями Алгоритм Ньютона – Рафсона:^[15]

${ displaystyle r_ {1} = r_ {0} - { frac {f (r_ {0})} {f '(r_ {0})}}. , !}$

Некоторые эксперименты над вольфрам Альфа показывает, что точное аналитическое решение используя Ламберт-В или функция "журнал продукта". Параметр s = M_аТ/п₀ мы получаем:

${ displaystyle r = { frac {1} {T}} left (W (-se ^ {- s}) + s right)}$

В интересующем регионе W(−se^−s) - двузначная функция. Первое значение просто -s что дает тривиальное решение р = 0. Второе значение, оцененное в контексте приведенной выше формулы, предоставит требуемую процентную ставку.

В следующей таблице показан расчет начальной оценки процентной ставки с последующим выполнением нескольких итераций алгоритма Ньютона – Рафсона. Существует быстрая сходимость к решению с точностью до нескольких десятичных знаков, что может быть подтверждено аналитическое решение используя Ламберта W или функция "productlog" в Wolfram Alpha.

Итерации Ньютона – Рафсона

Формулы приведенной стоимости и будущей стоимости

В соответствии со стандартной формулой для приведенной стоимости серии фиксированных ежемесячных платежей мы уже установили непрерывный во времени аналог:

${ displaystyle P_ {v} (t) = { frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^ {- rt}).}$

Аналогичным образом можно определить формулу будущей стоимости:

${ displaystyle F_ {v} (t) = { frac {M_ {a}} {r}} (e ^ {rt} -1).}$ ^[16]

В этом случае годовая ставка M_а определяется из указанной (будущей) цели сбережений или погашения п_Т следующим образом.

${ displaystyle M_ {a} = lim _ {N to infty} N cdot x (N) = lim _ {N to infty} { frac {P_ {T} cdot r} {( 1 + { frac {r} {N}}) ^ {NT} -1}} = { frac {P_ {T} cdot r} {e ^ {rT} -1}}.}$ ^[17]

Следует отметить, что, как и следовало ожидать:

${ Displaystyle F_ {v} (t) = P_ {v} (t) times e ^ {rt}. ,}$

Другой способ расчета остатка к оплате п(т) по ссуде с непрерывным погашением означает вычитание будущей стоимости (во времят) платежного потока из будущей стоимости кредита (также во времят):

${ displaystyle P (t) = P_ {0} e ^ {rt} - { frac {M_ {a}} {r}} (e ^ {rt} -1).}$ ^[18]

Пример

Следующий пример из школьного учебника^[19] продемонстрирует концептуальную разницу между сберегательным аннуитетом, основанным на дискретных временных интервалах (в данном случае в месяц), и пенсией, основанной на непрерывных платежах, с использованием вышеуказанной формулы будущей стоимости:

В свой 30-летний юбилей инвестор решает, что он хочет накопить 500000 рандов к своему 40-летию. Через месяц он решает перечислять равные ежемесячные платежи на счет, на котором выплачиваются проценты в размере 12% годовых, начисляемые ежемесячно. Какие ежемесячные платежи он должен будет делать?

Для краткости будем решать задачу «дискретного интервала» с помощью функции Excel PMT:

${ displaystyle x (12) = PMT (1 \%, 120,500000) = 2173,55}$

Таким образом, ежегодно выплачиваемая сумма составит 26082,57.

Для теоретической ренты с непрерывными сбережениями мы можем рассчитать только годовой ставка оплаты:

${ displaystyle M_ {a} = { frac {500000 times 12 \%} {e ^ {0.12 cdot 10} -1}} = 25860.77}$

Здесь есть соблазн просто разделить на 12, чтобы получить ежемесячный платеж. Однако это противоречило бы основному предположению, на котором основана модель «непрерывных платежей»: а именно, что годовой платеж ставка определяется как:

${ Displaystyle M_ {a} = lim _ {N to infty} N cdot x (N) ,}$

Поскольку, конечно, инвестор не может производить бесконечно малую выплату бесконечное количество раз в год, банк или другое кредитное учреждение, желающее предлагать аннуитеты или ипотечные кредиты с «непрерывными выплатами», на практике должны будут выбрать большое, но конечное значение N (годовая частота выплат), так что формула непрерывного времени всегда будет правильной с точностью до некоторой минимальной заранее заданной погрешности. Например, почасовые фиксированные платежи (рассчитанные с использованием обычной формулы) в этом примере будут накапливаться до годового платежа в размере 25861,07, а ошибка будет <0,02%. Если допустимая погрешность является приемлемой, то почасовую ставку оплаты проще определить путем деления M_а размером 365 × 24. Затем (гипотетическому) кредитному учреждению необходимо будет убедиться, что его вычислительные ресурсы достаточны для выполнения (при необходимости) почасовых отчислений со счетов клиентов. Короче говоря, денежный «поток» для непрерывных выплат аннуитетов следует понимать в самом буквальном смысле этого слова.

"Деньги, перечисляемые в фонд в финансовом мире, выплачиваются в дискретные - обычно через равные промежутки времени - моменты календарного времени. В непрерывном процессе выплаты производятся непрерывно, так как можно перелить жидкость из одного контейнера в другой, где скорость платежа является фундаментальной величиной ».^[20]

В следующей таблице показано, как N (годовая частота начисления сложных процентов) увеличивается, ежегодный платеж приближается к предельному значению M_а, годовой платеж ставка. Разница (ошибка) между годовой оплатой и предельным значением рассчитывается и выражается в процентах от предельного значения.

^[21][22]

Из вышеизложенного будет очевидно, что концепция ипотеки с «непрерывным погашением» является в некоторой степени теоретической конструкцией. Имеет ли он практическую ценность или нет - это вопрос, который необходимо внимательно рассмотреть экономистам и актуариям. В частности, значение ежегодного погашения ставка необходимо четко понимать, как показано в приведенном выше примере.

Тем не менее, модель «непрерывных платежей» действительно дает некоторые важные сведения о поведении функции дискретного баланса ипотечного кредита - в частности, о том, что она в значительной степени регулируется постоянная времени равна номинальной годовой процентной ставке, обратной величине r. А если ипотечный кредит должен был выплачиваться фиксированными дневными суммами, то расчет причитающегося остатка, произведенный с использованием этой модели, был бы - как правило - с точностью до малой доли процента. Наконец, модель показывает, что увеличение частоты выплат там, где это практически возможно, является скромным преимуществом держателя ипотеки.

Резюме формул и онлайн-калькуляторов

Годовая ставка платежа (ипотечный заем):${ displaystyle M_ {a} = lim _ {N to infty} N cdot x (N) = { frac {P_ {0} cdot r} {1-e ^ {- rT}}}}$

Годовая ставка платежа (амортизационный фонд):${ displaystyle M_ {a} = lim _ {N to infty} N cdot x (N) = { frac {P_ {T} cdot r} {e ^ {rT} -1}}}$

Будущее значение:        ${ displaystyle F_ {v} (t) = { frac {M_ {a}} {r}} (e ^ {rt} -1)}$

Приведенная стоимость:        ${ displaystyle P_ {v} (t) = { frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^ {- rt})}$

Остаток кредита:        ${ Displaystyle P (t) = { frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^ {- r (T-t)})}$

Срок кредита:               ${ displaystyle T = - { frac {1} {r}} ln left (1 - { frac {P_ {0} r} {M_ {a}}} right)}$

Период полураспада ссуды:        ${ displaystyle t _ { frac {1} {2}} = { frac {1} {r}} ln left ({ frac {1 + e ^ {rT}} {2}} right)}$

Процентная ставка:            ${ displaystyle r приблизительно { гидроразрыва {2} {T}} ln { frac {M_ {a} T} {P_ {0}}}}$              ${ displaystyle r = { frac {1} {T}} left (W (-se ^ {- s}) + s right) { text {with}} s = { frac {M_ {a} t} {P_ {0}}}}$

Универсальный калькулятор ипотеки. Учитывая любые три из четырех переменных, вычисляется четвертое (неизвестное) значение.

График ипотеки. Это иллюстрирует характеристическую кривую баланса ипотечного кредита в зависимости от времени в течение данного периода времени ссуды. Сумма кредита и процентная ставка по кредиту (п/а) также может быть указано. Дискретный интервальный кредит будет иметь очень похожие характеристики.

Примечания

Рекомендации

• Беквит, Р. (Июнь 1968 г.). «Непрерывные финансовые процессы». Журнал финансового и количественного анализа. 3 (2): 113–133. JSTOR  2329786.
• Технологический институт Джорджии; Хэкмен, Стив. «Финансовый инжиниринг: заметки о курсе ISyE 4803A» (PDF). Технологический институт Джорджии. Получено 2009-04-27.^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Гленкросс, М.Дж. (2007). Математика: 12 класс ОБЕ. Издательство «Эффективное обучение», Кейптаун, ЮАР. ISBN  978-1-920116-36-1.
• Munem, M.A .; Фулис Д.Дж. (1986). Алгебра и тригонометрия с приложениями. Worth Publishers, США. ISBN  0-87901-281-1.
• Хан, Брайан Д. (1989). Решение проблем с помощью True Basic. Juta & Company Limited, Кейптаун, Южная Африка. ISBN  0-7021-2282-3.

Библиография

• Крейсциг, Эрвин, Высшая инженерная математика (1998, Wiley Publishers, США), ISBN  0-471-15496-2.