Список преобразований Лапласа - Википедия - List of Laplace transforms

Ниже приводится список преобразований Лапласа для многих общих функций одной переменной.[1] В Преобразование Лапласа является интегральное преобразование который принимает функцию положительной действительной переменной т (часто время) к функции комплексной переменной s (частота).

Характеристики

Преобразование Лапласа функции можно получить с помощью формальное определение преобразования Лапласа. Однако некоторые свойства преобразования Лапласа можно использовать для более простого получения преобразования Лапласа некоторых функций.

Линейность

Для функций и а для скаляра , преобразование Лапласа удовлетворяет

и поэтому рассматривается как линейный оператор.

Временной сдвиг

Преобразование Лапласа является .

Сдвиг частоты

преобразование Лапласа .

Пояснительные примечания

Одностороннее преобразование Лапласа принимает на вход функцию, временная область которой является неотрицательный реалов, поэтому все функции временной области в таблице ниже кратны Ступенчатая функция Хевисайда, ты(т).

Записи в таблице, включающие задержку по времени τ должны быть причинный (означающий, что τ > 0). Причинная система - это система, в которой импульсивный ответ час(т) равен нулю на все времена т до т = 0. В общем, область конвергенции причинных систем отличается от области конвергенции антикаузальные системы.

В таблице ниже используются следующие функции и переменные:

Стол

ФункцияОбласть времени
Лаплас s-домен
Область конвергенцииСсылка
единичный импульсвсе sосмотр
задержанный импульсRe (s) > 0сдвиг во времени
единичный импульс[2]
единичный шагRe (s) > 0интегрировать единичный импульс
отложенный единичный шагRe (s) > 0сдвиг во времени
единичный шаг[3]
пандусRe (s) > 0интегрировать блок
импульс дважды
пя сила
(для целого п)
Re (s) > 0
(п > −1)
Интегрировать блок
шаг п раз
qя сила
(для сложных q)
Re (s) > 0
Re (q) > −1
[4][5]
пй кореньRe (s) > 0Набор q = 1/п над.
пмощность со сдвигом частотыRe (s) > −αИнтегрировать шаг блока,
применить сдвиг частоты
отложенный пя сила
со сдвигом частоты
Re (s) > −αИнтегрировать единичный шаг,
применить сдвиг частоты,
применить сдвиг во времени
экспоненциальный спадRe (s) > −αСдвиг частоты
единичный шаг
двусторонний экспоненциальный спад
(только для двустороннего преобразования)
α s) < αСдвиг частоты
единичный шаг
экспоненциальный подходRe (s) > 0Шаг единицы минус
экспоненциальный спад
синусRe (s) > 0[6]
косинусRe (s) > 0[6]
гиперболический синусRe (s) > |α|[7]
гиперболический косинусRe (s) > |α|[7]
экспоненциально затухающий
синусоидальная волна
Re (s) > −α[6]
экспоненциально затухающий
косинусная волна
Re (s) > −α[6]
натуральный логарифмRe (s) > 0[7]
Функция Бесселя
первого рода,
порядка п
Re (s) > 0
(п > −1)
[7]
Функция ошибкиRe (s) > 0[7]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Distefano, J. J .; Stubberud, A.R .; Уильямс, И. Дж. (1995), Системы обратной связи и управления, Schaum's outlines (2-е изд.), McGraw-Hill, p. 78, ISBN  978-0-07-017052-0
  2. ^ Райли, К. Ф .; Hobson, M. P .; Бенс, С. Дж. (2010), Математические методы для физики и техники (3-е изд.), Cambridge University Press, стр. 455, г. ISBN  978-0-521-86153-3
  3. ^ Lipschutz, S .; Spiegel, M. R .; Лю Дж. (2009), "Глава 33: Преобразования Лапласа", Математический справочник формул и таблиц, Серия набросков Шаума (3-е изд.), МакГроу-Хилл, стр. 192, ISBN  978-0-07-154855-7
  4. ^ Lipschutz, S .; Spiegel, M. R .; Лю Дж. (2009), "Глава 33: Преобразования Лапласа", Математический справочник формул и таблиц, Серия набросков Шаума (3-е изд.), МакГроу-Хилл, стр. 183, г. ISBN  978-0-07-154855-7
  5. ^ «Преобразование Лапласа». Вольфрам MathWorld. Получено 30 апреля 2016.
  6. ^ а б c d Брейсуэлл, Рональд Н. (1978), Преобразование Фурье и его приложения (2-е изд.), McGraw-Hill Kogakusha, стр. 227, ISBN  978-0-07-007013-4
  7. ^ а б c d е Уильямс, Дж. (1973), Преобразования Лапласа, Решатели проблем, Джордж Аллен и Анвин, стр. 88, ISBN  978-0-04-512021-5