Список преобразований Лапласа - Википедия - List of Laplace transforms

Ниже приводится список преобразований Лапласа для многих общих функций одной переменной.^[1] В Преобразование Лапласа является интегральное преобразование который принимает функцию положительной действительной переменной $т$ (часто время) к функции комплексной переменной $s$ (частота).

Характеристики

Преобразование Лапласа функции ${ displaystyle f (t)}$ можно получить с помощью формальное определение преобразования Лапласа. Однако некоторые свойства преобразования Лапласа можно использовать для более простого получения преобразования Лапласа некоторых функций.

Линейность

Для функций ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$ а для скаляра ${ displaystyle a}$ , преобразование Лапласа удовлетворяет

{ Displaystyle { mathcal {L}} {af (t) + g (t) } = a { mathcal {L}} {f (t) } + { mathcal {L}} { g (t) }}

и поэтому рассматривается как линейный оператор.

Временной сдвиг

Преобразование Лапласа ${ Displaystyle е (т-а) и (т-а)}$ является ${ displaystyle e ^ {- as} F (s)}$ .

Сдвиг частоты

${ Displaystyle F (s-a)}$ преобразование Лапласа ${ Displaystyle е ^ {ат} е (т)}$ .

Пояснительные примечания

Одностороннее преобразование Лапласа принимает на вход функцию, временная область которой является неотрицательный реалов, поэтому все функции временной области в таблице ниже кратны Ступенчатая функция Хевисайда, $ты (т)$ .

Записи в таблице, включающие задержку по времени $τ$ должны быть причинный (означающий, что $τ > 0$ ). Причинная система - это система, в которой импульсивный ответ $час (т)$ равен нулю на все времена $т$ до $т = 0$ . В общем, область конвергенции причинных систем отличается от области конвергенции антикаузальные системы.

В таблице ниже используются следующие функции и переменные:

$δ$ представляет Дельта-функция Дирака.
$ты (т)$ представляет Ступенчатая функция Хевисайда.
$Γ (z)$ представляет Гамма-функция.
$γ$ это Константа Эйлера – Маскерони.
$т$ это настоящий номер. Обычно он представляет время, хотя он может представлять любой независимое измерение.
$s$ это сложный параметр частотной области и $Re (s)$ это его реальная часть.
$п$ является целое число.
$α, τ, и ω$ настоящие числа.
$q$ - комплексное число.

Стол

Функция	Область времени ${ Displaystyle F (T) = { mathcal {L}} ^ {- 1} {F (s) }}$	Лаплас $s$ -домен ${ Displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {е (т) }}$	Область конвергенции	Ссылка
единичный импульс	${ Displaystyle дельта (т)}$	${ displaystyle 1}$	все $s$	осмотр
задержанный импульс	${ Displaystyle дельта (т- тау)}$	${ displaystyle e ^ {- tau s}}$	$Re (s) > 0$	сдвиг во времени единичный импульс^[2]
единичный шаг	${ Displaystyle и (т)}$	${ displaystyle {1 over s}}$	$Re (s) > 0$	интегрировать единичный импульс
отложенный единичный шаг	${ Displaystyle и (т- тау)}$	${ displaystyle { frac {1} {s}} e ^ {- tau s}}$	$Re (s) > 0$	сдвиг во времени единичный шаг^[3]
пандус	${ Displaystyle т cdot и (т)}$	${ displaystyle { frac {1} {s ^ {2}}}}$	$Re (s) > 0$	интегрировать блок импульс дважды
$п$ я сила (для целого $п$ )	${ Displaystyle т ^ {п} cdot и (т)}$	${ displaystyle {n! над s ^ {n + 1}}}$	$Re (s) > 0$ ( $п > -1$ )	Интегрировать блок шаг $п$ раз
$q$ я сила (для сложных $q$ )	${ Displaystyle т ^ {д} cdot и (т)}$	${ Displaystyle { Гамма (д + 1) над s ^ {q + 1}}}$	$Re (s) > 0$ $Re (q) > -1$	^[4]^[5]
$п$ й корень	${ Displaystyle { sqrt [{п}] {т}} cdot и (т)}$	${ displaystyle {1 over s ^ {{ frac {1} {n}} + 1}} Gamma left ({ frac {1} {n}} + 1 right)}$	$Re (s) > 0$	Набор $q = 1/ п$ над.
$п$ мощность со сдвигом частоты	${ Displaystyle т ^ {п} е ^ {- альфа т} cdot и (т)}$	${ displaystyle { frac {n!} {(s + alpha) ^ {n + 1}}}}$	$Re (s) > - α$	Интегрировать шаг блока, применить сдвиг частоты
отложенный $п$ я сила со сдвигом частоты	${ Displaystyle (т- тау) ^ {п} е ^ {- альфа (т- тау)} CDOT и (т- тау)}$	${ displaystyle { frac {n! cdot e ^ {- tau s}} {(s + alpha) ^ {n + 1}}}}$	$Re (s) > - α$	Интегрировать единичный шаг, применить сдвиг частоты, применить сдвиг во времени
экспоненциальный спад	${ Displaystyle е ^ {- альфа т} cdot и (т)}$	${ displaystyle {1 over s + alpha}}$	$Re (s) > - α$	Сдвиг частоты единичный шаг
двусторонний экспоненциальный спад (только для двустороннего преобразования)	${ Displaystyle е ^ {- альфа \| т \|}}$	${ displaystyle {2 alpha over alpha ^ {2} -s ^ {2}}}$	$- α s) < α$	Сдвиг частоты единичный шаг
экспоненциальный подход	${ Displaystyle (1-е ^ {- альфа т}) cdot и (т)}$	${ displaystyle { frac { alpha} {s (s + alpha)}}}$	$Re (s) > 0$	Шаг единицы минус экспоненциальный спад
синус	${ Displaystyle грех ( омега т) CDOT и (т)}$	${ displaystyle { omega over s ^ {2} + omega ^ {2}}}$	$Re (s) > 0$	^[6]
косинус	${ Displaystyle соз ( омега т) CDOT и (т)}$	${ displaystyle {s over s ^ {2} + omega ^ {2}}}$	$Re (s) > 0$	^[6]
гиперболический синус	${ Displaystyle зп ( альфа т) CDOT и (т)}$	${ displaystyle { alpha over s ^ {2} - alpha ^ {2}}}$	$Re (s) > \| α \|$	^[7]
гиперболический косинус	${ Displaystyle сп ( альфа т) CDOT и (т)}$	${ displaystyle {s over s ^ {2} - alpha ^ {2}}}$	$Re (s) > \| α \|$	^[7]
экспоненциально затухающий синусоидальная волна	${ Displaystyle е ^ {- альфа т} грех ( омега т) CDOT и (т)}$	${ displaystyle { omega over (s + alpha) ^ {2} + omega ^ {2}}}$	$Re (s) > - α$	^[6]
экспоненциально затухающий косинусная волна	${ Displaystyle е ^ {- альфа т} соз ( омега т) CDOT и (т)}$	${ displaystyle {s + alpha over (s + alpha) ^ {2} + omega ^ {2}}}$	$Re (s) > - α$	^[6]
натуральный логарифм	${ Displaystyle пер (т) CDOT и (т)}$	${ displaystyle { frac {- ln (s) - gamma} {s}}}$	$Re (s) > 0$	^[7]
Функция Бесселя первого рода, порядка п	${ Displaystyle J_ {п} ( омега т) cdot и (т)}$	${ displaystyle { frac { left ({ sqrt {s ^ {2} + omega ^ {2}}} - s right) ^ {n}} { omega ^ {n} { sqrt {s ^ {2} + omega ^ {2}}}}}}$	$Re (s) > 0$ ( $п > -1$ )	^[7]
Функция ошибки	${ Displaystyle OperatorName {ERF} (т) CDOT и (т)}$	${ displaystyle { frac {e ^ {s ^ {2} / 4}} {s}} left (1- operatorname {erf} left ({ frac {s} {2}} right) верно)}$	$Re (s) > 0$	^[7]