Теорема Кельвина о циркуляции - Википедия - Kelvins circulation theorem

В механика жидкости, Теорема циркуляции Кельвина (названный в честь Уильям Томсон, первый барон Кельвин кто опубликовал его в 1869 году) заявляет В баротропный идеальная жидкость с консервативными телесными силами обращение вокруг замкнутой кривой (которая включает в себя те же элементы жидкости) движение с жидкостью остается постоянным во времени.^[1][2] Формулируется математически:

${ Displaystyle { frac { mathrm {D} Gamma} { mathrm {D} t}} = 0}$

куда ${ displaystyle Gamma}$ это обращение по контуру материала ${ displaystyle C (t)}$. Проще говоря, эта теорема гласит, что если кто-то наблюдает за замкнутым контуром в один момент и прослеживает контур во времени (отслеживая движение всех его жидких элементов), циркуляция по двум точкам этого контура будет равной.

Эта теорема не верна в случаях с вязкими напряжениями, неконсервативными объемными силами (например, сила Кориолиса ) или небаротропные зависимости давления от плотности.

Математическое доказательство

Тираж ${ displaystyle Gamma}$ вокруг замкнутого контура материала ${ displaystyle C (t)}$ определяется:

${ displaystyle Gamma (t) = oint _ {C} { boldsymbol {u}} cdot mathrm {d} { boldsymbol {s}}}$

куда ты - вектор скорости, а ds - элемент по замкнутому контуру.

Основное уравнение для невязкой жидкости с консервативной объемной силой имеет вид

${ displaystyle { frac { mathrm {D} { boldsymbol {u}}} { mathrm {D} t}} = - { frac {1} { rho}} { boldsymbol { nabla}} р + { boldsymbol { nabla}} Phi}$

где D / Dт это конвективная производная, ρ плотность жидкости, п это давление и Φ потенциал для силы тела. Это уравнения Эйлера с объемной силой.

Условие баротропности подразумевает, что плотность является функцией только давления, т.е. ${ Displaystyle rho = rho (p)}$.

Взяв конвективную производную циркуляции, получаем

${ displaystyle { frac { mathrm {D} Gamma} { mathrm {D} t}} = oint _ {C} { frac { mathrm {D} { boldsymbol {u}}} { mathrm {D} t}} cdot mathrm {d} { boldsymbol {s}} + oint _ {C} { boldsymbol {u}} cdot { frac { mathrm {D} mathrm {d } { boldsymbol {s}}} { mathrm {D} t}}.}$

Для первого члена мы подставляем из основного уравнения, а затем применяем Теорема Стокса, таким образом:

${ displaystyle oint _ {C} { frac { mathrm {D} { boldsymbol {u}}} { mathrm {D} t}} cdot mathrm {d} { boldsymbol {s}} = int _ {A} { boldsymbol { nabla}} times left (- { frac {1} { rho}} { boldsymbol { nabla}} p + { boldsymbol { nabla}} Phi right) cdot { boldsymbol {n}} , mathrm {d} S = int _ {A} { frac {1} { rho ^ {2}}} left ({ boldsymbol { nabla}} rho times { boldsymbol { nabla}} p right) cdot { boldsymbol {n}} , mathrm {d} S = 0.}$

Окончательное равенство возникает, поскольку ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} rho times { boldsymbol { nabla}} p = 0}$ вследствие баротропности. Мы также использовали тот факт, что ротор любого градиента обязательно равен 0 или ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { nabla}} f = 0}$ для любой функции ${ displaystyle f}$.

Для второго члена отметим, что эволюция элемента материальной линии определяется выражением

${ displaystyle { frac { mathrm {D} mathrm {d} { boldsymbol {s}}} { mathrm {D} t}} = left ( mathrm {d} { boldsymbol {s}} cdot { boldsymbol { nabla}} right) { boldsymbol {u}}.}$

Следовательно

${ displaystyle oint _ {C} { boldsymbol {u}} cdot { frac { mathrm {D} mathrm {d} { boldsymbol {s}}} { mathrm {D} t}} = oint _ {C} { boldsymbol {u}} cdot left ( mathrm {d} { boldsymbol {s}} cdot { boldsymbol { nabla}} right) { boldsymbol {u}} = { frac {1} {2}} oint _ {C} { boldsymbol { nabla}} left (| { boldsymbol {u}} | ^ {2} right) cdot mathrm {d } { boldsymbol {s}} = 0.}$

Последнее равенство получается применением градиентная теорема.

Поскольку оба члена равны нулю, получаем результат

${ displaystyle { frac { mathrm {D} Gamma} { mathrm {D} t}} = 0.}$

Теорема Пуанкаре – Бьеркнеса о циркуляции

Аналогичный принцип, сохраняющий величину, может быть получен и для вращающейся системы отсчета, известный как теорема Пуанкаре – Бьеркнеса, названная в честь Анри Пуанкаре и Вильгельм Бьеркнес, выведший инвариант в 1893 г.^[3][4] и 1898 г.^[5][6] Теорема может быть применена к вращающейся системе отсчета, которая вращается с постоянной угловой скоростью, задаваемой вектором ${ displaystyle { boldsymbol { Omega}}}$, для модифицированного тиража

${ displaystyle Gamma (t) = oint _ {C} ({ boldsymbol {u}} + { boldsymbol { Omega}} times { boldsymbol {r}}) cdot mathrm {d} { boldsymbol {s}}}$

Здесь ${ displaystyle { boldsymbol {r}}}$ - положение области жидкости. Из Теорема Стокса, это:

${ displaystyle Gamma (t) = int _ {A} { boldsymbol { nabla}} times ({ boldsymbol {u}} + { boldsymbol { Omega}} times { boldsymbol {r}) }) cdot { boldsymbol {n}} , mathrm {d} S = int _ {A} ({ boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol {u}} + 2 { boldsymbol { Omega}}) cdot { boldsymbol {n}} , mathrm {d} S}$

Смотрите также

• Принцип Бернулли
• Уравнения Эйлера (гидродинамика)
• Теоремы Гельмгольца
• Термомагнитная конвекция

Примечания