Несжимаемый поток - Incompressible flow

В механика жидкости или в более общем смысле механика сплошной среды, несжимаемый поток (изохорный поток ) относится к поток в котором материал плотность постоянно в пределах жидкая посылка —Ан бесконечно малый объем, который движется вместе с скорость потока. Эквивалентное утверждение, которое подразумевает несжимаемость это то расхождение скорости потока равна нулю (см. вывод ниже, который иллюстрирует, почему эти условия эквивалентны).

Несжимаемый поток не означает, что сама жидкость несжимаема. В приведенном ниже выводе показано, что (при правильных условиях) даже сжимаемые жидкости может - в хорошем приближении - моделироваться как поток несжимаемой жидкости. Несжимаемый поток означает, что плотность остается постоянной внутри частицы жидкости, которая движется со скоростью потока.

Вывод

Основное требование к несжимаемому потоку состоит в том, чтобы плотность ${ displaystyle rho}$ , постоянна в пределах небольшого объема элемента, dV, который движется со скоростью потока ты. Математически это ограничение означает, что материальная производная (обсуждается ниже) плотности должна исчезнуть, чтобы гарантировать несжимаемый поток. Прежде чем вводить это ограничение, мы должны применить сохранение массы сформировать необходимые отношения. Масса рассчитывается объемный интеграл плотности, ${ displaystyle rho}$ :

{ displaystyle {m} = { iiint limits _ {V} ! rho , mathrm {d} V}.}

Сохранение массы требует, чтобы производная по времени от массы внутри контрольный объем быть равным потоку массы, J, через его границы. Математически мы можем представить это ограничение в виде поверхностный интеграл:

{ displaystyle { partial m over partial t} = -}

{ displaystyle S}

{ Displaystyle mathbf {J} cdot mathrm {d} mathbf {S}}

Отрицательный знак в приведенном выше выражении гарантирует, что выходящий поток приводит к уменьшению массы по отношению ко времени, используя соглашение, согласно которому вектор площади поверхности указывает наружу. Теперь, используя теорема расходимости мы можем вывести связь между потоком и частной производной плотности по времени:

{ displaystyle { iiint limits _ {V} { partial rho over partial t} , mathrm {d} V} = {- iiint limits _ {V} left ( nabla cdot mathbf {J} right) , mathrm {d} V},}

следовательно:

{ Displaystyle { partial rho over partial t} = - nabla cdot mathbf {J}.}

Частная производная плотности по времени не обязательно обращается в нуль, чтобы гарантировать несжимаемость. поток. Когда мы говорим о частной производной плотности по времени, мы имеем в виду эту скорость изменения в пределах контрольного объема фиксированная позиция. Допуская частную производную плотности по времени, отличную от нуля, мы не ограничиваемся несжимаемыми жидкости, потому что плотность может изменяться, если смотреть из фиксированного положения, когда жидкость течет через контрольный объем. Этот подход сохраняет общность и не требует, чтобы частная производная плотности по времени обращалась в нуль, что показывает, что сжимаемые жидкости все еще могут испытывать несжимаемый поток. Нас интересует изменение плотности контрольного объема, который движется вместе со скоростью потока, ты. Поток связан со скоростью потока через следующую функцию:

{ displaystyle { mathbf {J}} = { rho mathbf {u}}.}

Итак, сохранение массы означает, что:

{ Displaystyle { partial rho over partial t} + { nabla cdot left ( rho mathbf {u} right)} = { partial rho over partial t} + { nabla rho cdot mathbf {u}} + { rho left ( nabla cdot mathbf {u} right)} = 0.}

Предыдущее соотношение (где мы использовали соответствующие правило продукта ) известен как уравнение неразрывности. Теперь нам понадобится следующее соотношение относительно полная производная плотности (где мы применяем Правило цепи ):

{ Displaystyle { mathrm {d} rho over mathrm {d} t} = { partial rho over partial t} + { partial rho over partial x} { mathrm {d} x over mathrm {d} t} + { partial rho over partial y} { mathrm {d} y over mathrm {d} t} + { partial rho over partial z} { mathrm {d} z over mathrm {d} t}.}

Итак, если мы выберем контрольный объем, который движется с той же скоростью, что и жидкость (т.е. (dx/dt, dy/dt, дз/dt) = ты), то это выражение упрощается до материальная производная:

{ Displaystyle {D rho over Dt} = { partial rho over partial t} + { nabla rho cdot mathbf {u}}.}

Итак, используя полученное выше уравнение неразрывности, мы видим, что:

{ displaystyle {D rho over Dt} = {- rho left ( nabla cdot mathbf {u} right)}.}

Изменение плотности с течением времени будет означать, что жидкость либо сжалась, либо расширилась (или что масса, содержащаяся в нашем постоянном объеме, dV, было изменено), что мы запретили. Затем мы должны потребовать, чтобы материальная производная плотности обращалась в нуль, и, что эквивалентно (для ненулевой плотности), то же самое должно происходить и с дивергенцией скорости потока:

{ displaystyle { nabla cdot mathbf {u}} = 0.}

Итак, начиная с сохранения массы и ограничения, заключающегося в том, что плотность в движущемся объеме жидкости остается постоянной, было показано, что эквивалентное условие, необходимое для несжимаемого потока, состоит в том, что дивергенция скорости потока исчезает.

Отношение к сжимаемости

В некоторых месторождениях мерой несжимаемости потока является изменение плотности в результате колебаний давления. Лучше всего это выразить в терминах сжимаемость

{ displaystyle beta = { frac {1} { rho}} { frac { mathrm {d} rho} { mathrm {d} p}}.}

Если сжимаемость достаточно мала, поток считается несжимаемым.

Отношение к соленоидальному полю

Несжимаемый поток описывается соленоидный поле скорости потока. Но соленоидальное поле, помимо нуля расхождение, также имеет дополнительный смысл ненулевой завиток (т.е. вращательная составляющая).

В противном случае, если несжимаемый поток также имеет нулевой ротор, так что он также безвихревый, то фактически поле скорости потока Лапласиан.

Отличие от материала

Как было определено ранее, несжимаемый (изохорный) поток - это поток, в котором

{ Displaystyle набла cdot mathbf {u} = 0. ,}

Это эквивалентно тому, что

{ displaystyle { frac {D rho} {Dt}} = { frac { partial rho} { partial t}} + mathbf {u} cdot nabla rho = 0}

то есть материальная производная плотности равна нулю. Таким образом, если мы проследим за материальным элементом, его массовая плотность останется постоянной. Обратите внимание, что материальная производная состоит из двух членов. Первый срок ${ Displaystyle { tfrac { partial rho} { partial t}}}$ описывает, как плотность материального элемента изменяется со временем. Этот термин также известен как неустойчивый срок. Второй срок, ${ displaystyle mathbf {u} cdot nabla rho}$ описывает изменение плотности при перемещении материального элемента из одной точки в другую. Это срок адвекции (член конвекции для скалярного поля). Чтобы поток был несжимаемым, сумма этих слагаемых должна быть равна нулю.

С другой стороны, однородный несжимаемый материал тот, который имеет постоянную плотность повсюду. Для такого материала ${ Displaystyle rho = { текст {константа}}}$ . Это означает, что

{ displaystyle { frac { partial rho} { partial t}} = 0}

и

{ displaystyle nabla rho = 0}

независимо.

Из уравнения неразрывности следует, что

{ displaystyle { frac {D rho} {Dt}} = { frac { partial rho} { partial t}} + mathbf {u} cdot nabla rho = 0 Rightarrow набла cdot mathbf {u} = 0}

Таким образом, однородные материалы всегда подвергаются несжимаемому течению, но обратное неверно. То есть сжимаемые материалы могут не испытывать сжатия в потоке.

Связанные ограничения потока

В гидродинамике поток считается несжимаемым, если дивергенция скорости потока равна нулю. Однако иногда можно использовать родственные составы, в зависимости от моделируемой системы потока. Некоторые версии описаны ниже:

Несжимаемый поток: ${ Displaystyle { набла cdot mathbf {u} = 0}}$ . Это может предполагать либо постоянную плотность (строго несжимаемую), либо переменную плотность потока. Набор с переменной плотностью допускает решения с малыми возмущениями в плотность, поля давления и / или температуры, и может учитывать давление стратификация в домене.
Неупругий поток: ${ displaystyle { nabla cdot left ( rho _ {o} mathbf {u} right) = 0}}$ . В основном используется в области атмосферные науки, неупругое ограничение расширяет действие несжимаемого потока до стратифицированной плотности и / или температуры, а также давления. Это позволяет термодинамическим переменным релаксировать до «атмосферного» основного состояния, наблюдаемого в нижних слоях атмосферы, например, при использовании в области метеорологии. Это условие также может быть использовано для различных астрофизических систем.^[1]
Поток с низким числом Маха, или же псевдосжимаемость: ${ Displaystyle набла CDOT влево ( альфа mathbf {и} вправо) = бета}$ . Низкий Число Маха ограничение может быть получено из сжимаемых уравнений Эйлера с использованием масштабного анализа безразмерных величин. Ограничитель, как и предыдущий в этом разделе, позволяет удалять акустические волны, но также позволяет большой возмущения плотности и / или температуры. Предполагается, что поток остается в пределах числа Маха (обычно менее 0,3), чтобы любое решение, использующее такое ограничение, было действительным. Опять же, в соответствии со всеми потоками несжимаемой жидкости отклонение давления должно быть небольшим по сравнению с исходным состоянием давления.^[2]

Эти методы делают разные предположения о потоке, но все принимают во внимание общую форму ограничения. ${ Displaystyle набла CDOT влево ( альфа mathbf {и} вправо) = бета}$ для общих функций, зависящих от потока ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ .

Численные приближения

Строгий характер уравнений потока несжимаемой жидкости означает, что для их решения были разработаны специальные математические методы. Некоторые из этих методов включают:

В метод проекции (как приблизительное, так и точное)
Техника искусственной сжимаемости (приблизительная)
Предварительное кондиционирование сжимаемости