Проекционный метод (гидродинамика) - Projection method (fluid dynamics)

В метод проекции является эффективным средством численно решение зависящее от времени поток несжимаемой жидкости проблемы. Первоначально он был представлен Александр Чорин в 1967 г.^[1][2]как эффективное средство решения несжимаемой Уравнения Навье-Стокса. Ключевое преимущество проекционного метода состоит в том, что вычисления полей скорости и давления не связаны.

Алгоритм

Алгоритм проекционного метода основан на Разложение Гельмгольца (иногда называемое разложением Гельмгольца-Ходжа) любого векторного поля в соленоидный часть и безвихревый часть. Обычно алгоритм состоит из двух этапов. На первом этапе на каждом временном шаге вычисляется промежуточная скорость, которая не удовлетворяет ограничению несжимаемости. Во втором случае давление используется для проецирования промежуточной скорости на пространство бездивергентного поля скоростей для получения следующего обновления скорости и давления.

Разложение Гельмгольца – Ходжа

Теоретической основой метода проекционного типа является теорема разложения Ладыженская иногда называется разложением Гельмгольца – Ходжа или просто разложением Ходжа. В нем говорится, что векторное поле ${displaystyle mathbf {u}}$ определено на односвязный область однозначно разлагается на бездивергентную (соленоидный ) часть ${displaystyle mathbf {u} _ {ext {sol}}}$ и безвихревый часть ${displaystyle mathbf {u} _ {ext {irrot}}}$..^[3]

Таким образом,

${displaystyle mathbf {u} = mathbf {u} _ {ext {sol}} + mathbf {u} _ {ext {irrot}} = mathbf {u} _ {ext {sol}} + abla phi}$

поскольку ${displaystyle abla imes abla phi = 0}$ для некоторой скалярной функции, ${displaystyle, phi}$. Принимая во внимание расходимость уравнения, получаем

${displaystyle abla cdot mathbf {u} = abla ^ {2} phi qquad ({ext {с,}}; abla cdot mathbf {u} _ {ext {sol}} = 0)}$

Это Уравнение Пуассона для скалярной функции ${displaystyle, phi}$. Если векторное поле ${displaystyle mathbf {u}}$ известно, указанное выше уравнение может быть решено относительно скалярной функции ${displaystyle, phi}$ и бездивергентная часть ${displaystyle mathbf {u}}$ можно извлечь с помощью соотношения

${displaystyle mathbf {u} _ {ext {sol}} = mathbf {u} -abla phi}$

В этом суть соленоидального проекционного метода решения уравнений Навье – Стокса несжимаемой жидкости.

Проекционный метод Чорина

Несжимаемое уравнение Навье-Стокса (дифференциальная форма уравнения количества движения) можно записать как

${displaystyle {frac {partial mathbf {u}} {partial t}} + (mathbf {u} cdot abla) mathbf {u} = - {frac {1} {ho}} abla p + u abla ^ {2} mathbf {u}}$

В Чорин исходная версия метода проекции, сначала вычисляется промежуточная скорость, ${displaystyle mathbf {u} ^ {*}}$, явно используя уравнение импульса, игнорируя член градиента давления:

${displaystyle quad (1) qquad {frac {mathbf {u} ^ {*} - mathbf {u} ^ {n}} {Delta t}} = - (mathbf {u} ^ {n} cdot abla) mathbf {u } ^ {n} + u abla ^ {2} mathbf {u} ^ {n}}$

куда ${displaystyle mathbf {u} ^ {n}}$ скорость при ${displaystyle, n}$^th шаг времени. Во второй половине алгоритма проекция шаг, мы исправляем промежуточную скорость, чтобы получить окончательное решение временного шага ${displaystyle mathbf {u} ^ {n + 1}}$:

${displaystyle quad (2) qquad mathbf {u} ^ {n + 1} = mathbf {u} ^ {*} - {frac {Delta t} {ho}}, abla p ^ {n + 1}}$

Это уравнение можно переписать в виде шага по времени как

${displaystyle {frac {mathbf {u} ^ {n + 1} -mathbf {u} ^ {*}} {Delta t}} = - {frac {1} {ho}}, abla p ^ {n + 1} }$

чтобы прояснить, что алгоритм на самом деле просто разделение операторов подход, при котором силы вязкости (на первом полушаге) и силы давления (на втором полушаге) рассматриваются отдельно.

Вычисление правой части второго полушага требует знания давления, ${displaystyle, p}$, на${displaystyle, (n + 1)}$ временной уровень. Это получается, если взять расхождение и требуя, чтобы ${displaystyle abla cdot mathbf {u} ^ {n + 1} = 0}$, что является условием дивергенции (непрерывности), тем самым выводя следующее уравнение Пуассона для ${displaystyle, p ^ {n + 1}}$,

${displaystyle abla ^ {2} p ^ {n + 1} = {frac {ho} {Delta t}}, abla cdot mathbf {u} ^ {*}}$

Поучительно отметить, что уравнение, записанное как

${displaystyle mathbf {u} ^ {*} = mathbf {u} ^ {n + 1} + {frac {Delta t} {ho}}, abla p ^ {n + 1}}$

является стандартным разложением Ходжа, если граничное условие для ${displaystyle, p}$ на границе домена, ${displaystyle partial Omega}$ находятся ${displaystyle abla p ^ {n + 1} cdot mathbf {n} = 0}$. На практике это условие отвечает за ошибки, которые этот метод показывает вблизи границы области, поскольку реальное давление (т.е. давление в точном решении уравнений Навье-Стокса) не удовлетворяет таким граничным условиям.

Для явного метода граничное условие для ${displaystyle mathbf {u} ^ {*}}$ в уравнении (1) естественно. Если ${displaystyle mathbf {u} cdot mathbf {n} = 0}$ на ${displaystyle partial Omega}$, то пространство бездивергентных векторных полей будет ортогонально пространству безвихревых векторных полей, и из уравнения (2) имеем

${displaystyle {frac {partial p ^ {n + 1}} {partial n}} = 0qquad {ext {on}} quad partial Omega}$

Явную обработку граничного условия можно обойти, используя шахматная сетка и требуя, чтобы ${displaystyle abla cdot mathbf {u} ^ {n + 1}}$ исчезают в узлах давления, примыкающих к границам.

Отличительной особенностью проекционного метода Чорина является то, что поле скорости вынуждено удовлетворять дискретному ограничению непрерывности в конце каждого временного шага.

Общий метод

Обычно метод проецирования работает как двухэтапная схема дробного шага, метод, который использует несколько шагов вычисления для каждого числового шага по времени. Во многих алгоритмах проецирования этапы разбиты следующим образом:

1. Сначала система продвигается во времени к положению со средним временным шагом, решая вышеуказанные уравнения переноса для массы и импульса с помощью подходящего метода переноса. Это обозначается предсказатель шаг.
2. В этот момент может быть реализована начальная проекция, так что поле скорости на середине временного шага будет обеспечиваться как свободное от расхождения.
3. В корректор затем выполняется часть алгоритма. Они используют центрированные по времени оценки скорости, плотности и т.д., чтобы сформировать окончательное состояние временного шага.
4. Затем применяется окончательная проекция, чтобы обеспечить ограничение расходимости в поле скорости. Система теперь полностью обновлена ​​до нового времени.

Рекомендации