Лапласово векторное поле - Laplacian vector field

Эта статья не цитировать любой источники. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удаленный. Найдите источники: "Лапласово векторное поле"  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Ноябрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В векторное исчисление, а Лапласово векторное поле это векторное поле что является как безвихревый и несжимаемый. Если поле обозначено как v, то он описывается следующим дифференциальные уравнения:

${ Displaystyle { begin {выровнено} набла раз mathbf {v} & = mathbf {0}, набла cdot mathbf {v} & = 0. end {выровнено}}}$

От тождество с векторным исчислением ${ displaystyle nabla ^ {2} mathbf {v} Equiv nabla ( nabla cdot mathbf {v}) - nabla times ( nabla times mathbf {v})}$ следует, что

${ Displaystyle набла ^ {2} mathbf {v} = 0}$

то есть, что поле v удовлетворяет Уравнение Лапласа.

Лапласовское векторное поле на плоскости удовлетворяет условию Уравнения Коши – Римана: это голоморфный.

Поскольку завиток из v равен нулю, отсюда следует, что (когда область определения односвязна) v можно выразить как градиент из скалярный потенциал (видеть безвихревое поле ) φ :

${ Displaystyle mathbf {v} = набла фи. qquad qquad (1)}$

Тогда, поскольку расхождение из v также равна нулю, из уравнения (1) следует, что

${ Displaystyle набла cdot набла фи = 0}$

что эквивалентно

${ displaystyle nabla ^ {2} phi = 0.}$

Следовательно, потенциал лапласовского поля удовлетворяет Уравнение Лапласа.

Смотрите также

• Потенциальный поток
• Гармоническая функция

Этот математический анализ –Связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.