Моделирование N-тела - N-body simulation

An N-тело моделирование космологического образования скопления галактик в расширяющейся Вселенной.

В физика и астрономия, Nмоделирование тела представляет собой симуляцию динамическая система частиц, обычно под действием физических сил, таких как сила тяжести (видеть ппроблема тела ). N-имуляторы тела - широко используемые инструменты в астрофизика, из исследования динамики систем нескольких тел, таких как земной шар -Луна -солнце система к пониманию эволюции крупномасштабная структура Вселенной.^[1] В физическая космология, Nмоделирование тела используется для изучения процессов нелинейного формирование структуры Такие как нити галактики и гало галактики от влияния темная материя. Прямой Nмоделирование тела используется для изучения динамической эволюции звездные скопления.

Природа частиц

«Частицы», обрабатываемые при моделировании, могут соответствовать или не соответствовать физическим объектам, которые по своей природе являются твердыми частицами. Например, моделирование звездного скопления из N тел может иметь частицу на звезду, поэтому каждая частица имеет определенное физическое значение. С другой стороны, моделирование газовое облако не может позволить иметь частицу для каждого атома или молекулы газа, поскольку для этого потребовалось бы порядка 10²³ частиц на каждый моль материала (см. Константа Авогадро ), поэтому одна «частица» будет представлять гораздо большее количество газа (часто реализуется с использованием Гидродинамика сглаженных частиц ). Эта величина не обязательно должна иметь какое-либо физическое значение, но должна быть выбрана как компромисс между точностью и управляемыми компьютерными требованиями.

Прямая гравитационная N-имуляторы тела

Воспроизвести медиа

N-тело моделирование 400 объектов с параметрами, близкими к параметрам Солнечная система планеты.

В прямом гравитационном Nмоделирования тела, уравнения движения системы N частицы под действием их взаимных гравитационных сил интегрируются численно без каких-либо упрощающих приближений. Эти вычисления используются в ситуациях, когда взаимодействия между отдельными объектами, такими как звезды или планеты, важны для эволюции системы.

Первый прямой N- моделирование тела проводилось Эрик Холмберг на Лундская обсерватория в 1941 году, определение сил между звездами при столкновении с галактиками посредством математической эквивалентности между распространением света и гравитационным взаимодействием: установка лампочек в положениях звезд и измерение направленных световых потоков в положениях звезд с помощью фотоэлемента, уравнения движения можно интегрировать с ${displaystyle O (N)}$ усилие.^[2] Первые чисто вычислительные симуляции были затем выполнены Себастьян фон Хёрнер на Astronomisches Rechen-Institut в Гейдельберг, Германия. Сверре Ошет на Кембриджский университет (Великобритания) посвятил всю свою научную жизнь разработке серии высокоэффективных Nкоды тела для астрофизических приложений, которые используют адаптивные (иерархические) временные шаги, схему соседей Ахмада-Коэна и регуляризацию близких встреч. Регуляризация - это математическая уловка, позволяющая устранить сингулярность в законе тяготения Ньютона для двух частиц, которые сближаются произвольно близко друг к другу. Коды Сверре Орсета используются для изучения динамики звездных скоплений, планетных систем и ядер галактик.^{[нужна цитата ]}

Моделирование общей теории относительности

Многие симуляции достаточно велики, чтобы эффекты общая теория относительности в создании Космология Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера значительны. Это включено в моделирование как развивающаяся мера расстояния (или масштаб ) в сопутствующая координата системы, которая заставляет частицы замедляться в сопутствующих координатах (а также из-за красное смещение их физической энергии). Однако вклад общей теории относительности и конечного скорость гравитации в противном случае можно пренебречь, поскольку типичные динамические масштабы времени велики по сравнению со временем пересечения света для моделирования, а искривление пространства-времени, вызванное частицами, и скорости частиц малы. Граничные условия этих космологических симуляций обычно периодические (или тороидальные), так что один край объема симуляции совпадает с противоположным краем.

Оптимизация расчетов

NМоделирование тела в принципе простое, потому что оно включает простую интеграцию 6N обыкновенные дифференциальные уравнения определяя движения частиц в Ньютоновская гравитация. На практике число N вовлеченных частиц обычно очень велико (типичное моделирование включает многие миллионы, Моделирование тысячелетия включены десять миллиардов), а количество взаимодействий между частицами, которые необходимо вычислить, увеличивается примерно на N², и поэтому прямое интегрирование дифференциальных уравнений может быть чрезмерно затратным с точки зрения вычислений. Поэтому обычно используется ряд уточнений.

Численное интегрирование обычно выполняется на небольших временных шагах с использованием такого метода, как чехарда интеграции. Однако любое численное интегрирование приводит к ошибкам. Меньшие шаги дают меньше ошибок, но выполняются медленнее. Интеграция Leapfrog составляет примерно 2-й порядок по временному шагу, другие интеграторы, такие как Методы Рунге – Кутты может иметь точность 4-го порядка или намного выше.

Одно из простейших усовершенствований состоит в том, что каждая частица несет с собой свою собственную переменную временного шага, так что частицы с сильно различающимся динамическим временем не должны развиваться вперед со скоростью, соответствующей наименьшему времени.

Существуют две основные схемы аппроксимации для уменьшения времени вычислений для такого моделирования. Это может уменьшить вычислительная сложность до O (N log N) или лучше, с потерей точности.

Древовидные методы

В древовидные методы, например Моделирование Barnes – Hut, октодерево обычно используется для разделения объема на кубические ячейки, и индивидуально нужно рассматривать только взаимодействия между частицами из соседних ячеек; частицы в отдаленных ячейках можно рассматривать вместе как одну большую частицу с центром в центре масс удаленной ячейки (или как частицы низкого порядка многополюсный расширение). Это может значительно уменьшить количество взаимодействий пар частиц, которые необходимо вычислить. Чтобы моделирование не загромождалось вычислением взаимодействий между частицами, ячейки должны быть уточнены до меньших ячеек в более плотных частях моделирования, которые содержат много частиц на ячейку. Для моделирования, в котором частицы распределены неравномерно, хорошо разделенное парное разложение методы Каллахана и Косараджу дают оптимальный O (п бревноп) время на итерацию с фиксированным размером.

Метод частиц сетки

Другая возможность - это метод сетки частиц в котором пространство дискретизировано на сетке, и для целей вычисления гравитационный потенциал, предполагается, что частицы разделены между ближайшими вершинами сетки. Найти потенциальную энергию Φ легко, потому что Уравнение Пуассона

{displaystyle abla ^ {2} Phi = 4pi G {ho} ,,}

куда грамм является Постоянная Ньютона и ${displaystyle {ho}}$ - плотность (количество частиц в точках сетки), легко решить, используя быстрое преобразование Фурье идти в частотная область где уравнение Пуассона имеет простой вид

{displaystyle {hat {Phi}} = - 4pi G {frac {hat {ho}} {k ^ {2}}} ,,}

куда ${displaystyle {vec {k}}}$ - сопутствующее волновое число, а шляпы обозначают преобразования Фурье. С ${displaystyle {vec {g}} = - {vec {abla}} Фи}$ , теперь гравитационное поле можно найти, умножив на ${displaystyle -i {vec {k}}}$ и вычисление обратного преобразования Фурье (или вычисление обратного преобразования с последующим использованием какого-либо другого метода). Поскольку этот метод ограничен размером ячейки, на практике используется меньшая сетка или какой-либо другой метод (например, объединение с деревом или простой алгоритм частицы-частицы) для вычисления мелкомасштабных сил. Иногда используется адаптивная сетка, в которой ячейки сетки намного меньше в более плотных областях моделирования.

Оптимизация для особых случаев

Несколько разных гравитационное возмущение используются алгоритмы для получения достаточно точных оценок пути объектов в Солнечной системе.

Часто люди решают поставить спутник в замороженная орбита Путь спутника, вращающегося близко к Земле, можно точно смоделировать, начиная с эллиптической орбиты двух тел вокруг центра Земли и добавляя небольшие поправки из-за сжатие Земли, гравитационное притяжение Солнца и Луны, сопротивление атмосферы и т. д. Можно найти замороженную орбиту, не вычисляя фактический путь спутника.

Путь малой планеты, кометы или космического корабля дальнего действия часто можно точно смоделировать, начиная с эллиптической орбиты двух тел вокруг Солнца и добавляя небольшие поправки от гравитационного притяжения более крупных планет на их известные орбиты.

Некоторые характеристики долговременных пробегов системы частиц можно рассчитать напрямую. Фактический путь любой конкретной частицы не нужно рассчитывать в качестве промежуточного шага. К таким характеристикам относятся Ляпуновская устойчивость, Ляпуновское время, различные измерения от эргодическая теория, так далее.

Двухчастичные системы

Хотя в типичных моделях используются миллионы или миллиарды частиц, они обычно соответствуют реальной частице с очень большой массой, обычно 10⁹ солнечные массы. Это может создать проблемы с короткодействующими взаимодействиями между частицами, такими как образование двухчастичных двоичный системы. Поскольку частицы предназначены для представления большого количества частиц темной материи или групп звезд, эти двойные системы нефизичны. Чтобы предотвратить это, смягченный Используется закон Ньютона, который не расходится как радиус обратного квадрата на малых расстояниях. Большинство симуляторов реализуют это вполне естественно, выполняя симуляции на ячейках конечного размера. Важно реализовать процедуру дискретизации таким образом, чтобы частицы всегда оказывали на себя исчезающую силу.

Включение барионов, лептонов и фотонов в моделирование

Многие симуляции моделируют только холодная темная материя, а значит, включают только гравитационную силу. Включение барионы, лептоны и фотоны в моделирование резко увеличивает их сложность, и часто требуется радикальное упрощение лежащих в основе физики. Однако это чрезвычайно важная область, и многие современные симуляторы теперь пытаются понять процессы, которые происходят во время формирование галактики что могло бы объяснить смещение галактики.

Вычислительная сложность

Reif et al.^[3] доказать, что если ппроблема достижимости тела определяется следующим образом: п тела, удовлетворяющие фиксированному закону электростатического потенциала, определяющие, достигает ли тело целевого шара в заданный промежуток времени, где нам требуется поли (п) бит точности, а целевое время - poly (п) в PSPACE.

С другой стороны, если вопрос в том, в итоге достигает мяча назначения, проблема сложна для PSPACE. Эти оценки основаны на аналогичных оценках сложности, полученных для трассировка лучей.

Численные методы интегрирования
Методы первого порядка	Метод Эйлера Обратный Эйлер Полунеявный Эйлер Экспоненциальный Эйлер
Методы второго порядка	Интеграция Верле Скорость Верле Трапецеидальная линейка Алгоритм Бимана Метод средней точки Метод Хойна Метод Newmark-beta Интеграция чехарда
Методы высшего порядка	Экспоненциальный интегратор Методы Рунге – Кутты Список методов Рунге – Кутты Линейный многоступенчатый метод Общие линейные методы Формула обратной дифференциации Ёсида
Теория	Симплектический интегратор