Общие линейные методы - Википедия - General linear methods

Общие линейные методы (GLMу) представляют собой большой класс численные методы используется для получения числовой решения для обыкновенные дифференциальные уравнения. Они включают многоступенчатые Рунге-Кутта методы, использующие промежуточные точки коллокации, а также линейные многоступенчатые методы которые сохраняют конечную временную историю решения. Джон С. Батчер первоначально придумал этот термин для этих методов и написал серию обзорных статей.[1][2][3]глава книги[4]и учебник[5]по теме. Его соратник Здислав Яцкевич также имеет обширный учебник.[6] по теме. Первоначально класс методов был предложен Батчером (1965), Гиром (1965) и Грэггом и Стеттером (1964).

Некоторые определения

Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка приближают решения начальных задач вида

Результатом являются приближения для значения в дискретное время :

куда час шаг по времени (иногда называемый ).

Описание метода

Мы следуем Butcher (2006), pps 189–190 для нашего описания, хотя мы отмечаем, что этот метод можно найти в другом месте.

Общие линейные методы используют два целых числа, , количество временных точек в истории и , количество точек сопоставления. В случае эти методы сводятся к классическим Методы Рунге – Кутты, а в случае эти методы сводятся к линейные многоступенчатые методы.

Сценические ценности и ступенчатые производные, вычисляются из приближений, , на временном шаге :

Значения этапов определяются двумя матрицами, и :

и обновление вовремя определяется двумя матрицами, и :

Учитывая четыре матрицы, и , можно компактно записать аналог Таблица мясника в качестве,

куда стоит затензорное произведение.

Примеры

Мы представляем пример, описанный в (Butcher, 1996).[7] Этот метод состоит из одного «прогнозируемого» шага и «исправленного» шага, который использует дополнительную информацию о временной истории, а также одно значение промежуточного этапа.

Значение промежуточного этапа определяется как нечто, что выглядит так, как будто оно пришло из линейный многоступенчатый метод:

Первоначальный "предсказатель" использует сценическое значение вместе с двумя частями истории времени:

и окончательное обновление предоставлено:

Краткое табличное представление этого метода дается следующим образом:

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Мясник, Джон К. (февраль – март 1996 г.). «Общие линейные методы». Компьютеры и математика с приложениями. 31 (4–5): 105–112. Дои:10.1016/0898-1221(95)00222-7.
  2. ^ Мясник, Джон (май 2006 г.). «Общие линейные методы». Acta Numerica. 15: 157–256. Bibcode:2006AcNum..15..157B. Дои:10.1017 / S0962492906220014.
  3. ^ Мясник, Джон (февраль 2009 г.). «Общие линейные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений». Математика и компьютеры в моделировании. 79 (6): 1834–1845. Дои:10.1016 / j.matcom.2007.02.006.
  4. ^ Мясник, Джон (2005). «Общие линейные методы». Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.. John Wiley & Sons, Ltd., стр. 357–413. Дои:10.1002 / 0470868279.ch5. ISBN  9780470868270. S2CID  2334002.
  5. ^ Мясник, Джон (1987). Численный анализ обыкновенных дифференциальных уравнений: Рунге – Кутта и общие линейные методы.. Wiley-Interscience. ISBN  978-0-471-91046-6.
  6. ^ Jackiewicz, Zdzislaw (2009). Общие линейные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений. Вайли. ISBN  978-0-470-40855-1.
  7. ^ Мясник 1996, п. 107

Рекомендации

  • Мясник, Джон К. (январь 1965 г.). «Модифицированный многоступенчатый метод численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений». Журнал ACM. 12 (1): 124–135. Дои:10.1145/321250.321261.
  • Gear, C.W. (1965). «Гибридные методы решения задач начального значения в обыкновенных дифференциальных уравнениях». Журнал Общества промышленной и прикладной математики, серия B: Численный анализ. 2 (1): 69–86. Bibcode:1965SJNA .... 2 ... 69G. Дои:10.1137/0702006. HDL:2027 / uiuo.ark: / 13960 / t4rj60q8s.
  • Грэгг, Уильям Б .; Ханс Дж. Стеттер (апрель 1964 г.). «Обобщенные многошаговые методы предсказания-корректора». Журнал ACM. 11 (2): 188–209. Дои:10.1145/321217.321223.
  • Хайрер, Эрнст; Ваннер, Ваннер (1973), "Многоступенчатые, многоступенчатые и множественные производные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений", Вычисление, 11 (3): 287–303, Дои:10.1007 / BF02252917.

внешняя ссылка