Обратный метод Эйлера - Backward Euler method

В числовой анализ и научные вычисления, то обратный метод Эйлера (или же неявный метод Эйлера) является одним из самых основных численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Он похож на (стандартный) Метод Эйлера, но отличается тем, что это неявный метод. Обратный метод Эйлера имеет ошибку первого порядка по времени.

Описание

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение

{displaystyle {frac {mathrm {d} y} {mathrm {d} t}} = f (t, y)}

с начальным значением ${displaystyle y (t_ {0}) = y_ {0}.}$ Здесь функция ${displaystyle f}$ и исходные данные ${displaystyle t_ {0}}$ и ${displaystyle y_ {0}}$ известны; функция ${displaystyle y}$ зависит от реальной переменной ${displaystyle t}$ и неизвестно. Численный метод производит последовательность ${displaystyle y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}, ldots}$ такой, что ${displaystyle y_ {k}}$ приблизительно ${displaystyle y (t_ {0} + kh)}$ , куда ${displaystyle h}$ называется размером шага.

Обратный метод Эйлера вычисляет приближения с использованием

{displaystyle y_ {k + 1} = y_ {k} + hf (t_ {k + 1}, y_ {k + 1}).}

^[1]

Это отличается от (прямого) метода Эйлера тем, что последний использует ${displaystyle f (t_ {k}, y_ {k})}$ на месте ${displaystyle f (t_ {k + 1}, y_ {k + 1})}$ .

Обратный метод Эйлера - это неявный метод: новое приближение ${displaystyle y_ {k + 1}}$ появляется с обеих сторон уравнения, и поэтому метод должен решить алгебраическое уравнение относительно неизвестного ${displaystyle y_ {k + 1}}$ . Для не-жесткий проблемы, это можно сделать с итерация с фиксированной точкой:

{displaystyle y_ {k + 1} ^ {[0]} = y_ {k}, четверка y_ {k + 1} ^ {[i + 1]} = y_ {k} + hf (t_ {k + 1}, y_ {k + 1} ^ {[i]}).}

Если эта последовательность сходится (в пределах заданного допуска), то метод принимает свой предел как новое приближение. ${displaystyle y_ {k + 1}}$ .^[2]

В качестве альтернативы можно использовать (некоторую модификацию) Метод Ньютона – Рафсона решить алгебраическое уравнение.

Вывод

Интегрируя дифференциальное уравнение ${displaystyle {frac {mathrm {d} y} {mathrm {d} t}} = f (t, y)}$ из ${displaystyle t_ {n}}$ к ${displaystyle t_ {n + 1} = t_ {n} + h}$ дает

{displaystyle y (t_ {n + 1}) - y (t_ {n}) = int _ {t_ {n}} ^ {t_ {n + 1}} f (t, y (t)), mathrm {d } т.}

Теперь аппроксимируем интеграл справа правой метод прямоугольника (с одним прямоугольником):

{displaystyle y (t_ {n + 1}) - y (t_ {n}) приблизительно hf (t_ {n + 1}, y (t_ {n + 1})).}

Наконец, используйте это ${displaystyle y_ {n}}$ предполагается приблизительно ${displaystyle y (t_ {n})}$ и формула обратного метода Эйлера следует.^[3]

Те же рассуждения приводят к (стандартному) методу Эйлера, если использовать правило левого прямоугольника вместо правого.

Анализ

Розовая область за пределами диска показывает область устойчивости обратного метода Эйлера.

Обратный метод Эйлера имеет порядок один. Это означает, что локальная ошибка усечения (определяется как ошибка, сделанная за один шаг) ${displaystyle O (h ^ {2})}$ , с использованием нотация большой O. Ошибка в определенное время ${displaystyle t}$ является ${displaystyle O (h)}$ .

В область абсолютной стабильности для обратного метода Эйлера - это дополнение в комплексной плоскости диска с радиусом 1 с центром в 1, изображенное на рисунке.^[4] Сюда входит вся левая половина комплексной плоскости, что делает ее пригодной для решения жесткие уравнения.^[5] На самом деле обратный метод Эйлера даже L-стабильный.

Область для дискретного стабильный Система обратного метода Эйлера представляет собой круг с радиусом 0,5, который расположен в точке (0,5, 0) в плоскости z.^[6]

Расширения и модификации

Обратный метод Эйлера - это вариант (прямого) Метод Эйлера. Другие варианты - это полунеявный метод Эйлера и экспоненциальный метод Эйлера.

Обратный метод Эйлера можно рассматривать как Метод Рунге – Кутты с одной стадией, описанной таблицей Мясника:

{displaystyle {egin {array} {c | c} 1 & 1 hline & 1 end {array}}}

Обратный метод Эйлера также можно рассматривать как линейный многоступенчатый метод с одним шагом. Это первый метод из семейства Методы Адамса – Моултона, а также семьи формулы обратного дифференцирования.

Смотрите также

Метод Кранка – Николсона

Примечания

^ Мясник 2003, п. 57
^ Мясник 2003, п. 57
^ Мясник 2003, п. 57
^ Мясник 2003, п. 70
^ Мясник 2003, п. 71
^ Вай-Кай Чен, под ред. Аналоговые и СБИС. Справочник по схемам и фильтрам, 3-е изд. Чикаго, США: CRC Press, 2009.

Численные методы интегрирования
Методы первого порядка	Метод Эйлера Обратный Эйлер Полунеявный Эйлер Экспоненциальный Эйлер
Методы второго порядка	Интеграция Верле Скорость Верле Трапецеидальная линейка Алгоритм Бимана Метод средней точки Метод Хойна Метод ньюмарк-бета Интеграция чехарда
Методы высшего порядка	Экспоненциальный интегратор Методы Рунге – Кутты Список методов Рунге – Кутты Линейный многоступенчатый метод Общие линейные методы Формула обратной дифференциации Ёсида
Теория	Симплектический интегратор