Явные и неявные методы - Explicit and implicit methods

Явные и неявные методы подходы, используемые в числовой анализ для получения численных приближений решений нестационарных обычный и уравнения в частных производных, как требуется в компьютерное моделирование из физические процессы. Явные методы вычислить состояние системы в более позднее время из состояния системы в текущий момент, в то время как неявные методы найти решение, решив уравнение, включающее как текущее, так и более позднее состояние системы. Математически, если ${displaystyle Y (t)}$ текущее состояние системы и ${displaystyle Y (t + Delta t)}$ состояние в более позднее время ( ${displaystyle Delta t}$ - малый шаг по времени), то для явного метода

{displaystyle Y (t + Delta t) = F (Y (t)),}

а для неявного метода решается уравнение

{displaystyle G {Big (} Y (t), Y (t + Delta t) {Big)} = 0qquad (1),}

найти ${displaystyle Y (t + Delta t).}$

Неявные методы требуют дополнительных вычислений (решения вышеуказанного уравнения), и их может быть намного сложнее реализовать. Неявные методы используются потому, что многие проблемы, возникающие на практике, являются жесткий, для которых использование явного метода требует непрактично малых шагов по времени ${displaystyle Delta t}$ чтобы ошибка в результате оставалась ограниченной (см. числовая стабильность ). Для таких задач для достижения заданной точности требуется гораздо меньше вычислительного времени для использования неявного метода с большими временными шагами, даже с учетом того, что необходимо решать уравнение вида (1) на каждом временном шаге. Тем не менее, следует ли использовать явный или неявный метод, зависит от решаемой проблемы.

Поскольку неявный метод не может быть реализован для каждого типа дифференциального оператора, иногда рекомендуется использовать так называемый метод разделения операторов, что означает, что дифференциальный оператор переписывается как сумма двух дополнительных операторов

{displaystyle Y (t + Delta t) = F (Y (t + Delta t)) + G (Y (t)) ,,}

в то время как один обрабатывается явно, а другой - неявно. Для обычных приложений неявный член выбирается линейным, а явный член может быть нелинейным. Эта комбинация первого метода называется Неявно-явный метод (сокращенно IMEX ^[1], ^[2]).

Иллюстрация с использованием прямого и обратного методов Эйлера

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение

{displaystyle {frac {dy} {dt}} = - y ^ {2}, tin [0, a] quad quad (2)}

с начальным условием ${displaystyle y (0) = 1.}$ Рассмотрим сетку ${displaystyle t_ {k} = a {frac {k} {n}}}$ для 0 ≤k ≤ п, то есть шаг по времени ${displaystyle Delta t = a / n,}$ и обозначим ${displaystyle y_ {k} = y (t_ {k})}$ для каждого ${displaystyle k}$ . Дискретность это уравнение с использованием простейших явных и неявных методов, которые являются нападающий Эйлер и обратный Эйлер методы (см. числовые обыкновенные дифференциальные уравнения ) и сравните полученные схемы.

Прямой метод Эйлера

Результат применения различных методов интеграции к оде

{displaystyle y '= - y ^ {2} ,; tin [0,5] ,; y_ {0} = 1}

с

{displaystyle Delta t = 5/10}

.

Нападающий Метод Эйлера

{displaystyle left ({frac {dy} {dt}} ight) _ {k} приблизительно {frac {y_ {k + 1} -y_ {k}} {Delta t}} = - y_ {k} ^ {2} }

дает

{displaystyle y_ {k + 1} = y_ {k} -Delta ty_ {k} ^ {2} quad quad quad (3),}

для каждого ${displaystyle k = 0,1, dots, n.}$ Это явная формула для ${displaystyle y_ {k + 1}}$ .

Обратный метод Эйлера

С обратный метод Эйлера

{displaystyle {frac {y_ {k + 1} -y_ {k}} {Delta t}} = - y_ {k + 1} ^ {2}}

находится неявное уравнение

{displaystyle y_ {k + 1} + Delta ty_ {k + 1} ^ {2} = y_ {k}}

за ${displaystyle y_ {k + 1}}$ (сравните это с формулой (3), где ${displaystyle y_ {k + 1}}$ был задан явно, а не как неизвестное в уравнении).

Это квадратное уровненеие, имея один отрицательный и один положительный корень. Положительный корень выбирается, потому что в исходном уравнении начальное условие положительное, а затем ${displaystyle y}$ на следующем временном шаге

{displaystyle y_ {k + 1} = {frac {-1+ {sqrt {1 + 4Delta ty_ {k}}}} {2Delta t}}. quad quad (4)}

В подавляющем большинстве случаев уравнение, которое необходимо решить при использовании неявной схемы, намного сложнее, чем квадратное уравнение, и аналитического решения не существует. Затем используется алгоритмы поиска корней, Такие как Метод Ньютона, чтобы найти численное решение.

Кривошипный метод Николсона

С Метод Кранка-Николсона

{displaystyle {frac {y_ {k + 1} -y_ {k}} {Delta t}} = - {frac {1} {2}} y_ {k + 1} ^ {2} - {frac {1} { 2}} y_ {k} ^ {2}}

находится неявное уравнение

{displaystyle y_ {k + 1} + {frac {1} {2}} Delta ty_ {k + 1} ^ {2} = y_ {k} - {frac {1} {2}} Delta ty_ {k} ^ {2}}

за ${displaystyle y_ {k + 1}}$ (сравните это с формулой (3), где ${displaystyle y_ {k + 1}}$ был задан явно, а не как неизвестное в уравнении). Это можно решить численно, используя алгоритмы поиска корней, Такие как Метод Ньютона, чтобы получить ${displaystyle y_ {k + 1}}$ .